本科《高数A下》期终试卷(A)答案

本科高等数学(下)期终试卷(A)答案一单项选择题（每题一单项选择题（每题 2 2 分，共分，共 1010 分）分）1非零向量a a,b b的夹角正弦sin(a a,b b)(D D)。A.a ab b|a ab b|a ab b|a ab b|B.C.D.|a a|b b|a a|b b|a a|b b|a a|b b|2函数f(x,y)在点(x0,y0)处可偏导是f(x,y)在点(x0,y0)处连续的(D D)。A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无关条件3函数f(x,y)x y在其定义域上(D D)。A.有极大值无极小值 B.无极大值有极小值 C.有极大值有极小值 D.无极大值无极小值4设级数n22un1n的部分和数列为sn，则nun1n收敛的充分必要条件为(B)。nA.limsn 0B.limsn sC.limun 0D.limun un5设un vn 0，如果级数un1n收敛，则级数vn1n的敛散性为(A A)。A.绝对收敛B.条件收敛C.未必收敛D.发散二填空题（每题二填空题（每题 3 3 分，共分，共 1515 分）分）1设向量a a,b b满足a ab b=0 0，则a a与b b的关系为a a b b。1过点(1,1,1)垂直于平面x2y3z 0的直线点向式方程为x1y1z 11232交换积分次序：10dxxxf(x,y)dy 10dy2f(x,y)dxy22y4设D x y 2x，则极坐标22f(x,y)dxdy Dd2cos0f(rcos,rsin)rdr5p 级数nn11p收敛的充分必要条件是p 1三计算题（每题三计算题（每题 5 5 分，共分，共 5050 分）分）11设z 1，求偏导数z，z。xyxyz(2)yz(3)ln xy1，y解解：xxyx2zx2设z arctan，求混合偏导数。xyy2z(2)y(3)x2 y2解解：2xyyx y2(x2 y2)23设z ex yz 0确定隐函数z z(x,y)，求全微分dz。(2)z(2)yzexyzz(1)xzexyzzexyz解解：，dz(ydx xdy)xyzxyzxyzx1 xyey1 xye1 xye4求f(x,y,z)xy z在点(1,1,1)处的梯度f(1,1,1)和方向导数点(1,1,1)到点(5,4,1)的方向。解解：f(x,y,z)(y z,2xyz,3xy z),f(1,1,1)(1,2,3)。(2)23322(1)23fl(1,1,1)，其中l为从fl(1)l1f(1,1,1)(1,2,3)(4,3,0)2。(1,1,1)|l|5(1)5求函数z x y 2(lnx lny)的极值。(3)22解解：z，z，驻点(1,1)。x 2x y 2y xy(2)22 22，z z 0，zyyxy 0，zxxzyy zxy 0，极小值zx1 2。xx 22y1yx226求二重积分解解：7求二重积分02y eD2xydxdy，其中D为直线y x，y 1，x 0所围成的平面区域。1xyy(1)1y2(1)10dyy0(1)1y2121y e dxyedyy(e 1)dy(e y)(e2)0000222xy(2)Dyx y222dxdy，其中D (x,y)1 x2 y2 4,y 0。0(1)1223sinr1d22解解：drsinr1rdr(2)0(1)3sindcos032(1)8 求三重积分222x y z 1及平面x 0，y 0，z 0，其中为球面xyzdxdydz2所围成的在第一卦限内的区域。解解：xyzdxdydzdxdyD(1)1x2y20 xyzdz(1)122xy(1 x y)dxdy2D(1)1111222drcosrsin(1r)rdrsin2d(r3r5)dr002040(1)1111(coscos0)84648(1)9设a 0，判别级数n1an的敛散性。annan(1)limannan1(1)un1an1解解：lim limnun(n1)an aa(1)。根据比值法知：a 1时，n1(1)an收敛；a 1时，an(1)n1an发散；ana 1时，比值法无效，将a 1代入原级数调和级数n11发散。n(1)nlnn10判别级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？nn1(2)1lnn1lnn，而解解：n 2后，恒有发散，发散；nnnnn1n1lnx1lnx1lnxlim lim 0因为，(x 2)0 xxxx x x2(3)lnnln(n 1)lnn故，且lim 0，xnn 1n(1)nlnn条件收敛。nn111试将函数f(x)4x展开为麦克劳林级数，并求级数的收敛域。2x 2x 3(1)4x13(1)11解解：f(x)(x1)(x3)x1x31 x1(x 3)(1)nn(1)nn(1)x nx n1x，x(1,1)。3n0n0n03(2)n12试求幂级数nxn1n的收敛域I与和函数S(x)，并求级数n2n1n的和。3(2)1n 1n解解：lim1，R 1，x 1时，n(1)均发散，故I(1,1)。nnn1(2)xxxS(x)xnxn1 xnxn1dx xxn x201 x(1 x)n1n1n11令x，可得2n1n(1)1 S 2。2n2四应用题（本题四应用题（本题 1010 分）分）在半轴分别为a,b,c的椭球中，求内接长方体的最大体积。maxV 8xyzx2y2z2222解解：求（2），作L 8xyz2221（3），xyzabcs.t2221abc令2x 02ax a23L 8xzy 0ybb2（2），解得y（2），23 8xy2z 0Lzccz x2y2z23 2221 0Labc 8yzLx83 3abc（1）故maxV 五证明题（本题五证明题（本题 5 5 分）分）设级数un1n条件收敛，级数vn1n绝对收敛，试证明级数(un1n vn)条件收敛。证证：un收敛，n1vn1n收敛，(2)(un1nvn)收敛。n假定(un1n vn)绝对收敛，则由vn1绝对收敛以及不等式0 un(un vn)vn un vn vn(2)un1n绝对收敛，这与条件矛盾，(1)(un1n vn)条件收敛。4