导数的热点问题
29页1、第4讲导数的热点问题专题六函数与导数板块三专题突破核心考点考情考向分析利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题,高考中常与函数零点、方程根及不等式相结合,难度较大.热点分类突破真题押题精练内容索引热点分类突破用导数证明不等式是导数的应用之一,可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值,以及构造函数解题的能力.热点一利用导数证明不等式解答例1(2018湖南长沙雅礼中学、河南省实验中学联考)已知函数f(x)ae2xaexxex(a0,e2.718,e为自然对数的底数),若f(x)0对于xR恒成立.(1)求实数a的值;解由f(x)ex(aexax)0对于xR恒成立,设函数g(x)aexax,可得g(x)aexax0对于xR恒成立,g(0)0,g(x)g(0),从而x0是g(x)的一个极小值点,g(x)aex1,g(0)a10,即a1.当a1时,g(x)ex1x,g(x)ex1,x(,0)时,g(x)0,g(x)在(0,)上单调递增,g(x)g(0)0,故a1.证明证明当a1时,f(x)e2xexxex,f(x)ex(2exx2).令h(x)2exx2,则h(x)2ex1,当x(,l
2、n 2)时,h(x)0,h(x)在(ln 2,)上为增函数,h(1)0,在(2,1)上存在xx0满足h(x0)0,h(x)在(,ln 2)上为减函数,当x(,x0)时,h(x)0,即f(x)0,f(x)在(,x0)上为增函数,当x(x0,ln 2)时,h(x)0,即f(x)0,f(x)在(x0,ln 2)上为减函数,当x(ln 2,0)时,h(x)h(0)0,即f(x)h(0)0,即f(x)0,f(x)在(0,)上为增函数,f(x)在(ln 2,)上只有一个极小值点0,综上可知,f(x)存在唯一的极大值点x0,且x0(2,1).h(x0)0,2 x020,用导数证明不等式的方法(1)利用单调性:若f(x)在a,b上是增函数,则xa,b,则f(a)f(x)f(b);对x1,x2a,b,且x1x2,则f(x1)f(x2).对于减函数有类似结论.(2)利用最值:若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m),则对xD,有f(x)M(或f(x)m).(3)证明f(x)g(x),可构造函数F(x)f(x)g(x),证明F(x)0.思维升华解答跟踪演练1(2018荆州质检)已知函数f(x)axl
3、n x.(1)讨论f(x)的单调性;当a0时,则f(x)0时,综上当a0时,f(x)在(0,)上单调递减;证明证明令g(x)f(x)2axxeax1xeax1axln x,设r(x)xeax11(x0),则r(x)(1ax)eax1(x0),eax10,h(t)h(e2)0;g(x)0,故f(x)2axxeax1.热点二利用导数讨论方程根的个数方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念,解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值,画出函数图象的走势,通过数形结合思想直观求解.解答例2(2018衡水金卷分科综合卷)设函数f(x)ex2aln(xa),aR,e为自然对数的底数.(1)若a0,且函数f(x)在区间0,)内单调递增,求实数a的取值范围;解函数f(x)在0,)内单调递增,即aexx在0,)内恒成立.记g(x)exx,则g(x)ex10恒成立,g(x)在区间0,)内单调递减,g(x)g(0)1,a1,即实数a的取值范围为1,).解答知f(x)在区间(a,)内单调递增.f(x)在区间(a,)内存在唯一的零点x0,当axx0时,f(x)x0时,f(x)0,f(
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