2021-2022学年江苏省连云港市灌云县九年级（上）期中数学试题及答案解析

2021-2022学年江苏省连云港市灌云县九年级（上）期中数学试卷 1. 下列方程是一元二次方程的是(    ) A. 3x+2y−1=0 B. 5x2−6y−3=0 C. −x+2=0 D. x2−1=0 2. 以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P的读数为35°，则∠CBD的度数是(    ) A. 55° B. 45° C. 35° D. 25 3. 用配方法将方程x2−6x=1转化为(x+a)2=b的形式，则a，b的值分别为(    ) A. a=3，b=1 B. a=−3，b=1 C. a=3，b=10 D. a=−3，b=10 4. 下列命题中不正确的是(    ) A. 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴 B. 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 C. 同弧或等弧所对的圆心角相等 D. 平分弦的直径一定垂直于这条弦 5. 某商品连续两次降价，每件零售价由原来的56元降到了31.5元，若设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为(    ) A. 56(1+x)2=31.5 B. 31.5(1+x)2=56 C. 56(1−x)2=31.5 D. 56(1+x)2=31.5 6. 如图，A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB=140°.在这个图中，画出下列度数的圆周角：40°，50°，90°，140°，仅用无刻度的直尺能画出的有(    ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. a、b、c是△ABC的三边长，且关于x的方程x2−2cx+a2+b2=0有两个相等的实数根，这个三角形是(    ) A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，AC=8cm，BC=3cm.D是BC边上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D变化的过程中，线段BE的最小值是(    ) A. 1 B. 3 C. 2 D. 5 9. 点P(4,−3)与圆心在原点O，半径为5的⊙O的位置关系是______． 10. 一个扇形的半径长为6，面积为8π，这个扇形的圆心角是______度． 11. 已知m是方程x2−x−1=0的一个根，代数式5m2−5m+2016的值是______． 12. 如图，AB是⊙O的直径，C、D是BE的三等分点，∠AOE=60°，则∠COE=______． 13. 现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2−3a+b，如：3★5=32−3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是______． 14. 已知△ABC三边长分别为5cm，12cm，13cm，则这个三角形的外接圆的半径=______． 15. 某校初三6班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了930份留言，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为______． 16. 如图，点A在反比例函数图象y=62x(x>0)上，以OA为直径的圆交该双曲线于点C，交y轴于点B，若CB=CO，则该圆的直径长是______． 17. 按照下列不同方法解方程． (1)x2−4=0(直接开平方法)； (2)x2+3x−1=0(配方法)； (3)2x2+x−1=0(公式法)； (4)x2−3x=0(因式分解法)． 18. 已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的△AB′C′； (2)在(1)的条件下，求点C旋转到点C′所经过的路线长(结果保留π)． 19. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD=60°，∠ADC=50°，求∠CEB的度数． 20. 用一根长100cm的金属丝能否制成面积是800cm2的矩形框子？若能，请求出长和宽：若不能，请说明理由． 21. 如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD=OA，CD的延长线交⊙O于点E，若∠C=20°，求∠BOE的度数． 22. 某商店经销的某种商品，每件成本为40元．经市场调研，售价为50元时，可销售200件；售价每增加1元，销售量将减少10件．如果这种商品全部销售完，那么该商店可盈利2000元．问：该商店销售了这种商品多少件？每件售价多少元？ 23. 如图，在矩形ABCD中，AB=7cm，BC=22cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动，点P出发几秒后，点P、A的距离是点P、C的距离的2倍． 24. 我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数，都有a2≥0成立，所以，当a=0时，有最小值a2=0． 【应用】(1)代数式(x−1)2有最小值时，x=______； (2)代数式m2+3的最小值是______； 【探究】求代数式n2+4n+9的最小值，小明是这样做的： n2+4n+9 =n2+4n+4+5 =(n+2)2+5． ∴当n=−2时，代数式n2+4n+9有最小值，最小值为5． (3)请你参照小明的方法，求代数式a2−6a−3的最小值，并求此时a的值． (4)代数式m2+n2−8m+2n+17=0，求m+n的值． 25. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，过点C作CG⊥AB，垂足为G，交AE于点F，过点E作EP⊥AB，垂足为P，∠EAD=∠DEB． (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)若CE=EP，CG=12，AC=15，求四边形CFPE的面积． 26. 如图，⊙O中，O为圆心．圆上两点分别是定点A与动点B，连接OA，OB.以OA，OB和AB分别为半径作半圆C、半圆D和半圆E． (1)若∠AOB=90°，求证：半圆C与半圆D面积之和等于半圆E的面积． (2)若F是半圆D上的中点，且⊙O半径为5，求F运动路径长． (3)在(2)的条件下，连接AF，当AF与其运动路线相切时，求弧AB的长． 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：A.是二元一次方程，不符合题意； B.是二元二次方程，不符合题意； C.是一元一次方程，不符合题意； D.是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2.进而可以判断． 本题考查了一元二次方程的定义，解决本题的关键是掌握一元二次方程的定义． 2.【答案】C  【解析】 【分析】 本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．根据切线的性质得到∠OPB=90°，证出OP//BC，根据平行线的性质得到∠POB=∠CBD，于是得到结果． 【解答】 解：∵AB是⊙O的切线， ∴∠OPB=90°， ∵∠ABC=90°， ∴∠OPB=∠ABC=90°， ∴OP//BC， ∴∠CBD=∠POB=35°， 故选：C．   3.【答案】D  【解析】解：方程x2−6x=1， 配方得：x2−6x+9=10，即(x−3)2=10， 则a，b的值分别为−3，10． 故选：D． 已知方程利用完全平方公式配方后，确定出a与b的值即可． 此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 4.【答案】D  【解析】解：A、圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴，正确； B、圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，正确； C、同弧或等弧所对的圆心角相等，正确； D、平分弦(不是直径)的直径一定垂直于这条弦，错误， 故选D． 利用圆的对称性、圆周角定理及垂径定理分别判断后即可确定正确的选项． 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的对称性、圆周角定理及垂径定理，属于基础题，难度不大． 5.【答案】C  【解析】解：设平均每次降价的百分率为x， 由题意得，56(1−x)2=31.5， 故选：C． 设平均每次降价的百分率为x，则等量关系为：原价×(1−x)2=现价，据此列方程． 本题考查的是由实际问题抽象出一元二次方程，要注意题意指明的是降价，应该是(1−x)而不是(1+x)． 6.【答案】D  【解析】解：作直径AD，连接BD、AB，如图， ∵∠ACB+∠D=180°， ∴∠D=180°−140°=40°， ∵AD为直径， ∴∠ABD=90°， ∴∠BAD=90°−∠D=50°； 在AB上取一点E，连接AE、BE， ∴∠AEB=∠ACB=140°． 故选：D． 作直径AD，连接BD，在AB上取一点E，连接AE、BE，如图，利用圆周角定理得到∠AEB=140°，∠ABD=90°，利用圆内接四边形的性质得到∠D=40°，根据互余可计算出∠BAD=50°． 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 7.【答案】C  【解析】解：根据题意得Δ=(−2c)2−4(a2+b2)=0， 即a2+b2=c2， 所以原三角形为直角三角形． 故选：C． 先根据判别式的意义得到Δ=(−2c)2−4(a2+b2)=0，变形得到a2+b2=c2，然后根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．也考查了勾股定理的逆定理． 8.【答案】A  【解析】解：如图， 由题意知，∠AEC=90°， ∴E在以AC为直径的⊙M的CN上(不含点C、可含点N)， ∴BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点(图中点E′点)， 在Rt△BCM中，BC=3cm，CM=12AC=4cm，则BM=BC2+CM2=5cm． ∵ME′=MC=4cm， ∴BE长度的最小值BE′=BM−ME′=1cm， 故选：A． 由∠AEC=90°知E在以AC为直径的⊙M的CN上(不含点C、可含点N)，从而得BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点(图中点E′点)，BE长度的最小值BE′=BM−ME′． 本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的三边关系等知识点，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法． 9.【答案】点P在圆上．  【解析】解：∵圆心在原点O，点P(4,−3)， ∴OP=42+32=5， ∴OP=r=5， ∴点P在⊙O上． 故答案为：点P在圆上． 先根据两点间的距离公式求出OP的长，进而可得出结论． 本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的种位置关系是解答此题的关键． 10.【答案】80  【解析】解：设这个扇形的圆心角是n°， ∵8π=nπ×62360， ∴n=80， ∴这个扇形的圆心角为80度． 故答案为：80． 设这个扇形的圆心角是n°，根据S扇形=nπr2360，求出这个扇形的圆心角为多少即可． 此题主要考查了扇形的面积的计算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=nπr2360． 11.【答案】2021  【解析】解：∵m是方程x2−x−1=0的一个根， ∴m2−m−1=0， ∴m2−m=1， ∴5m2−5m+2016=5(m2−m)+2016=5×1+2016=2021． 故答案为：2021． 先根据一元二次方程根的定义得到m2−m=1，再把5m2−5m+2