2021-2022学年安徽省合肥市瑶海区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 抛物线y=−2(x−3)2−1的顶点坐标是( )
A. (3,−1) B. (−3,−1) C. (−3,1) D. (3,1)
2. 下列给出的各个点中，在双曲线y=−6x上的点为( )
A. (1,6) B. (2,3) C. (−1,6) D. (−2,−3)
3. 已知xy=34，那么x+yy的值为( )
A. 43 B. 54 C. 74 D. 73
4. 一个羽毛球发出去x秒时的高度为y米，且y与x之间的函数关系式为y=ax2+bx+c(a<0).如果这个羽毛球在第2秒与第4秒时的高度相等，那么在下列时间中，羽毛球所在高度最高的是( )
A. 第2.5秒 B. 第2.9秒 C. 第3.3秒 D. 第3.5秒
5. 把抛物线y=x2−4x+3先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( )
A. y=(x−1)2−3 B. y=(x−1)2+3 C. y=(x+1)2−3 D. y=(x+1)2+3
6. 已知线段AB=2，点P是线段AB的黄金分割点，那么AP的长为( )
A. 5−1 B. 5−2
C. 3−5 D. 5−1或3−5
7. 二次函数y=3x2+kx+12的图象如图所示，则k的值是( )
A. 12
B. −12
C. ±12
D. −15
8. 已知关于x的一元二次方程6−(x−a)(x−b)=0(其中a
0；③9a−3b+c=0；
④a−b≤am2+bm(m为实数)；⑤4ac−b2<0．
其中正确结论的个数是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
10. 如图是同一平面直角坐标系中二次函数y=ax2与反比例函数y=kx的图象，它们相交于点A(1,1)，则关于x的方程ax2−kx=72的解的个数为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 若抛物线y=x2−2x+k与x轴的一个交点为(3,0)，则与x轴的另一个交点的坐标为______．
12. 如图所示，点D，E分别在△ABC的两边BC，CA上，BD：DC=1：3，AE：EC=1：2，AD与BE相交于点G，如果AD=9，那么AG的长为______．
13. 已知两个正方形①、②在同一坐标系中如图摆放，它们分别有一个顶点A、B在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，其中正方形①的面积是4，则正方形②的边长是______．
14. 已知，如图是在同一坐标系中二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=mx+n的图象，它们相交于点B(0,1)，C(3,4)，抛物线的顶点D(1,0)，直线BC交x轴于点A．
(1)当y1>y2时，x的取值范围是______；
(2)当y1y2>0时，x的取值范围是______．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题8.0分)
用配方法求二次函数y=−2x2+4x−1的最大值．
16. (本小题8.0分)
已知x2=y3=z4，并且3x−2y+z=8，求2x−3y+4z的值．
17. (本小题8.0分)
已知一条抛物线分别经过三个点(−3,0)，(1,0)，(0,3)，求它的函数关系式．
18. (本小题8.0分)
同学们，我们已经学完了初中学段的所有函数知识了．现在回顾一下，我们学习函数的基本过程，都是由现实生活中的一些问题来引入各类函数的一般形式，然后画出各类函数的图象，再利用图象总结出它们的性质，最后利用其性质解决各类相关的问题．在实际应用中，能否画好函数的简图(亦称为草图)是检验我们函数知识掌握程度的“试金石”.比如，一次函数y=kx+b中，当k>0，b<0时，它的简图可以画成图1的形式．请根据所学知识在图2中画出二次函数y=ax²+bx+c中，当a<0，b>0，c>0时的简图．(不要求说明理由)
19. (本小题10.0分)
常青钢窗厂要利用12米长的钢材制成如图所示的窗子，求长与宽分别为多少时，此窗子的面积最大？最大面积是多少？
20. (本小题10.0分)
在一个长20米，宽12米的矩形场地内的四周都铺上一条相同宽度的地砖道路，里面的矩形与原来的矩形相似吗？请你通过计算来说明．
21. (本小题12.0分)
秦杨超市销售某种农产品，每件成本为10元，试销阶段发现，每件农产品的日销售量y(件)与售价x(元)之间符合一次函数的关系，并且当x=20时，y=20；当x=30时，y=10．
(1)求出该产品日销售量y(件)与售价x(元)之间的函数关系式；
(2)该产品的售价为多少时，每日的销售利润最大？最大利润是多少？
(3)小明说：“该产品每日销售利润最大时，其销售总额也最大．”你认为小明的说法对吗？并说明理由．
22. (本小题12.0分)
【问题呈现】现在有一段40cm长的铁丝，要把它围成一个长方形．怎样围才能使得它的面积最大？
【分组研究】
同学们经过审题，分析解题思路，并且进行演算，最后小军和小英先后发表了自己的观点如图所示．
【请您仲裁】
请你利用所学的函数知识来裁决，小军和小英两人的说法谁正确？
23. (本小题14.0分)
已知二次函数y=−x2+2x+k．
(1)如果此二次函数的图象与x轴有两个交点，求k的取值范围；
(2)如图，此二次函数的图象过点A(3,0)，且与y轴交于点B，直线AB与此二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标；
(3)在(2)中，点C为直线AB上方的抛物线上的一个动点，作CD⊥AB于点D，试求CD最长时，点C的坐标，并求出此时CD的长度．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵抛物线y=−2(x−3)2−1，
∴顶点坐标是(3,−1)．
故选：A．
根据抛物线y=a(x−h)2+k的顶点坐标为(h,k)即可求解．
此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是根据抛物线的顶点式确定其顶点坐标．
2.【答案】C
【解析】解：∵四个选项中，只有(−1)×6=−6，
∴点(−1,6)在双曲线y=−6x上．
故选：C．
根据反比例函数图象上点的坐标特征对照四个选项，即可得出结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，牢记“图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k”是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵xy=34，
∴x+yy=xy+1=34+1=74．
故选：C．
先把要求的式子x+yy化成xy+1，再代值计算即可得出答案．
此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键，较简单．
4.【答案】B
【解析】解：∵羽毛球在第2秒与第4秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴方程为x=3．
∵2.9s最接近3s，
∴第2.9秒时，羽毛球所在高度最高，
故选：B．
由炮羽毛球在第2秒与第4秒时的高度相等可知这两点关于对称轴对称，故此可求得求得抛物线的对称轴．
本题主要考查的是二次函数的应用，利用抛物线的对称性求得对称轴方程是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵y=x2−4x+3=(x−2)2−1，
∴将抛物线y=x2−4x+3先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y=(x−2+1)2−1−2，即y=(x−1)2−3．
故选：A．
按照“左加右减，上加下减”的规律即可求得．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵线段AB长是2，P是线段AB的黄金分割点，
∴AP=5−12AB=5−1，
或或AP=2−(5−1)=3−5．
故选：D．
根据黄金分割点的定义，知AP可能是较长线段，也可能是较短线段，求解即可．
本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB：AC=AC：BC)，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
7.【答案】A
【解析】解：∵观察二次函数y=3x2+kx+12的图象可知：抛物线与x轴有一个交点，
∴Δ=k2−4×3×12=0，
解得k=±12，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴k=12，
故选：A．
根据图象与x轴有一个交点即可得k的取值范围．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是利用判别式进行计算．
8.【答案】C
【解析】解：设函数y=−(x−a)(x−b)，
当y=0时，
x=a或x=b，
当y=6时，
由题意可知：6−(x−a)(x−b)−6=0(a0，c<0，
对称轴x=−b2a<0，
∴b>0，
∴abc<0，故①正确；
②由对称轴可知：−b2a=−1，
∴b=2a，
∵x=1时，y=a+b+c=0，
∴c+3a=0，
∴c+2a=−3a+2a=−a<0，故②错误；
③(1,0)关于x=−1的对称点为(−3,0)，
∴x=−3时，y=9a−3b+c=0，故③正确；
④当x=−1时，y的最小值为a−b+c，
∴x=m时，y=am2+bm+c，
∴am2+bm+c≥a−b+c，
即am2+bm≥a−b，故④正确；
⑤抛物线与x轴有两个交点，
∴△>0，
即b2−4ac>0，
∴4ac−b2<0，故⑤正确；
故选：C．
根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
10.【答案】B
【解析】解：∵二次函数y=ax2与反比例函数y=kx的图象，它们相交于点A(1,1)，
∴a=1.k=1，
∴二次函数为y=x2，反比例函数y=1x，
∵点A(1,1)在反比例函数y=kx的图象上，
∴点(−1,−1)也在反比例函数y=kx的图象上，
当x=−1时，y=x2−72=−52<−1，
∴二次函数y=x2−72y与反比例函数y=1x在第三象限有两个交点，
∴二次函数y=x2−72y与反比例函数y=1x有三个交点，如图，
∴关于x的方程ax2−kx=72的解有三个，
故选：B．
由二次函数y=ax2与反比例函数y=kx的图象相交于点A(1,1)，即可求得二次函数为y=x2，反比例函数y=1x，由于点(−1,−1)也在反比例函数y=kx的图象上，当x=−1时，y=x2−72=−52<−1，即可判断二次函数y=x2−72y与反比例函数y=1x在第三象限有两个交点，然后结合图象即可判断二次函数y=x2−72y与反比例函数y=1x有三个交点，从而得出关于x的方程ax2−kx=72的解有三个．
本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，数形结合是解题的关键．
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