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特征向量和特征值的实际应用-线性代数课程论文#

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1、成绩线性代数课程论文题目：特征向量和特征值的实际应用特征向量和特征值的实际应用摘要特征值和特征向量在现代科学中有这十分重要的应用。本文基于笔者在线性代数课程的学习中的理解和收获以及课外资料中习得的知识，简要介绍特征向量和特征值的意义以及其在生活中的实际应用，主要介绍了PCA技术在图像压缩和声音、信号降噪领域的应用。关键词特征值特征向量实际应用目录1、特征值与特征向量31.1特征值和特征向量是什么31.2特征值和特征向量的几何意义32、特征向量的实际应用52.1、PCA方法图像压缩中的应用52.2、信号降噪和声音降噪上的应用6结语71、特征性和特征向量1.1特征值和特征向量是什么特征值、特征向量，顾名思义，从本质上说，特征值与特征向量反映了矩阵的特征。其定义如下：“ 设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。那他们有什么具体的含义呢？假设矩阵为A ，特征向量为X，特征值为,则根据上文中的表述，有如下理解，对于特征向量X，在经过变

2、换到新的坐标系之后，其坐标向量的方向没有改变，但是其坐标向量与之前存在一个倍的关系。1.2特征值和特征向量的几何意义从定义来理解特征向量的话，就是经过一个矩阵变换后，空间沿着特征向量的方向上相当于只发生了缩放。在线性代数的几何意义中有如下描述：“矩阵乘法对应了一个变换，是把任意一个向量变成另一个方向或长度都大多不同的新向量。在这个变换的过程中，原向量主要发生旋转、伸缩的变化。如果矩阵对某一个向量或某些向量只发生伸缩变换，不对这些向量产生旋转的效果，那么这些向量就称为这个矩阵的特征向量，伸缩的比例就是特征值。” 对于其几何意义在实际中的应用，笔者了解到PCA算法。图一图三下文中会有具体的介绍，在此仅阐明其概念：图二注：图片为笔者制作将三个图像中的相应线段向下进行投影，在图中可以看出，对于同一方向下投影出的图形，其离散程度有所差别，图1的数据离散性最高，图3较低，图2数据离散性是最低的。数据离散性越大，代表数据在所投影的维度上具有越高的区分度，这个区分度就是信息量。在对数据进行处理的时候，可视作将二维平面压缩到一维的直线上，那么，在一维的直线上进行删减处理，数据的离散程度越小，对数

3、据的保存就越有利，而如果我们将图一的图形通过旋转变化到图三之中，对于数据的储存可谓大大有利，于是，通过矩阵来实现旋转变化，找到能够使特征值最集中的特征向量的方向，这种方法就是PCA算法的主要思想来源。2、特征向量的实际应用2.1、PCA方法图像压缩中的应用其方法简要解释为：在图像中，选取L列作为训练样本，进行PCA降维，假设原始数据为N维，降维到M维。先理解降维的含义：在一个样本之中，有很多庸余的信息，有很多关键的信息，而能够表述图像关键信息的那些特征，我们就可以当做其“特征值”现在，我们对所有的值进行划分类别，再通过一协方差矩阵对其进行特征性大小的排列，找出图像的特征值，删去图像庸余的信息，即可实现图像的压缩。化为图形的语言，就是降维。再介绍降维的方法：将所有的样本数据xixi（列向量）拼成一个矩阵 x1,x2,.,xi,.,xKx1,x2,.,xi,.,xK。第一步是预处理，要保证数据的均值为0。存在再求取其协方差矩阵：然后求出矩阵对应的特征向量和特征值。将特征值按从大到小排列a1,a2,.,aK此后，我们删除一些次要的特征向量，也可以理解为将此方向的图像删除。假设我们保留的

4、矩阵为a1，a2，.，an（且nk）再设其对应的特征向量为u1，u2，.，un则对于这K个向量作为新的坐标系，所有数据点xi的坐标为再对数据进行降维：注;此处xi即为原始坐标系中的坐标，可理解通过矩阵的运算，除去了庸余的特征向量。为了保证算法对于图像的整体改变具有普遍的作用，在使用训练数据之前，需要对每个数据进行零均值处理。然后，将降维方法应用到图像的所有列。那么，整张图像就降为M维，实现了数据压缩。承接上文中对PCA算法的简要说明，即可理解PCA方法在图像压缩处理中的应用。2.2、信号降噪和声音降噪上的应用在信号和声音降噪领域之中，同样使用PCA算法对其进行处理，但与此不同的是，在信号和声音降噪领域，存在着几个不同之处：1、在信号和声音降噪领域，通常情况下噪声与原声是不相干的，那么其对应的特征值较大，而为了达到局部降噪的效果，通常情况下我们提取出特征值较小的值进行保留，而剔除其中特征值较大的特征向量。2、相比于图像，声音和信号的特征值提取更加复杂，通常采取取用高次方的方法对信息进行处理。3、在图像降噪领域，通常采用LPG-PCA算法，其中较为突出的特点是同时应用LPG（局部像素分组）与PCA（主成分分析），首先对于像素进行分块处理，再进行分块降噪，而在PCA处理信号降噪和声音降噪时通常采用连续降噪或者大区间的分块以达到处理效果的连续和优化。结语通过线性代数课程的学习和本次论文的写作，我更深入了解了特征向量和特征值的本质，了解了PCA方法在图像压缩和信号、声音降噪领域的实际应用，心中也油然而生出一种切实的将书本知识和实际生活应用联系在一起的感觉。参考文献1曲良辉.矩阵特征值的应用研究J.中国西部科技,2015,14(05):91-92. 2周琴.矩阵特征值和特征向量在实际中的应用及其实现J.高师理科学刊,2019,39(07):8-10.3吴耀文,邢传玺,岳露露,万兴举.基于鲁棒主成分分析的低频水声信号降噪方法J.云南民族大学学报(自然科学版),2020,29(01):70-77. 7 / 7

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