2021-2022学年辽宁省沈阳市大东区九年级（上）期中数学试题及答案解析

2021-2022学年辽宁省沈阳市大东区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 方程x2−2x=0的根是(    ) A. x1=x2=0 B. x1=x2=2 C. x1=0，x2=2 D. x1=0，x2=−2 2. 下列各组线段中，能构成比例线段的是(    ) A. 1cm，2cm，4cm，6cm B. 2cm，4cm，0.4cm，7cm C. 3cm，9cm，18cm，6cm D. 3cm，4cm，5cm，6cm 3. 用配方法解方程x2−2x−1=0时，配方后得的方程为(    ) A. (x+1)2=0 B. (x−1)2=0 C. (x+1)2=2 D. (x−1)2=2 4. 一元二次方程x2−2x−1=0根的情况是(    ) A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有两个不相等的实数根 5. 若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是矩形，则该四边形一定是(    ) A. 对角线相等的四边形 B. 等腰梯形 C. 菱形 D. 对角线互相垂直的四边形 6. 小明、小颖和小丽三位同学随机地站成一排做游戏，小明站在排头的概率是(    ) A. 1 B. 12 C. 23 D. 13 7. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE/​/BC，EF/​/AB.若AD=2BD，则CFBF的值为(    ) A. 12 B. 13 C. 14 D. 23 8. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为似中心，将△ABC扩大到原来的2倍，得到对应的△A′B′C′.若点A的坐标是(−1,2)，则点A′的坐标是(    ) A. (4,−2) B. (−4,2) C. (2,−4) D. (−2,4) 9. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AO=3，∠ABC=60°，则菱形ABCD的周长是(    ) A. 36 B. 24 C. 12 D. 6 10. 如图，在矩形ABCD中，P为BC边的中点，E、F分别为AB、CD边上的点，若BE=2，CF=3，∠EPF=90°，则EF的长为(    ) A. 5 B. 26 C. 25 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 11. 已知ab=2，则a+ba−b=______． 12. 两个相似三角形对应高的比为4：1，那么这两个相似三角形的面积比是______． 13. 若直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边上的中线长为______． 14. 在一个暗箱里放有m个大小相同、质地均匀的白球，为了估计白球的个数，再放入3个同白球大小、质地均相同，只有颜色不同的黄球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在25%，推算m的值大约是______． 15. 关于x的一元二次方程(m−3)x2+(2m−1)x+m2−9=0的一个根是0，则m的值是______． 16. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E，F，则PE+PF=______． 三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. (本小题6.0分) 4x2−3=12x(用公式法解) 18. (本小题8.0分) “一方有难，八方支援”，2020年初武汉受到新型冠状肺炎影响，沈阳某医院准备从甲、乙、丙三位医生和A，B，C三名护士中选取一位医生和一名护士支援武汉，用树状图或列表法求恰好选中医生甲和护士A的概率． 19. (本小题8.0分) 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是CD中点，连接OE，过点C作CF/​/BD交OE的延长线于点F，连接DF． (1)求证：四边形OCFD是矩形； (2)若DF=2，CF=3，求菱形ABCD的面积． 20. (本小题8.0分) 沈阳街头随处可见单车出行，单车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，据统计2021年某区8月份租用单车次数6400辆，10月份租用单车次数10000辆． (1)若该区2021年8月至10月的单车租用次数的月平均增长率相同，求该区单车租用次数的月平均增长率是多少？ (2)若单车租用次数的月平均增长率保持不变，预计该区11月份单车次数租用______辆． 21. (本小题8.0分) 如图，在平行四边形ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于点F． (1)求证：△DFC∽△EFB； (2)若DC=6，BE=4，DE=8，求DF的长度． 22. (本小题10.0分) 小红和小丁玩纸牌优秀，如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上，小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也在、抽出一张，比较两人抽取的牌面上的数字，数字大者获胜，请用树状图或列表法求小红获胜的概率． 23. (本小题10.0分) 已知，在矩形ABCD中，AB=6，BC=3，BD的垂直平分线EF分别交AB，CD于点E，F，垂足为O． (1)如图1，连接DE，BF． ①求证：四边形DEBF为菱形； ②直接写出AE的长______． (2)如图2，动点P，Q分别从D，B两点同时出发，沿△DEA和△BCF各边匀速运动一周，即点P自D→E→A→D停止，点Q自B→C→F→B停止，在运动过程中，若点P，Q的运动路程分别为x，y(xy≠0)，已知A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出x与y满足的数量关系式． 24. (本小题12.0分) 一专卖店某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，为了尽快减少库存，进行降价处理，经调查，现每件商品每降价1元，该专卖店平均每天可多销售2件． (1)每件商品降价多少元时，该专卖店盈利可达到3150元？ (2)请问该专卖店日盈利能否达到3300元？若能求出此时商品售价，若不能，请说明理由． 25. (本小题12.0分) (1)在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，EF⊥GH于P，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H． ①如图1，当a=b时，线段EF与线段GH的数量关系是______； ②如图2，当a≠b时，①中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由，若不成立，请写出正确的结论，并说明理由； (2)如图3，在四边形ABCD中，BC=CD=10，∠B=∠ADC=90°，AE⊥DF于P，点E，F分别在边BC，AB上，若AEDF=54，请直接写出AB的长． 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：x2−2x=0 x(x−2)=0， 解得：x1=0，x2=2． 故选：C． 直接利用因式分解法将方程变形进而求出答案． 此题主要考查了因式分解法解方程，正确分解因式是解题关键． 2.【答案】C  【解析】解：A、1×6≠4×2，故选项错误； B、0.4×7≠2×4，故选项错误； C、18×3=9×6，故选项正确； D、3×6≠4×5，故选项错误． 故选：C． 如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案． 此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一． 3.【答案】D  【解析】解：把方程x2−2x−1=0的常数项移到等号的右边，得到x2−2x=1， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2−2x+1=1+1 配方得(x−1)2=2． 故选：D． 在本题中，把常数项−1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数−2的一半的平方． 考查了解一元二次方程−配方法，配方法的一般步骤： (1)把常数项移到等号的右边； (2)把二次项的系数化为1； (3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 4.【答案】D  【解析】解：∵△=(−2)2−4×(−1)=8>0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况即可． 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根． 5.【答案】D  【解析】解：已知：如右图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点， 求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形． 证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点， 根据三角形中位线定理得：EH/​/FG/​/BD，EF/​/AC/​/HG； ∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG， ∴AC⊥BD， 即：四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形． 故选：D． 此题要根据矩形的性质和三角形中位线定理求解；首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解． 本题主要考查了矩形的判定和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答． 6.【答案】D  【解析】解：把小明、小颖和小丽三位同学分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，小明站在排头的结果有2种， ∴小明站在排头的概率为26=13， 故选：D． 画树状图，共有6种等可能的结果，小明站在排头的结果有2种，再由概率公式求解即可． 本题考查了树状图法：先利用树形图法不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． 7.【答案】A  【解析】解：∵DE/​/BC，EF/​/AB，AD=2BD， ∴ADBD=AEEC=2，AEEC=BFCF=2， ∴CFBF=12， 故选：A． 根据平行线分线段成比例定理得出ADBD=AEEC=BFCF=2，即可得出答案． 本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例． 8.【答案】C  【解析】解：∵以原点O为似中心，将△ABC扩大到原来的2倍，得到对应的△A′B′C′，点A的坐标是(−1,2)， ∴点A′的坐标为(−1×(−2),2×(−2))，即(2,−4)， 故选：C． 根据位似变换的性质计算，得到答案． 本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k． 9.【答案】B  【解析】解：∵四边形ABCD菱形，AO=3， ∴AC=2AO=6，AB=BC=CD=AD， ∵∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC=6， ∴菱形ABCD的周长=4AB=24， 故选：B． 由菱形的性质得AC=2AO=6，AB=BC=CD=AD，在证△ABC是等边三角形，得AB=BC=AC=6，即可求解． 本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质，证明△ABC为等边三角形是解题的关键． 10.【答案】A  【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠C=90°， ∵∠EPF=90°， ∴∠EPB+∠CPF=90°，∠CPF+∠CFP=90°， ∴∠EPB=∠CFP， ∴△EPB∽△PF