高考数学精讲第七节　数列的概念及通项公式

列数第六章第一节数列的概念及通项公式课标要求|1.了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.N0.1抓“四基”夯实基础点一 基础知识”掌握牢1.数列的概念(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数%=/()，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.(3)数列的表示法：列表法、图象法和通项公式法.2.数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列其中递减数列常数列a+i=a=c（常数）3.数列的通项公式(1)通项公式：如果数列斯的第项一与序号之间的关系可以用一个式子斯=大)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.(2)递推公式：如果已知数列斯的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a“与它的前一项“-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.谨记结论谨防易错(1)若数列“的前n项和为S，通项公式为。，则 斯=Si,n=l9SnSn-i9 2 2,1,1,(2)在数列&中，若。最大，则J 若。最小，则 彳。“。+1 W。+1 (3)数列通项公式的注意点并不是所有的数列都有通项公式；同一个数列的通项公式在形式上未必唯一；对于一个数列，如果只知道它的前几项，而没有指出它的变化规律，是不能确定这个数列的.二 基本技能”运用好1.数列一1,-f,一 去 的一个通项公式为()A.%=：B.a=(1)-1C.斯=(-1)+廿 D.即=:答案：B2.已知数列%的通项公式为%=8 +1 5,则 3()A.不是数列 斯 中的项B.只是数列%中的第2 项C,只是数列 斯 中的第6 项D.是数列%中的第2 项或第6 项答案：D3.已知数列%的前“项和为S“，若 SS-i=2-且$2=3,则妣+的的值为()A.1B.3C.5D.6答案：C4.(好题分享-新人教A 版选择性必修第二册P8T4改编)已知数列 为 的前i t项和公式为Sn=2n2,则a,=.答案：4/12三 基本思想”很重要1.(分类讨论)已知数列%满足斯=(-1)+3,则安久的最小值为()A.2B.2737C.4 D，2解析：选 D 丁斯=(-1)+3,.%=.3=+*.，=+在 2,+8)上单调递增，当 =1 时，+=4;当=2 时，+。=?，故 的 最 小 值 为 /42.(函数与方程)若数列 斯 的 通 项 公 式 即=F+q”+i则 师 一 3 是此数列的第_ _ _ _ _ _ _ _ 项.解析：*二 局+犷衍案福_ g)=W，.:师 一 3=痴 一小,四 一 3 是该数列的第9 项.答案：9四 基本活动经验”不可少某种生物细胞在实验室的培养过程中，每小时分裂一次(一个分裂为两个)，经过6 h,由 1 个这种细胞可以繁殖成多少个细胞？解：设经过h,这种细胞由1 个可繁殖成布个，细胞的个数形成一个数列 为.由题意，细胞每小时分裂一次，得 a“+i=2a“(2l).由 a i=2,并根据。+1=2。得 2=4,依此类推，3=23,，46=26=64.因此经过6 h,这种细胞由1 个可繁殖成64个.mt”1 Hi l i ini if ri i -z.门 1:rF H w i*门 M H 仙 _ _ _ _ 强“四翼”一 研透命题点命题点一 4与 S的关系的应用(讲练悟通)贯通知能对含有 与 S”的递推式的两种处理思路(1)转化为项项关系：先写出一个对应的等式，如将递推式中的“”都 换 成“一1”，再利用“=5“一5,1(，2)转 化 为“项项递推式”，以便构造等差数列或等比数列来解决问题.(2)转化为和和关系：借助a“+i=S+i-S“或 的=5 5,-1(22)转 化 为“和和递推式”，以便构造等差数列或等比数列，最后活用等差或等比数列的性质求解.典例(1)设 S“是数列 呢 的前 项和，且 的=-1,口=%,则 Si o=.(2)已知数列 a“满足。1+2a2+3如+“=2 ,则 a=.解析 由r=s“，得呢+产S“S”+1.又“+1 S”+1S,i,所以 S”+1S=S“+1S”，即！-一 T,3+1所 以 数 列 尚 是 以?2=1 为首项，一 1 为公差的等差数列,所以 p=-1+(-1)(-1)=一 八,所以上=1 0,所以S1O=一吉.(2)当=1 时，由已知，可 得 力=21=2.V a i+la i+3的+,+a=2,.1+2。2+3。3+(1)斯-1=2-1(2 2),由一得斯=2-2-|=2-1,2”-1a=.显然当=1 时不满足上式.俨，=1,答案TH，心 2 解题方略已知S求 呢 的 3 个步骤S1,71=1,已知S”求斯的常用方法是利用斯=、转化为关于斯的关系式，再求通 s5 -1,心 2项公式，主要分成以下3 个步骤完成：(1)先利用41=S1求出1；(2)用“一1替换S,中的“得到一个新的关系，利用a=SS-i(22)便可求出当时an的表达式；(3)对 =1 时的结果进行检验，看是否符合 2 2 时 a”的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分=1 与 2 2 两段来写.过关训练1.已知正项数列 斯 的前项和为S,”且 4S=（斯+1）2,则 田5的值为（A.15B.45C.49D.64解析：选 B因为4S=m +l)2,所以 4s+i=(a+i+l)2.则 4S+i4S=(a+i+1)2(G+1产，化简得4 +1=成+1成+2a+i 2即，即（斯+1+即）（即+1即2）=0.又因为。0,所以。+1。-2=0,得斯+L%=2.当 =1 时,由 4sl=3 1 +1）2=4由得 a i=l.所以 斯 是 以 1 为首项，2 为公差的等差数列，所以 斯=2一1.所以 的恁=5X 9=45.2.（多选）数列 斯 的前项和为S，若由=1,即+=2S（N*）,则有（）A.S=3B.为等比数列C.a“=2*3WL 7 1 =L2 3-2,心 2解析：选 ABD由题意，数列 斯 的前项和满足a“+i=2S“（WN*）,当“2 2 时，an=2Sn-l,两式相减,可得 an+aH=2(SnSn-i)=2an,可得 an+i=3all9即 誓 1=3(22),又由 ai=l,当=1 时，02=2Si=2ai=2,所以笊=2,1,=1,所以数列的通项公式为aH=、12 3 2,心 2;a.2 3-1当时，S=,=3 I 又由 =1 时，Si=ai=l,适合上式，所以数列 斯 的前项和为S=3-I又由-一=n=3,所以数列 S J为公比为3 的等比数列，综上可得选项A、B、D 是正确的.命题点二由递推关系求通项公式（讲练悟通）贯通知能 典例（1）设数列 斯 中，41=2,an+i=an+n+l,求%的通项公式.（2）设数列 斯 中，ai=l,a+l+a=2n,求 斯 的通项公式.解（1）由条件知 a“+ia=+l.则。”=(。2一。1)+(。3-2)+(4。3)+3 -。-1)+。1 =(2+3+4+)+2=+22 1 +1+。=2，a+2+a+i-2+2,故。”+2-。2即数列 斯 的奇数项与偶数项都是公差为2 的等差数列.当为偶数时，12=1,故 斯=。2+2住-1）=一1；当 为奇数时，。1 =1,故。=。+2仲；-1）=1+12=.综上所述,n,为奇数，一1,为偶数(W N)解题方略1.由递推关系求通项公式的方法及适用类型和要点2.避免2 种失误方法适用类型要点累加法an+i=an+fi n)9 变形为 an+i一斯=75)利用恒等式。=。1 +（。2 。1）+（。3 。2）+（a 一%一1）5 2 2,N*）求解累乘法斯+1 f(n)aH,变形为 fi n)利 用 恒 等 式 的=。1詈 詈”忆3 产 0,02 an-in 2,GN*）求解构造法斯+1=。+虱。#0 且 0#1,q#0,nGN*)变形为a“+i+f=p（a+f）（可用待定系数法求t）,可得以p为公比的等比数列 以+f 的通项公式，进而可求%取倒数法f +SP，q,r 是常数）变 形 为 =;点+:若p=r,贝!：是等差数列，且公差为可用公式求通项；若p W r,则转化为即+i=sa“+f 型，再利用构造法构造新数列求解赋值法a i+2。2+3的+。=/()由 ai+2a2+3。3H-nan=f(n),得 a +l a i+3a3+(n l)a-i=f(.n 1)(2),再由一可得%(注意对=1 的情况进行讨论)(1)利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到蓝，漏 掉 而 导 致错误；二是根据连乘求出斯之后，不注意检验是否成立.(2)利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定最后一个式子的形式.过关训练1.(累乘法)若将本例(1)条 件“%+1=斯+1 改 为“+产 帚 1.，如何求解？n,。1=2,/ctn+i ndn n+ra”=-a-a-n-an-i 的敢-2 -3 2.a 1 =-T*才 2=一.斯-1。-2。-3。2 al 2 2 n2.(构造法)若将本例(1)条 件“即+】=斯+1”改 为“斯+1=2即+3”,如何求解？解：设递推公式a+i=2a+3可以转化为斯+1f=2(-f),即斯+1 =2。-t9 解得 =3.故 a”+i+3=2(”+3).令 bn=an+3f 则 加=图+3=5,口 儿+1_。+1+3 _且-所以 与 是以5 为首项，2 为公比的等比数列.所以b=5X2-，故%=5X 2r-3.3.(取倒数法)若将本例条件/+尸酸+1”改 为 武 产 渭 号”，如何求解?解：,:a+i=Q J 2，。1=2,a+i a 2 a+i。2又m=2,则 是以;为首项，；为公差的等差数列.=+(-1)X =今 an=.a a 22 n命题点三 数列的函数特征(多角探明)逐点例析题点(一)数列的周期性问题 例 1 在数列%中，。尸 一 不 e-二；(心 2,“G N),则 咏 2。的值为()1-45B.解析 因为在数列仅“中，ai=-1,a=l一一L(2 2,WN),所 以 改=1一 一 1=5,4 ttn _A-41 4 1 1 .43=1g=M，。4=1一=一 不 所以 斯 是以3 为周期的周期数列，5所 以2 0如=673x3+1=。1 =一不 答案 A 解题方略周期数列的常见形式与解题方法(1)周期数列的常见形式利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数；相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差；相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列.(2)解决此类题目的一般方法根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前i t项的和.题点(二)数列的单调性问题 例2已知数列%的通项公式为3+A,若数列%为递减数列，则实数k的取值范围为()A.(3,+)B.(2,+8)+0 )D.(0,+8)解析 因为 an+-an3+3+A 3+A 33 一k23-3 k由数列%为递减数列知，对任意“GN*,即+】-%=+33n对任意“GN*恒成立,所以无6(0,+).故选D.答案 D 解题方略 解决数列的单调性问题的3 种方法作差比较法根据an+i-a 的符号判断数列 斯 是递增数列、递减数列或是常数列作商比较法根 据 等(%0或许0)与 1 的大小关系进行判断数形结合法结合相应函数的图象直观判断题点(三)数列的最值问题 例 3 数列 斯 中，a i=O,即一a.-L 1=2(-2 2),若数列 M 满足瓦=京 币 借 下,则数列也“的最大项为第 项.解析 因为斯一斯-1-1=2(-1)(N*,22),所以根据累加法得。=(2-1)+(2-3)+3+。1=21,所以 尸(+1)住).因为堂2=必：2),所 以 当 时，b+i2b；U n L