机械工程控制基础教学课件5

1、2022/7/11/85第第5 5章章 控制系统的稳定性控制系统的稳定性5.1 5.1 稳定性的基本概念稳定性的基本概念5.2 5.2 代数稳定性判据代数稳定性判据5.3 5.3 几何稳定性判据几何稳定性判据5.4 5.4 系统的相对稳定性系统的相对稳定性5.5 5.5 切削过程的稳定性分析切削过程的稳定性分析2022/7/12/85 稳定性是控制系统最重要的问题，是系统正常工作的首要条件。 控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。 如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并且越偏越远，即使扰动消失了，也不可能恢复原来的平衡状态。第第5 5章章 控制系统的稳定性控制系统的稳定性2022/7/13/855.1 5.1 稳定性的基本概念稳定性的基本概念5.1.1 5.1.1 稳定性的定义稳定性的定义 原来处于平衡状态的系统，在受到扰动作用后都会偏离原来的平衡状态。所谓稳定性，就是指系统在扰动作用消失后，经过一段过渡过程后能否回复到原来的平衡状态或足够准确地恢复到原来的平衡状态的性能。 小球的

2、稳定性判定问题2022/7/14/85（1）定义）定义5.1.2 5.1.2 控制系统的稳定性条件控制系统的稳定性条件 稳定性：系统受到干扰后恢复到平衡位置的能力。系统的稳定性：系统的固有性质， 取决于系统参数。2022/7/15/85系统的传递函数此方程的根称为系统的特征根。 如果一个系统的特征根全部落在s平面的左半部分，则该系统是稳定的；否则系统是不稳定。当特征根具有负实部，则此特征根在复平面左侧。当特征根具有负实部，则此特征根在复平面左侧。（2）系统稳定的充分必要条件系统的特征方程5.1.2 5.1.2 控制系统的稳定性条件控制系统的稳定性条件 2022/7/16/855.1.2 5.1.2 控制系统的稳定性条件控制系统的稳定性条件 （3）系统稳定条件的证明：2022/7/17/855.1.2 5.1.2 控制系统的稳定性条件控制系统的稳定性条件 2022/7/18/855.1.2 5.1.2 控制系统的稳定性条件控制系统的稳定性条件 2022/7/19/85当当 为实根时，即为实根时，即 ，若，若 ，则，则 ，则，则 ，则，则 实根 的位置与相应的 分量如图所示。 （a a）（

3、c c）（b b） 只有系统的所有实根都为负值只有系统的所有实根都为负值时，系统才稳定。时，系统才稳定。 5.1.2 5.1.2 控制系统的稳定性条件控制系统的稳定性条件 2022/7/110/855.1.2 5.1.2 控制系统的稳定性条件控制系统的稳定性条件 当当 为共轭复根时，即为共轭复根时，即 则相应的则相应的 分量可写成：分量可写成： 或可写成或可写成2022/7/111/855.1.2 5.1.2 控制系统的稳定性条件控制系统的稳定性条件 （1）如果）如果 则则 则则 则则 （2）如果）如果 （3）如果）如果 其其 分量为衰减振荡，最后趋于零，系统稳定。分量为衰减振荡，最后趋于零，系统稳定。其其 分量为等幅振荡，系统属于临界稳定。分量为等幅振荡，系统属于临界稳定。 其其 分量呈发散振荡状态系统不稳定分量呈发散振荡状态系统不稳定 。 2022/7/112/855.1.2 5.1.2 控制系统的稳定性条件控制系统的稳定性条件 共轭复根情况下的系统稳定性 (a)(a)（b)b) (c)(c)共轭复根的位置与相应的 分量如下图所示。 2022/7/113/855.1.3 5.1.3

4、 线性系统稳定的充分必要条件线性系统稳定的充分必要条件 线性系统稳定与否完全取决于其微分方程的特征方程根。 （1）线性系统稳定的充分必要条件是它的特征方程式的所有根均为负数或具有负的实数部分；或者说，特征方程式的所有根均在复数平面的左半部分。 （2）由于系统特征方程式的根就是系统的极点，所以又可以说，系统稳定的充分必要条件是系统的极点均在S平面的左半部分。 （3）如果特征方程在复平面的右半平面上没有根，但在虚轴上有根，则可以说该线性系统是临界稳定的。 2022/7/114/855.2 5.2 代数稳定性判据代数稳定性判据设系统特征方程的一般形式为式中 均为实数。 5.2.1 5.2.1 劳斯判据劳斯判据在特征方程中,复数根与系数的关系： 2022/7/115/855.2 5.2 代数稳定性判据代数稳定性判据5.2.1 5.2.1 劳斯判据劳斯判据（2）特征方程的各项系数的符号都相同。）特征方程的各项系数的符号都相同。（1）特征方程的各项系数）特征方程的各项系数(i=0，1，2，n)。要使全部特征根均具有负实部，必须满足：要使全部特征根均具有负实部，必须满足：必要条件！必要条件！2022

5、/7/116/855.2 5.2 代数稳定性判据代数稳定性判据5.2.1 5.2.1 劳斯判据劳斯判据充要条件：充要条件：劳斯阵列：劳斯阵列： 如果如果“劳斯阵列劳斯阵列”中第一列所有项均为正，则系统稳定。中第一列所有项均为正，则系统稳定。2022/7/117/855.2 5.2 代数稳定性判据代数稳定性判据5.2.1 5.2.1 劳斯判据劳斯判据计算bi时所用二阶行列式是由劳斯表右侧前两行组成的二行阵的第1列与第i+1列构成的。系数b的计算一直进行到其余值为零时止。2022/7/118/855.2 5.2 代数稳定性判据代数稳定性判据5.2.1 5.2.1 劳斯判据劳斯判据显然，计算ci时所用的二阶行列式是由劳斯表右侧第二、三行组成的二行阵的第1列与第i+1列构成的，同样，系数c的计算一直进行到其余值为零为止。2022/7/119/855.2 5.2 代数稳定性判据代数稳定性判据5.2.1 5.2.1 劳斯判据劳斯判据劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据系统稳定的充分必要条件是：系统稳定的充分必要条件是： 劳斯表中第一列元素全部大于零。劳斯表中第一列元素全部大于零。 若出现小于零的元素，系统

6、就不稳定若出现小于零的元素，系统就不稳定。 第一列元素符号改变的次数等于系统特征方程第一列元素符号改变的次数等于系统特征方程具有正实部特征根的个数。具有正实部特征根的个数。必要条件是：必要条件是： 1）特征方程的各项系数大于零。）特征方程的各项系数大于零。 2）特征方程的各项系数的符号都相同。特征方程的各项系数的符号都相同。2022/7/120/855.2.1 5.2.1 劳斯判据劳斯判据例5.1 设控制系统的特征方程式为解：由方程系数可知已满足稳定的必要条件。 排劳斯阵列试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。因为：第一列系数改变符号2次，闭环系统的根中有2个实部为正，则：控制系统不稳定。2022/7/121/855.2.1 5.2.1 劳斯判据劳斯判据例例5.2系统的特征方程为系统的特征方程为用劳斯判据判断系统是否稳定。用劳斯判据判断系统是否稳定。解：解：因为方程各项系数非零且符号一致，满足方因为方程各项系数非零且符号一致，满足方程的根在复平面左半平面的必要条件，但仍然需程的根在复平面左半平面的必要条件，但仍然需要检验它是否满足充分条件。计算其劳斯表中各要检验它是否满足充分条件。计算其

7、劳斯表中各个参数如下个参数如下2022/7/122/855.2.1 5.2.1 劳斯判据劳斯判据劳斯表为劳斯表为2022/7/123/855.2.1 5.2.1 劳斯判据劳斯判据劳斯表为劳斯表为表格第一列元素的符号改变两次，因此方程有两个根在复平面的右半部分。求解特征方程，可以得到4个根，分别为：显然，后面一对复根在复平面右半平面，因而系统不稳显然，后面一对复根在复平面右半平面，因而系统不稳定。定。2022/7/124/855.2.1 5.2.1 劳斯判据劳斯判据 二阶系统特征式为二阶系统特征式为 ，劳斯，劳斯表为表为故故二阶系统稳定的充要条件二阶系统稳定的充要条件是是 对于特征方程阶次低（对于特征方程阶次低（n3n3）的系统，劳斯）的系统，劳斯判据可简化：判据可简化：2022/7/125/855.2.1 5.2.1 劳斯判据劳斯判据三阶系统特征式为三阶系统特征式为 ，劳斯表劳斯表: :故故三阶系统稳定的充要条件三阶系统稳定的充要条件是是2022/7/126/855.2.2 5.2.2 赫尔维茨判据赫尔维茨判据 系统的特征方程式系统的闭环传递函数2022/7/127/855.2.2 5

8、.2.2 赫尔维茨判据赫尔维茨判据 （）由系统特征方程各项系数组成的赫尔维茨行列式各阶主子式都大于零，即 系统稳定的充分必要条件：令方程首项系数 （1）系统特征方程的各项系数全部为正值，即 2022/7/128/855.2.2 5.2.2 赫尔维茨判据赫尔维茨判据 2022/7/129/855.2.2 5.2.2 赫尔维茨判据赫尔维茨判据 例5.3 设控制系统的特征方程式为解：由方程系数可知满足稳定的必要条件。各系数排成行列式试应用赫尔维茨稳定判据判断系统的稳定性。2022/7/130/855.2.2 5.2.2 赫尔维茨判据赫尔维茨判据 由于故该系统稳定。2022/7/131/855.2.2 5.2.2 赫尔维茨判据赫尔维茨判据 试求使系统稳定的K值范围。解：系统的特征方程例5.4 单位负反馈系统的开环传递函数为2022/7/132/855.2.2 5.2.2 赫尔维茨判据赫尔维茨判据 2022/7/133/855.3 5.3 几何稳定性判据几何稳定性判据代数稳定性判据使用的多项式是系统闭环特征多项式。代数稳定性判据的不足：定性较难从量上判断系统的稳定程度 必须知道系统的闭环传递函数

9、几何稳定性判据的特点：对含有延迟环节的系统无效根据开环频率特性判断闭环稳定性能判断系统的稳定程度2022/7/134/855.3 5.3 几何稳定性判据几何稳定性判据5.3.1 5.3.1 幅角定理幅角定理 设有一复变函数：设 在 平面上为一单值复变函数，其零极点图如图5.2（a）所示。在 平面上取一封闭曲线，记为 ，要求 不通过 的任一极点和零点。设 包围了 的 个零点和 个极点。记 在 平面上的映射为 ，因为 为一单值复变函数，所以 是唯一的，也是一个封闭曲线，如图5.2（b）所示。2022/7/135/85若若N0N0，则，则 按顺时针方向绕按顺时针方向绕FF平面坐标原点平面坐标原点N N周；周；若若N0N0，则，则 按逆时针方向绕按逆时针方向绕 FF平面坐标原点平面坐标原点N N周；周；若若N=0N=0，则，则 不包围不包围FF平面坐标原点。平面坐标原点。5.3.1 5.3.1 幅角定理幅角定理 设设 在在 平面上，除有限个奇点外，为单值的连续函数，平面上，除有限个奇点外，为单值的连续函数，若在若在 平面上任选一封闭曲线平面上任选一封闭曲线 ，并使，并使 不通过不通过 的奇点，

10、的奇点，则则 平面上的封闭曲线平面上的封闭曲线 映射到映射到 平面上也是一条封闭曲线平面上也是一条封闭曲线 。 当解析点当解析点s s 按顺时针方向沿按顺时针方向沿 变化一周时，则在变化一周时，则在 平面平面上，上， 曲线按顺时针方向旋转的周数曲线按顺时针方向旋转的周数N N（每旋转（每旋转2 2 弧度为一弧度为一周），或周），或 按顺时针方向包围按顺时针方向包围 平面原点的次数，等于封平面原点的次数，等于封闭曲线闭曲线 内包含内包含 的零点数的零点数Z Z 与极点数与极点数P P 之差。即之差。即2022/7/136/85根据复数性质可知，两个复数积的幅角等于它们幅角的和。根据复数性质可知，两个复数积的幅角等于它们幅角的和。则则F F( (s s) )函数的幅角为函数的幅角为: :设F(s)的零点和极点的分布如图所示。关于幅角原理的说明5.3.1 5.3.1 幅角定理幅角定理 2022/7/137/85 复数 和 在s平面上的分量分别由 和 指向 。图5.3 关于幅角原理的说明 5.3.1 5.3.1 幅角定理幅角定理 若动点 按顺时针沿 转一周，由图5.3(a)可见，只有向量 的幅

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