2023届高三数学一轮大题专练2—导数（恒成立问题2）

2023届高三数学一轮大题专练2—导数（恒成立问题2） 1．已知函数，． （Ⅰ）当时，求证：； （Ⅱ）若不等式在，上恒成立，求实数的取值范围． （Ⅰ）证明：令，， （1）当时，， 因为， 所以在，上单调递增，且， 当时，，当时，， 所以在，上单调递减，在上单调递增， 所以，所以； （2）当时，则，所以． 综上所述，当时，． （Ⅱ）解：令，， 则， 由题意得在，上恒成立，因为， 所以，所以， 下证当时，在，上恒成立， 因为， 令，只需证明在，上恒成立， （1）当时，， ，因为在，上单调递减，所以， 所以在，上单调递减，所以， 所以在，上单调递减，所以； （2）当时，． 综上所述，实数的取值范围是，． 2．已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）证明：为自然对数的底数）恒成立． 解：（1）的定义域为，，分 当时，恒成立，所以在上单调递增；分 当时，令，得到． 所以，当时，，则在上单调递增； 当，时，，则在，上单调递减， 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在，上单调递减分 （2）证明：记函数，则，分 易知在上单调递增， 又由（1），（2）知，在上有唯一的实数根，分 且，则， 即，分 当时，，则在上单调递减， 当，时，，则在，上单调递增， 所以， 结合，知，分 所以，分 则，即，所以为自然对数的底数）恒成立分 3．已知函数，，其中为自然对数的底数，． （1）若对任意的，，总存在，，使得，求的取值范围； （2）若函数的图象始终在函数的图象上方，求的取值范围． 解：（1）对任意的，，总存在，，使得，，． ，，． ，在，上单调递增， （1）． ，，． ， ①时，，函数在，上单调递增，（1），解得． ②时，，不成立，舍去． ③时，，函数在，上单调递减，，而，舍去． 综上可得：的取值范围是，． （2）函数的图象始终在函数的图象上方，即，，也即，． 令，． ， 时，，函数在上单调递减，（1），不满足题意，舍去． 时，函数在上单调递增，存在唯一使得，即，． ，解得． 的取值范围是，． 4．已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 解：（1）因为函数，， 所以， 当时，，在，上单调递减， 当时，，在，上单调递增， 当时，令，解得， 当时，，故单调递增，当时，，故单调递减． 综上所述，当时，在，上单调递减；当时，在，上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）不等式对任意恒成立，即对任意恒成立， 令，又， 故不等式等价于对任意恒成立， ，所以，即，解得， 当时，， 恒成立， 故， 故当时，对任意恒成立， 所以的取值范围为，． 5．已知函数． （1）若直线是曲线的切线，求实数的值； （2）若对任意，不等式成立，求实数的取值集合． 解：（1）， ， 设切点为，，则， 代入直线得：， 即，， 令，有（1）， ，在单调递增， 方程有唯一解， ； （2），， 恒成立， 设，则， 令，，△， 有2个不相等实根，， 则，不妨设， 当，，当，，， 在单调递减，在，单调递增， ， 由得到， ， 令， 则， 当时，，当时，， 则在单调递增，在单调递减， （1）， ，，则，故， 实数的取值集合是． 6．设函数． （Ⅰ）当时，求函数的单调区间； （Ⅱ）若为的导函数）在上恒成立，求实数的取值范围． 解：（Ⅰ）当时，，， 所以， 令，所以， 当时，，故为增函数； 当时，，故为减函数， 所以（1），即， 所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间． （Ⅱ）因为，所以且， 所以在上恒成立在上恒成立在上恒成立， 令，，则且（1）， 当时，恒成立，故在上为增函数，所以（1），即时不满足题意； 当时，由，得， 若，则，故在，上为减函数，在上为增函数， 所以存在，使得（1），即时不满足题意； 若，，则，故在上为减函数， 所以（1），所以恒成立，故符合题意． 综上所述，实数的取值范围是，． 7．已知为自然对数的底数，函数． （1）设是的极值点，求的值和函数的单调区间； （2）当，时，恒成立，求的取值范围． 解：（1）因为， 由（1），得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． （2）令，，， 当，时，恒成立等价于恒成立， 由于，，， 所以当时，， 函数在，上单调递增， 所以，在区间，上恒成立，符合题意， 当时，在，单调递增， ， ①当时，即时，， 函数在，单调递增， 所以在，恒成立，符合题意， ②当即时，，， 若，即时，在恒小于0， 则在单调递减，，不符合题意， 若，即时， 存在使得， 所以当时，， 则在上单调递减， 所以，不符合题意， 综上所述，的取值范围是，． 8．已知函数． （1）若曲线在点处的切线为，求，； （2）当时，若关于的不等式在，上恒成立，试求实数的取值范围． 解：（1）函数的导数， 根据函数导数的几何意义，可得（1），即． 则，点坐标为 点在直线上 故，． （2）当时， 关于的不等式在，上恒成立， ， 设，则， 由的导数为，可得时，，函数递增，时，函数递减，则，即， 当时，， 则在，递增，可得， 则．