北京化工大学《大学物理》20振动－2

1、动能：动能：势能：势能：简谐振动系统的总机械能守恒，不随时间改变！简谐振动系统的总机械能守恒，不随时间改变！以水平弹簧振子为例：以水平弹簧振子为例：EA2:简谐振动系统的简谐振动系统的总能量总能量与与振幅的平方振幅的平方成正比成正比20.3简谐振动的能量简谐振动的能量oxF=-kxxm机械能：机械能：1 xtTEEpEk(1/2)kA2o系统势能的平均值：系统势能的平均值：E能量能量时间关系曲线时间关系曲线同理同理结论：结论：220.4阻尼振动阻尼振动受迫振动受迫振动共振共振一、一、阻尼振动阻尼振动二、二、受迫振动受迫振动共振共振3相相比比无无阻阻尼尼自自由由振振动动(只只有有弹弹性性力力或或准准弹弹性性力力作作用用)，任任何何系系统总还要受到统总还要受到阻力阻力的作用，此时振动叫的作用，此时振动叫阻尼振动阻尼振动。阻阻尼尼振振动动中中，振振动动系系统统要要不不断断克克服服阻阻力力做做功功，所所以以能能量量不不断断减少，振幅也不断减小，故被称为减少，振幅也不断减小，故被称为减幅振动减幅振动。当当物物体体的的运运动动速速度度不不太太大大时时，介介质质对对运运动动物物体体的的阻阻力力与与速

2、速度度成正比成正比：质量为质量为m的振动物体，在弹性力和阻力作用下运动方程为的振动物体，在弹性力和阻力作用下运动方程为得微分方程：得微分方程：一、一、阻尼振动阻尼振动1、阻尼振动的概念阻尼振动的概念4在阻尼作用较小在阻尼作用较小( 0 0)时方程的解：时方程的解：A0e-t：随时间变化的振幅：随时间变化的振幅,随时间指数减小随时间指数减小tA0e -tT(阻尼振动阻尼振动表达式表达式)阻尼周期阻尼周期:很明显，很明显，阻尼振动周期阻尼振动周期比比振动系统的固有周期振动系统的固有周期要要长长。xO52、三种阻尼形式、三种阻尼形式过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼欠阻尼欠阻尼xt02)过阻尼过阻尼：3)临界阻尼临界阻尼：1)欠欠（弱弱）阻尼阻尼：物体以非周期运动的方式慢慢回到物体以非周期运动的方式慢慢回到平衡位置。平衡位置。物体刚刚能做非周期性运动，最后也回物体刚刚能做非周期性运动，最后也回到平衡位置。和过阻尼相比，这种非周到平衡位置。和过阻尼相比，这种非周期性运动回到平衡位置的期性运动回到平衡位置的时间最短时间最短。因。因此当物体偏离平衡位置时，如果要它在不发生振动的情况下，最此当物体偏离平衡

3、位置时，如果要它在不发生振动的情况下，最快地恢复到平衡位置，常用施加快地恢复到平衡位置，常用施加的方法。的方法。临界阻尼临界阻尼6欠（弱）阻尼欠（弱）阻尼：时间常数时间常数振幅振幅能量能量在欠（弱）阻尼情况下，振动振幅随时间指数减小，在欠（弱）阻尼情况下，振动振幅随时间指数减小，由于振幅不断减小，振动能量也不断减小，又因由于振幅不断减小，振动能量也不断减小，又因振动能量振动能量和和振幅平方振幅平方成正比，所以：成正比，所以：其中其中E0为起始能量。能量减小到起始能量的为起始能量。能量减小到起始能量的1/e所经历的时间为：所经历的时间为：时间常数时间常数可以作为阻尼振动的特征时间，也称为可以作为阻尼振动的特征时间，也称为鸣响时间鸣响时间。阻尼越小，时间常数越大，鸣响时间越长。阻尼越小，时间常数越大，鸣响时间越长。73、品质因数、品质因数Q值值用用在在鸣鸣响响时时间间内内可可能能振振动动的的次次数数来来比比较较振振动动的的“优优劣劣”，振振动动次次数数越越多多越越好好，将将这这一一次次数数的的2 倍倍定定义义为为阻阻尼振动的品质因数，用尼振动的品质因数，用Q表示，又称为振动系统的表示，又称

4、为振动系统的Q值值。固有频率固有频率 0 0 ，阻尼系数阻尼系数 其中其中 0 0 - -固有角频率固有角频率( (无阻尼自由振动角频率无阻尼自由振动角频率) ) - -阻尼系数阻尼系数 Q值值 t t = 1/ = 1/（2 2 ）8二、二、受迫振动受迫振动共振共振1、受迫振动的概念、受迫振动的概念a)维持受迫振动的维持受迫振动的周期性外力周期性外力叫做叫做驱动力驱动力。b)稳定稳定时时系统振动的频率系统振动的频率=驱动力的频率驱动力的频率 c)物体做物体做受迫振动的频率受迫振动的频率等于等于驱动力的频率驱动力的频率，而与，而与振动物体的振动物体的固有频率固有频率无关无关。受迫振动受迫振动在驱动力作用下系统的振动在驱动力作用下系统的振动9设驱设驱动力是随时间按余弦规律变化的简谐力动力是随时间按余弦规律变化的简谐力由于同时受到弹性力和阻力的作用，其运动方程为：由于同时受到弹性力和阻力的作用，其运动方程为：令：令：上式可写为：上式可写为：方程解为：方程解为：10随时间很快衰减为零随时间很快衰减为零稳定时的振动方程稳定时的振动方程 在达到稳定状态时，系统振动方程为在达到稳定状态时，系统振动

5、方程为：分析：受迫振动分析：受迫振动可以看成两个振动合成的。可以看成两个振动合成的。第一项第一项是是减减幅的振动幅的振动，一段时间后减弱到可忽略不计；，一段时间后减弱到可忽略不计；后一项后一项表示表示振幅不变的振动振幅不变的振动，即受迫振动达到稳定时的等幅振动。，即受迫振动达到稳定时的等幅振动。可证明：此等幅振动的角频率可证明：此等幅振动的角频率 就是驱动力的角频率就是驱动力的角频率11求求A 的极值：当的极值：当在在弱阻尼弱阻尼即即 0下可以看出，下可以看出，当当 r= 0，即驱动力频率等于振即驱动力频率等于振动系统的固有频率时，振幅最动系统的固有频率时，振幅最大。该现象称为大。该现象称为共振共振。A0 O0较小较小较大较大相应的最大振幅：相应的最大振幅：稳态受迫振动的振幅为稳态受迫振动的振幅为：稳态受迫振动与驱动力的相差为稳态受迫振动与驱动力的相差为：122、共振的意义和规律、共振的意义和规律在在弱阻尼弱阻尼即即 0的情况下，当的情况下，当 = 0时，时，系统的振幅系统的振幅达到最大值达到最大值共振共振。应用：应用：声、光、电、原子内部、工程技术声、光、电、原子内部、工程技术核磁共

6、振；核磁共振；微波炉（电磁频率接近水分子的振动频率）；微波炉（电磁频率接近水分子的振动频率）；队伍整齐过桥；队伍整齐过桥；轮船在风浪中航行。轮船在风浪中航行。同时要注意避免共振造成破坏。同时要注意避免共振造成破坏。在需要在需要利用共振利用共振的时候，应该使的时候，应该使驱动力的频率驱动力的频率尽量尽量接近接近振动振动物体的物体的固有频率固有频率；在需要；在需要防止共振防止共振的时候，应该使的时候，应该使驱动力的频驱动力的频率率和物体和物体固有频率固有频率不相等不相等，而且差得越多越好。，而且差得越多越好。13小号发出的声波足以使酒杯破碎小号发出的声波足以使酒杯破碎14随随后后在在大大风风中中因因产产生共振而断塌生共振而断塌1940年华盛顿的塔科马海年华盛顿的塔科马海峡大桥在大风中产生振动峡大桥在大风中产生振动发发生生共共振振时时由由于于振振幅幅过过大大可可能能损损坏坏机机器器、设设备或建筑。备或建筑。15由于共振可能引起巨大的损坏，所以在工程由于共振可能引起巨大的损坏，所以在工程技术中防振和减振是一项十分重要的任务。技术中防振和减振是一项十分重要的任务。据据报报导导，我我国国某某城城市

7、市有有三三栋栋新新建建的的十十一一层层居居民民楼楼经经常常摇摇晃晃，引引起起居居民民的的恐恐慌慌。后后来来发发现现距距居居民民楼楼800米米处处有有一一家家锯锯石石厂厂，四四台台大大功功率率锯锯石石机机的的工工作作频频率率为为，恰恰好好等等于于居居民民楼楼的的固有频率，楼的摇晃原来是一种共振现象。固有频率，楼的摇晃原来是一种共振现象。1620.5简谐振动的合成简谐振动的合成一、同方向、同频率的简谐振动的合成一、同方向、同频率的简谐振动的合成二、同方向、不同频率的简谐振动的合成二、同方向、不同频率的简谐振动的合成三、互相垂直的简谐振动的合成三、互相垂直的简谐振动的合成17 1A2A1Axxx1x2 2 合振动也是合振动也是简谐振动简谐振动,其频率仍为其频率仍为 。初相初相 振幅振幅一、同方向、同频率的简谐振动的合成一、同方向、同频率的简谐振动的合成合振动合振动:18两种特殊情况：两种特殊情况：(1)若两分振动同相若两分振动同相= 2k (k=0,1,2,)(2)若两分振动反相若两分振动反相= (2k+1) (k=0,1,2,)若若A1=A2，则，则A=0。则则A=A1+A2，合振幅最大，

8、合振幅最大，合成结果为相互加强。合成结果为相互加强。则则A=|A1A2|，合振幅最小，合振幅最小，合成结果为相互减弱。合成结果为相互减弱。(3)当当相相差差为为其其它它值值时时，合合振振幅幅在在A1+A2与与|A1A2|之间。之间。19例例20.2两个同方向、同频率的简谐振动，其合振动的振幅为两个同方向、同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20cm，与第一个简谐振动的相位差为，与第一个简谐振动的相位差为 - 1=/6，若第一个简，若第一个简谐振动的振幅为谐振动的振幅为10cm=17.3cm，则第二个简谐振动的振幅，则第二个简谐振动的振幅是多少？第一、二两个简谐振动的相位差是多少？第一、二两个简谐振动的相位差 1- 2为多少？为多少？ 1A2A1Axxx1x2 2 解：解：cm20COPMAnR多个多个振动方向振动方向相同、相同、频率频率相同、相同、振幅振幅相同、相同、相位差相位差依依次差一恒量次差一恒量 的振动的合成：的振动的合成：x合振动合振动:A1A2An21两种特殊情况：两种特殊情况：(1)各分振动同相各分振动同相 =0(2)各分振动相位差各分振动相位差各分振幅矢量构成一个闭合的正

9、多边形，合振幅为各分振幅矢量构成一个闭合的正多边形，合振幅为0。合振动合振动:22则合振动则合振动一般情况下，一般情况下，合振动没有明显的周期性合振动没有明显的周期性。 x =x1+x2二、同方向、不同频率的简谐振动的合成二、同方向、不同频率的简谐振动的合成设分振动设分振动x1=Acos( 1t + )x2=Acos( 2t + )但当两个分振动的但当两个分振动的频率都较大频率都较大，而其，而其差很小差很小时，就时，就会出现明显的会出现明显的周期性周期性。23单位时间内单位时间内振动振动加强或减弱加强或减弱的的次数次数叫叫拍频拍频。振幅振幅为为,角频率角频率为为的的简谐振动简谐振动。振幅随时间缓慢变化，振幅的变化也是周期性的，振幅随时间缓慢变化，振幅的变化也是周期性的，出现出现合振动忽强忽弱的现象合振动忽强忽弱的现象，叫做，叫做“拍拍”（beat）。和和都是周期性变化的，但由于都是周期性变化的，但由于 2 1 2+ 1第一项比第二项变化要慢得多，可以第一项比第二项变化要慢得多，可以近似近似认为是认为是24tx1 2tx2 1tx25完成作业：完成作业：4.1-11，4.1-134.1-14,4.1-19谢谢 谢谢 大大 家家“勤能补拙是良训，勤能补拙是良训，一分辛苦一分才一分辛苦一分才”华罗庚华罗庚30

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