服务系统规划

1、第十章服务系统规划第十章 服务系统规划第一节节：服务务排队现队现 象及其建模第二节节：排队队系统统的常用分布第三节节：单单服务务台模型第四节节：多服务务台模型第五节节：其他服务时间务时间 分布模型第六节节：服务务系统规统规 划的应应用第一节 服务排队现象及其建模一、现实现实 中的服务务排队现队现 象所谓排队队，是指需要得到某种服务的对象加入等待的队列。需要得到服务的对象泛称为顾顾客，而从事服务的设施或人等泛称为服务务台。顾客与服务台构成一个系统，称为服务务系统统。在一个服务系统中，若某一时刻顾客的数目超过服务台的数目，则称为拥挤 ，这时 必然导致一些顾客不能立即得到服务而需要等待，从而产生排队现 象。由于拥挤 而产生排队现 象的服务系统称为排队队系统统。第一节 服务排队现象及其建模在日常的工作与生活中，人们经常会遇到各种各样的服务系统如进食堂就餐、到图书馆 借书、去车站乘公共汽车、去医院看病、到售票处购票、上高速公路行驶（如图9-1）等，食堂的服务员与就餐者、图书馆 的管理员与借阅者、公共汽车与乘客、医生与病人、售票员与顾客、高速公路与车辆均构成了服务系统。第一节 服务排队现象及其建模

2、在各种排队系统中：顾客可以是人，也可以是物。如待分类的图书、待送的邮件，等等，这些是有形的顾客；还有无形的顾客，如呼叫电话、故障信号、新闻、事务，等等。因此顾客的等待排队也可以是有形的或无形的，集中的或分散的。服务台可以是人，如维修工人；也可以是设施，如投币电话 亭；还可以是一个系统，如医生、护士、手术台、手术机械、药品等的有机整体构成一个服务台；服务台可以是固定的，也可以是流动的，如沿街叫卖的个体商贩；服务方式也可以是登门服务，如自来水、供电、煤气公司派人到用户住址看表计价，维修工人到故障机器前进行维修，等等。第一节 服务排队现象及其建模表9-1 现实中的各种服务系统顾客服务内容服务台考生报名登记招考登记员病人诊断病情医生电话呼叫通话交换台驶入港口的货船装（卸）货装（卸）货码头（泊位）文件稿打字打字员提货单提取存货仓库管理员不能运转的机器修理修理技工上游河水进入水库放水，调整水位水闸管理员进入我方阵地的敌机我方高射炮进行射击我方高射炮第一节 服务排队现象及其建模二、排队队系统统的组组成和特征 一般的排队系统都有三个基本组成部分：输入过程；排队规则 ；服务机构。第一节 服务排队现象及其

3、建模1. 输输入过过程 输入即指顾客到达排队系统，可能有以下各种不同情况。 顾客的总体（顾客源）的组成可能是有限的，也可能是无限的。上游河水流入水库可以认为总 体是无限的，工厂内停机待修的机器显然是有限的总体。 顾客到来的方式可能是一个一个的，也可能是成批的。例如到餐厅就餐就有单个到来的顾客和受邀请来参加宴会的成批顾客，我们将只研究单个到来的情形。 顾客相继到达的间隔时间可以是确定型的，也可以是随机型的。如在自动装配线上装配的各部件就必须按确定的时间间 隔到达装配点，定期运行的班车、班轮、班机的到达也都是确定型的。但一般到商店购物的顾客、到医院诊病的病人、通过路口的车辆等，它们的到达都是随机型的。对于随机型的情形，要知道单位时间内的顾客到达数或相继到达的间隔时间的概率分布。第一节 服务排队现象及其建模 顾客的到达可以是相互独立的，就是说，以前的到达情况对以后顾客的到来没有影响，否则就是有关联的。例如，工厂内的机器在一个短的时间区间内出现停机（顾客到达）的概率就受已经待修或被修理的机器数目的影响。本章主要讨论的是相互独立的情形。 输入过程可以是平稳的，或称对时间 是齐次的，是指描述相继到

4、达的间隔时间分布和所含参数（如期望值、方差等）都是与时间无关的，否则称为非平稳的。非平稳情形的数学处理是很困难的。第一节 服务排队现象及其建模2. 排队规则队规则 顾客到达时，若所有服务台都正被占用，在这种情形下顾客可以随即离去，也可以排队等候。随即离去的称为即时制或称损失制（因为失掉许多顾客）；排队等候的称为等待制。普通市内电话的呼唤属于前者，而登记市外长途电话 的呼唤属于后者。第一节 服务排队现象及其建模对于等待制，为顾 客进行服务的次序可采用下列各种规则 ：1）先到先服务，即按顾客到达次序接受服务，这是最通常的情形。2）后到先服务，如乘电梯的顾客常是后入先出的。仓库中存放的厚钢板也是如此。在情报系统中，最后到达的信息往往是最有价值的，而采用后到先服务（指被采用）的规则 。3）随机服务，指服务员 从等待的顾客中随机选取其一进行服务，而不管到达的先后，如电话 交换台接通呼唤的电话 就是如此。4）有优先权的服务，如医院对病情严重的患者将给予优先治疗。第一节 服务排队现象及其建模 从占有的空间来看，队列可以排在具体的处所（如售票处、候诊室等），也可以是抽象的（如向电话 交换台要求通话的呼

5、唤）。 由于空间的限制或其他原因，有的系统要规定容量（即允许进 入排队系统的顾客数）的最大限制；有的没有这种限制（即认为 容量可以是无限的）。第一节 服务排队现象及其建模 从队列的数目看，可以是单列，也可以是多列。在多列的情形，各列间的顾客有的可以相互转移，有的不能（如用绳子或栏杆隔开）。有的排队顾 客因等候时间过长 而中途退出，有的不能退出（如高速公路上的汽车流），必须坚 持到被服务为 止。本章将只讨论各队列间不能互相转移，也不能中途退出的情形。第一节 服务排队现象及其建模3.服务务机构从机构形式和工作情况来看有以下几种情况。 服务机构可以没有服务员 ，也可以有一个或多个服务员 （服务台、通道、窗口等）。例如，在敞架售书的书店，顾客选书时 就没有服务员 ，但交款时可能有多个服务员 。 在有多个服务台的情形中，它们可以是平行排列（并列）的，可以是前后排列（串列）的，也可以是混合的。如图9-2所示。第一节 服务排队现象及其建模第一节 服务排队现象及其建模第一节 服务排队现象及其建模第一节 服务排队现象及其建模 服务方式可以对单个顾客进行，也可以对成批顾客进行，公共汽车对 在站台等候的顾客

6、就成批进行服务。本章将只研究单独的服务方式。 和输入过程一样，服务时间 也分确定型的和随机型的。自动冲洗汽车的装置对每辆汽车冲洗（服务）的时间 就是确定型的，但大多数情形的服务时间 是随机型的。对于随机型的服务时间 ，需要知道它的概率分布。 和输入过程一样，服务时间 的分布总假定是平稳的，即分布的期望值、方差等参数都不受时间的影响。第一节 服务排队现象及其建模三、排队队模型的分类类为了区别各种排队系统，根据输入过程、排队规则和服务机构的变化对排队模型进行描述或分类。1953年肯道尔（Kendall）提出一个分类方法，称为Kendall符号，其形式是 X / Y / Z；在1971年一次关于排队论 符号标准化国际会议上，将Kendall符号扩充为以下标准形式：X / Y / Z / A / B / C 或者 X / Y / Z : A / B / C 第一节 服务排队现象及其建模Kendall各符号的意义：(1) X:表示顾客相继到达时间间 隔的概率分布，可以取 M、D 、Ek、 G等，其中：M 表示到达过程为泊松过程或负指数分布；D 表示定长输入；Ek 表示K阶爱尔朗（Erlang）分

7、布；G 表示一般相互独立的随机分布；(2) Y: 表示服务时间 分布，所用符号与X相同第一节 服务排队现象及其建模 Z：表示服务台个数，取正整数。1表示单个服务台，s 表示多个服务台。 A：表示系统中顾客容量限制，或称等待空间容量。 B：表示顾客源限制，可取正整数或，即有限与无限两种。 C：表示服务规则 ，如先到先服务（FCFS），后到先服务(LCFS)等。并规定，若略去后三项，即指X / Y / Z / / / FCFS的情形。本章只讨论先到先服务FCFS的情形，因此一般略去第六项。第一节 服务排队现象及其建模四、排队问题队问题 的求解一个实际的系统模型在分析求解时，先要研究整个系统的组成部分属于哪种类型，如顾客的输入过程、排队规则、服务机构的组织结 构等。其中，顾客的相继到达间隔和服务时间 的分布都需要通过统计检验 后确定。解排队问题 的目的是研究排队系统运行的效率，估计服务质量，确定系统参数的最优值，以决定系统的结构是否合理，研究设计改进措施等。因此必须确定用以衡量系统运行优劣的基本数量指标，解决排队问题 首先要求出这些数量指标的概率分布或特征数。常用的系统运行指标有如下几个。第

8、一节 服务排队现象及其建模(1) 损失率在损失制服务系统中，由于服务台全被占用而使顾客损失的概率，是损失制系统的主要服务质 量指标。第一节 服务排队现象及其建模(2)队长与队列长队长 指服务系统中逗留的顾客总数，其期望值记作Ls ；队列长指服务系统中排队等待的顾客总数，其期望值记 作Lq 第一节 服务排队现象及其建模(3)逗留时间和等待时间逗留时间 指一个顾客进入服务系统后到离开服务系统的时间 ，包括等待时间 和接受服务的时间 ，其期望值记 作Ws；等待时间 是顾客排队等待服务的时间 ，其期望值记作Wq；一般系统中，等待时间 是主要的质量指标，但有些系统，如码头 卸船则不仅要计算等待时间 ，也要计算服务时间 。第一节 服务排队现象及其建模(4)服务设施利用率服务设 施利用率指服务设 施包括服务台的工时利用情况。这是一个重要的经济 效益指标，这一指标往往是和服务质 量指标相矛盾的。第一节 服务排队现象及其建模(5)忙期忙期指服务台不间断地为顾 客一段时间 的长度。对服务台来说，忙期与闲期总是交替出现的。忙期长说 明服务台的工时利用率高，工作强度大。第一节 服务排队现象及其建模计算上述指标

9、的基础是表达系统状态的概率。所谓系统状态是指系统中逗留的顾客数，如果系统中有 j个顾客，就说明系统处于j状态。系统状态一般是随时间改变的，我们通常只计算在时刻t系统状态为j的概率，用Pj(t) 表示。系统状态数受系统容量和排队规则 的限制。例如，在损失制系统中，系统状态数最多和服务台数相等，而在队长不受限制的系统中，系统状态数可以是无限的。 第一节 服务排队现象及其建模求状态概率Pj(t) ，先要建立含Pj(t)的方程组，因j只能是非负整数，而t是连续变 量，所建立的方程组一般属微分方程组，其解是瞬态性质，不容易求解。因此，我们常取稳态解，即令 lim t Pj(t) = Pj稳态 解的物理意义是，当系统开始运行一定长度的时间 后，系统的状态概率分布逐渐趋 于稳定，不再随时间 的变化而变化。第一节 服务排队现象及其建模实际 上，并不需要t ，系统才会稳定下来。如百货商场刚 开门时 ，顾客必然进的多，出的少， Pj(t)随时间 改变，但当过一段时间 后，进、出的顾客大体上就达到平衡，状态概率就呈现稳 定状态，所以稳态 也称统计 平衡状态。求稳态 概率是，只需令Pj(t) =0 即可。第二

10、节 排队系统的常用分布在排队系统中，顾客相继到达的时间间 隔与服务的时间 分布主要有:1.负指数分布;2.泊松分布;3.爱尔朗分布等。第二节 排队系统的常用分布一、泊松过过程设N(t) 表示在0,t) 时段内到达的顾客数(t0) 令Pn(t1,t2) 表示在时间 区间t1,t2) (t2t1) 内有n(n0) 个顾客到达（随机事件）的概率，即:当 Pn(t1,t2)符合以下三个条件时，就说顾客的到达形成泊松流。 在不相重叠的时间区间内顾客到达数是相互独立的，称为无后效性。 对充分小的t ，在时间区间 t , t+ t) 内有1个顾客到达的概率与t无关，近似与区间长t成正比，即 其中，o(t ) ，当 t 0时，是关于t的高阶无穷小。 0是常数，表示单位时间 有一个顾客到达的概率，称为概率强度。 对于充分小的 t ，在时间区间t , t+ t) 内有2个或2个以上顾客到达的概率极小，以至于可以忽略，即第二节 排队系统的常用分布第九章 服务系统规划第二节 排队系统的常用分布在上述条件下，我们研究顾客到达数n的概率分布.由条件，我们总可以取时间由0算起,简记Pn(0, t) = Pn(t)

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