(整理版)专题15:函数关系式的建立方法探讨
62页1、【中考攻略】专题15:函数关系式的建立方法探讨 “模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的根本途径。建立和求解模型的过程包括:从现实生活或具体情境中抽象出数学问题,用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律,求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想,提高学习数学的兴趣和应用意识。这是课标关于模型思想的一段描述。因此,各地中考试卷都有“方程组、不等式组、函数建模及其应用类问题,专题5和6已经对方程组、不等式组的建模及其应用进行了探讨,本专题再对函数建模及其应用进行探讨。结合全国各地中考的实例,我们从下面五方面进行函数关系式建立方法的探讨:1应用待定系数建立函数关系式;2应用等量关系建立函数关系式;3应用几何关系建立函数关系式;4应用分段分析建立函数关系式;5应用猜测探索建立函数关系式。一、应用待定系数建立函数关系式:待定系数法是解决求函数解析式问题的常用方法,求函数解析式是初中阶段待定系数法的一个主要用途。这种方法适用于了函数类型或函数图象的一类函数建模问题。 确定直线或曲线方程就是要确定方程中x的系数与常数,我们常常先设它
2、们为未知数,根据点在曲线上,点的坐标满足方程的关系,将的条件代入方程,求出待定的系数与常数,写出表达式。这是平面解析几何的重要内容,是求曲线方程的有效方法。初中阶段主要有正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数这几类函数,前面三种分别可设y=kx,y=kx+b,的形式(其中k、b为待定系数,且k0)。而二次函数可以根据题目所给条件的不同,设成一般式y=ax2+bx+c(a、b、c为待定系数),顶点式y=a (xh) 2+k(a、k、h为待定系数),交点式y=a (xx1)(xx2)( a 、x1、x2为待定系数)三类形式。根据题意(可以是语句形式,也可以是图象形式),确定出a、b、c、k、x1、x2等待定系数,求出函数解析式。典型例题:例1:江苏南通3分无论a取什么实数,点P(a1,2a3)都在直线l上,Q(m,n)是直线l上的点,那么(2mn3)2的值等于 【答案】16。【考点】待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系,求代数式的值。【分析】由于a不管为何值此点均在直线l上,令a=0,那么P11,3;再令a=1,那么P20,1。设直线l的解析式为y=kx+bk0, ,解得 。直线l的
3、解析式为:y=2x1。Qm,n是直线l上的点,2m1=n,即2mn=1。(2mn3)2=1+32=16。例2:山东聊城7分如图,直线AB与x轴交于点A1,0,与y轴交于点B0,21求直线AB的解析式;2假设直线AB上的点C在第一象限,且SBOC=2,求点C的坐标【答案】解:1设直线AB的解析式为y=kx+b,直线AB过点A1,0、点B0,2,解得。直线AB的解析式为y=2x2。2设点C的坐标为x,y,SBOC=2,2x=2,解得x=2。y=222=2。点C的坐标是2,2。【考点】待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系。【分析】1设直线AB的解析式为y=kx+b,将点A1,0、点B0,2分别代入解析式即可组成方程组,从而得到AB的解析式。2设点C的坐标为x,y,根据三角形面积公式以及SBOC=2求出C的横坐标,再代入直线即可求出y的值,从而得到其坐标。例3:湖南岳阳8分游泳池常需进行换水清洗,图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水清洗灌水中水量ym3与时间tmin之间的函数关系式1根据图中提供的信息,求整个换水清洗过程水量ym3与时间tmin的函数解析式;2问:排水、清洗、灌水各花多
4、少时间?【答案】解:1排水阶段:设解析式为:y=kt+b,图象经过0,1500,25,1000,解得:。排水阶段解析式为:y=20t+1500。清洗阶段:y=0。灌水阶段:设解析式为:y=at+c,图象经过195,1000,95,0,解得:。灌水阶段解析式为:y=10t950。2排水阶段解析式为:y=20t+1500,令y=0,即0=20t+1500,解得:t=75。排水时间为75分钟。清洗时间为:9575=20分钟,根据图象可以得出游泳池蓄水量为1500 m3,1500=10t950,解得:t=245。故灌水所用时间为:24595=150分钟。【考点】一次函数的应用,待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系。【分析】1根据图象上点的坐标利用待定系数法分别得出排水阶段解析式,以及清洗阶段:y=0和灌水阶段解析式即可。2根据1中所求解析式,即可得出图象与x轴交点坐标,即可得出答案。例4:湖南娄底3分反比例函数的图象经过点1,2,那么它的解析式是【 】A B C D 【答案】B。【考点】待定系数法求反比例函数解析式,曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】设反比例函数图象设解析式为,将点1,2代
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