高中数学易错点80个

高途课堂教研产品中心 1 2019 高中数学易错点梳理高中数学易错点梳理附详细解析附详细解析 数学(精品课)中的隐含条件往往最容易被忽视，这些隐含条件通常被称为题中的“陷阱”，解题过程中一不小心就会掉进去。下面总结了高考复习中的高中数学易错点分析梳理，希望同学们在今后的学习中引以为戒，对这些列出来的易错点别中招了。一、集合与简易逻辑一、集合与简易逻辑 易错点易错点1 对集合表示方法理解存在偏差对集合表示方法理解存在偏差【问题】1:已知，求。错解：剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本质。正确结果：【问题】2:已知，求。错解：正确答案：剖析：审题不慎，忽视代表元素，误认为为点集。反思：对集合表示法部分学生只从形式上“掌握”，对其本质的理解存在误区，常见的错误是不理解集合的表示法，忽视集合的代表元素。易错点易错点2 在解含参数集合问题时忽视空集在解含参数集合问题时忽视空集【问题】:已知，且，求 的取值范围。错解：-1，0）剖析：忽视的情况。正确答案：-1，2 反思：由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合就有可能忽视了，导致解题结果错误。尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时，所给的集合可能是空集的情况。考生由于思维定式的原因，往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错误或答案不全面。易错点易错点3 在解含参数问题时忽视元素的互异性在解含参数问题时忽视元素的互异性【问题】:已知 1,，求实数的值。错解：剖析：忽视元素的互异性，其实当时，=1；当时，=1；均不符合题意。正确答案：反思：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，集合元素的三性中的互异性对解题的影响最大，特别是含参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。解题时可先求出字母参数的值，再代入验证。|0,1Ax xBy y=AB!AB=F!ABB=!22|2,(,)|4Ay yxBx yxy=+=+=AB!(0,2),(2,0)AB=-!AB=F!A2|2,|21AxaxaBxx=-0b 0ab+0ab,A BABABBAABAB1ab+1ab+2|1|-x)pq或pq且pq真 假pq假 真ABpq假 真pq或pq且C,p q高途课堂教研产品中心 3“”有真则真；有真则真；“”有假则假；有假则假；“”真假相反。真假相反。易错点易错点7 否定全称、特称命题出错否定全称、特称命题出错【问题】写出下列命题的否定：对任意的正整数 x,；q：存在一个三角形，它的内角和大于；r:三角形只有一个外接圆。错解：对任意的正整数 x,；：所有的三角形的内角和小于；存在一个三角形有且只有一个外接圆。剖析：知识欠缺，基础不牢导致出错。正确答案：存在正整数 x,使；：所有的三角形的内角和都不大于；存在一个三角形至少有两个外接圆。反思：全称命题，它的否定，特称命题，它的否定。一般来说，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。切记对全称、特称命题的否定，不仅要否定结论，而且还要对量词“”进行否定。另外，对一些省略了量词的简化形式，应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。二、函数与导数二、函数与导数 易错点易错点8 求函数定义域时条件考虑不充分求函数定义域时条件考虑不充分【问题】:求函数 y=+的定义域。错解：-3，1 剖析：基础不牢，忽视分母不为零；误以为=1 对任意实数成立。正确答案：反思：函数定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，因此求定义域时就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数定义域。在求函数的定义域时应注意以下几点分式的分母不为零；偶次根式被开方式非负；对数的真数大于零；零的零次幂没有意义；函数的定义域是非空的数集。易易错点错点9 求复合函数求复合函数定义域时忽视定义域时忽视“内层函数的值域是外层函数的定义域内层函数的值域是外层函数的定义域”pq或pq且p非p2xx0180p2xxq0180:rp2xx()1,4-243uxx=+-3(1,2-3,)2+3(1,2-3,4)22()(1)2(1)1f xmxmx=-+-x0D=03mm=-或10m-=3,0,1-2yaxbxc=+0a 0,0ab=2x20axbxc+R0,0a D 020axbxc+0,0a D 或a=b=0,c02()f xx=()2xf x=2310mxx-+=高途课堂教研产品中心 6 错解：方程有且只有一个根在区间（0，1）内，函数的图象与轴在（0，1）内有且只有一个交点，解得 剖析：知识残缺，在将方程转化为函数时，应考虑到=0 情况。正确答案：m2 且 m=9/4 【问题】2:函数的图象大致是（）剖析：在转化过程中，去绝对值时出错，从而得到错误的图象。在图象变换过程中出错，搞错平移方向。正确答案：D 反思：等价转化是数学的重要思想方法之一，处理得当会起到意想不到的效果，但等价转化的前提是转化的等价性，反之会出现各种离奇的错误。易错点易错点15 分段函数问题分段函数问题【问题】1:.已知是 R 上的增函数，求 a 的取值范围。错解：剖析：知识残缺，只考虑到各段函数在相应定义域内为增函数，忽视在分界点附近函数值大小关系。正确答案：【问题】2:设函数，求关于 x 的方程解的个数。错解：两个 剖析：基础不实，分类讨论意识没有，未能将方程分两种情况来解。正确答案：三个 反思：与分段函数相关的问题有作图、求值、求值域、解方程、解不等式、研究单调性及讨论奇偶性等等。在解决此类问题时，要注意分段函数是一个函数而不是几个函数，如果自变量取值不能确定，要对自变量取值进行分类讨论，同时还要关注分界点附近函数值变化情况。易错点易错点16 函数零点定理使用不当函数零点定理使用不当 2310mxx-+=231ymxx=-+x(0)(1)0ff2m|1|ln-=xeyx()211()1xa xxf xax-+若xxf=)(xxf=)(高途课堂教研产品中心 7【问题】若函数在区间-2,2上的图象是连续不断的曲线，且在（-2,2）内有一个零点，则f(-2)f(2)的值 （）A 大于 0 B 小于 0 C 等于 0 D 不能确定 错解：由函数零点存在定理知，f(-2)f(2)0，故选 B 剖析：没有正确理解函数零点的含义及存在性，若函数在（-2,2）内有一个零点，且该零点为“变号零点”，则f(-2)f(2)0，否则f(-2)f(2)0.正确答案：D 反思：函数零点定理是指如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。解决函数零点问题常用方法有定理法、图象法和方程法。函数零点又分为“变号零点”和“不变号零点”，函数零点定理仅适用于“变号零点”，对“不变号零点”无能为力。易错点易错点17 混淆两类切线的概念混淆两类切线的概念【问题】:若直线 y=kx 与曲线相切试求 k 的值。（提示 y=kx 即过原点的切线）错解：，斜率，剖析：知识残缺，过某点的切线并非在某点处的切线。正确答案：反思：曲线在点 P 处的切线”P 为切点且 P 在曲线上，而“过点 P 的切线”仅能说明点 P 在曲线的切线上。易错点易错点18 误解误解“导数为导数为0”与与“有极值有极值”的逻辑关系的逻辑关系【问题】:函数在 x=1 处有极值 10，求的值。错解：由解得 剖析：对“导数为 0”与“有极值”逻辑关系分辨不清，错把为极值的必要条件当作充要条件。正确答案：a=4,b=-11 反思：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于 0 的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于 0 的点就是函数的极值点。出现这种错误的原因就是对导数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为 0 只是这个函数在此点取到极值的必要条件，充要条件是两侧异号。易错点易错点19 对对“导数值符号导数值符号”与与“函数单调性函数单调性”关系理解不透彻关系理解不透彻【问题】:若函数在上为减函数，求实数的取值范围。()f x()f x()f x()f x,a b()()0f a f b()f x(,)a b3232yxxx=-+2362yxx=-+!2k=124kk=-或322()f xxaxbxa=+,a b(1)10,(1)0ff=4,113,3abab=-=-=或0()f x00()0()fxfxx=且在3()f xaxx=-Ra高途课堂教研产品中心 8 错解：由在上恒成立，解得 剖析：概念模糊，错把在某个区间上是单调增（减）函数的充分条件当成充要条件。事实上时满足题意。正确答案：反思：一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于 0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为 0。切记导函数在某区间上恒大（小）于0 仅为该函数在此区间上单调增（减）的充分条件。易错点易错点20 对对“导函数值正导函数值正负负”与与“原函数图象升降原函数图象升降”关系不清楚关系不清楚【问题】:已知函数 f(x)的导函数 f(x)的图象如图所示，则 y=f(x)的图象最有可能的是_.错解：选 剖析：概念不清，凭空乱猜，正确解法是由于，且两边值符号相反，故 0 和 2为极值点；又因为当时，当时，所以函数在上为增函数，在上为减函数。正确答案：C 反思：解答此类题的关键是抓住导函数的零点与原函数的极值点关系极值极值点的导数值为点的导数值为0；导函数值的符号与原函数单调性的关系原函数看增减，导函数看正负原函数看增减，导函数看正负。易错点易错点21求解函数的反函数易漏掉求解函数的反函数易漏掉确定原函数确定原函数的值域即反的值域即反函数的定义域。函数的定义域。例例是 R 上的奇函数，（1）求 a 的值（2）求的反函数 剖析：求解已知函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。解析：（1）利用（或）求得 a=1.（2）由即，设,则由于故，而所以 2()=310fxax-R0120aaD=0a()f x0a=0a,A B D(0)(2)0ff=02xx和(x)0f 02x(x)0f(x)f(,0)-和(2,+)(0,2)()2112xxaf x-=+()1fx-()()0f xfx+-=()00f=1a=()2121xxf x-=+()yf x=()211xyy-=+1y 121xyy+=-112logyyx+-=()2121xxf x-=+()211,121x=-+()()1112log11xxfxx+-=-高途课堂教研产品中心 9 反思：（1）在求解函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域即反函数的定义域在反函数的解析式后表明（若反函数的定义域为 R 可省略）。（2）应用可省略求反函数的步骤，直接利用原函数求解但应注意其自变量和函数值要互换。【练 3】函数的反函数是（）A、B、C、D、答案：B 三、数列三、数列 易错点易错点22 由由求求时忽略对时忽略对“”检验检验【问题】:已知数列的前 n 项和，求。错解：由解得 剖析：考虑不全面，错误原因是忽略了成立的条件 n2，实际上当 n=1 时就出现了S0，而 S0是无意义的，所以使用求，只能表示第二项以后的各项，而第一项能否用这个表示，尚需检验。正确答案：反 思：在 数 列 问 题 中，数 列 的 通 项与 其 前n 项 和之 间 关 系 如 下，在使用这个关系式时，要牢牢记住其分段的特点。当题中给出数列的与关系时，先令求出首项，然后令求出通项，最后代入验证。解答此类题常见错误为直接令求出通项，也不对进行检验。易错点易错点23 忽视两个忽视两个“中项中项”的区别的区别【问题】:是成等比数列的（）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分有不必要条件 1()()fbaf ab-=()()1 11f xxx=-+()2221yxxx=-+()2221yxxx=-+()221yxx x=-ab=nans高途课堂教研产品中心 11 答案：时当时.易错点易错点25:不能根据数列的通项的特点寻找相应的求和方法，在应用裂项求