2023届高三数学一轮大题专练4—导数（极值、极值点问题2）

2023届高三数学一轮大题专练4—导数（极值、极值点问题2） 1．已知函数． （1）若，讨论的单调性； （2）当时，讨论函数的极值点个数． 解：（1）的定义域为，， 令，， 因为，所以，所以在上单调递增， 又（1），所以当时，，即，当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增． （2）①当时，由（1）可知在上有唯一极小值（1）， 所以极值点个数为1个． ②当时，令，得， 当时，，单调递减，当，时，，单调递增， 所以， 令（a），（a）， 因为，所以（a），即（a）在，上单调递减，所以（a）， （ⅰ）当时，，在上，恒成立， 即在上恒成立，所以无极值点； （ⅱ）当时，，（a），即， 易知，， 所以存在唯一，使得， 且当时，，当时，，则在处取得极大值； 又（1），所以当时，，当时，，即在处取得极小值， 故此时极值点个数为2． 综上所述，当时，的极值点个数为0；当时，的极值点个数为2；当时，的极值点个数为1． 2．已知函数（其中常数． （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）若有两个极值点、，且，求证：． 解：，则，， 令，，△， ①当△，即时，，故，所以在上单调递增； ②当△，即当时，有两个实数根，， 又，（1），且对称轴为．，故，， 所以当或时，，则，故单调递增； 当时，，则，故单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在，单调递减； （Ⅱ）证明：因为有两个极值点、，且， 所以为的极大值点， 由可知，，，所以， ， 令， 则对于恒成立， 故在上单调递增， 所以， 故． 3．已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）当，时，求证：总存在唯一的极小值点，且． （1）解：函数的定义域为． 当时，，所以， 易知在上单调递增，且． 则在上，在上， 从而在上单调递减，在上单调递增． （2）证明：，所以，且． 设，则， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 由，得， 设，则在，上单调递增且． 则当，时，都恰有一个，使得， 且当时，当，时， 因此总有唯一的极小值点． 所以，从而， 极小值 由，可得当，时，， 即，随增大而增大，易得，． 令，则，，设，（1）， 所以在，上单调递减，且（1），从而． 即． 4．已知函数． （1）若在处有极大值，求的取值范围； （2）若的极大值为，的极小值为，当时，求的取值范围． 解：（1），（1分） ①当时，，故有：当时，，单调递增， 当时，，单调递减，此时在处有极大值；（2分） ②当时，即．令，解得：．故有： 当时．，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增． 此时在处有极大值：（3分） ③当时，，在定义域内单调递增，无极大值：（4分） ④当时，即，令，解得：．故有： 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，此时在处有极小值：（5分） 综上所述，当时，在处有极大值， 即的取值范围是．（6分） （2）由（1）可知，当时，，当时，， 所以且，（7分） 令， 则， 所以在上单调递增，（8分） 又（1），所以在单调递减，在单调递增，（9分） 于是（a）， 所以（a）在或处取得最大值，，（10分） 由于且，（a）（1），（11分） 所以， 即的取值范围是，．（12分） 5．已知函数． （1）若，求的极值； （2）讨论函数的单调区间； （3）若有两个极值点，，且不等式恒成立，求实数的取值范围． 解：（1）时，，定义域是， ， 当时，，递减， 时，，递增， 故当时函数有极小值（1），无极大值； （2）的定义域是， ， ①时，，则，在递增， ②时，令，解得：，令，解得：， 故在递减，在递增； 综上：时，在递增， 时，在递减，在递增； （3） ，定义域是， 有2个极值点，， 即， 则有2个不相等实根，， △，，解得：，且， 从而， 由不等式恒成立， 得恒成立， 令， 当时，恒成立， 故函数在上单调递减， ， 故实数的取值范围是，． 6．已知函数． （1）当时，求函数在，（2）处的切线方程； （2）当，证明：函数存在唯一极值点，且． 解：（1）当时，．， （2），（2）， 函数在，（2）处的切线方程为：，整理为：． （2）证明：函数，． ， 设， ，，因此与的符号相同． ， 显然，当时，，函数单调递增． 又（1），．， 存在唯一，，使得． 对于，则有时，；，时，． 函数存在唯一极值点，，． 由，可得：，解得， ， ，，．