呕心整理圆锥曲线中的7类最值问题.doc

呕心整理圆锥曲线中的7类最值问题圆锥曲线最值问题是高考中的一类常见问题，解此类问题与解代数中的最值问题方法类似，由于圆锥曲线的最值问题与曲线有关，所以利用曲线性质求解是其特有的方法下面介绍7种常见求解方法1【二次函数法】 将所求问题转化为二次函数最值问题，再利用配方法或均值不等式或判别式等方法求解典型例题1】过动直线x+2y=p与定直线2x-y=a的交点（其中）的等轴双曲线系中 ， 当p为何值时，达到最大值与最小值？分析：求出交点坐标代入双曲线,可得的二次函数表达式，再利用函数方法求解解：由 , 得 交点, 交点Q坐标代入双曲线,= ==.当 , ,又 ,；当p=3a时, [点悟] 把所求的最值表示为函数，再寻求函数在给定区间上的最值，但要注意函数的定义域变式训练1】已知A，B，C三点在曲线y＝上，其横坐标依次为1，m,4(1

典型例题】过椭圆的焦点的直线交椭圆A,B两点 ，求面积的最大值 分析：由过椭圆焦点，写出直线AB方程为y=kx+1，与椭圆方程联立，消去y，得关于x的一元二次方程，巧妙的利用根与系数的关系，可以起到避繁就简的效果 解 ： 椭圆焦点 ，设过焦点(0,1) ，直线方程为y=kx+1 与联立 ，消去y, 得 ， 其中两根为A,B横坐标 将三角形AOB看作与组合而成 ，|OF| 是公共边 ，它们在公共边上的高长为 ., 其中 |OF|=c=1. ===. 当 即k=0 时,取等号 ，即当直线为 y=1时 , 得到的面积最大值为 [点悟] 利用均值不等式求最值，有时要用“配凑法”，这种方法是一种技巧在利用均值不等式时，要注意满足三个条件：1、每一项要取正值；2、不等式的一边为常数；3、等号能够成立其中正确应用 “等号成立”的条件是这种方法关键变式训练】如图所示，设点，是的两个焦点，过的直线与椭圆相交于两点，求△的面积的最大值，并求出此时直线的方程分析：，设，，则设直线的方程为代入椭圆方程得即令，∴，（）利用均值不等式不能区取“＝”∴利用（）的单调性易得在时取最小值在即时取最大值为，此时直线的方程为3【的最小值】其中，点A为曲线C（椭圆，双曲线或抛物线）内一定点（异于焦点），P是曲线C上的一个动点，F是曲线C的一个焦点，e是曲线C的离心率。

图1【典型例题1】 已知双曲线C：内有一点A（7，3），F是双曲线C的左焦点，P为双曲线C上的动点，求的最小值分析：注意到式中的数值“”恰为，则可由双曲线的第二定义知等于双曲线上的点P到左准线的距离，从而=+，由图知，当A、P、M三点共线时，+取得最小值，其大小为题中（为P到焦点F对应的准线的距离），从而将所求转化为定点到准线的距离典型例题2】 已知双曲线的右焦点为F，点，试在此双曲线上求一点M，使的值最小，并求出这个最小值.分析 易知离心率， 的最值问题转化为的最值问题.解析 如图1所示，l为双曲线的右准线，M为双曲线上任意一点，分别作MN⊥l于N，AB⊥l于B.∵离心率，∴由双曲线的第二定义有，即.∴=.当且仅当M为AB与双曲线右支的交点时，取得最小值. 点M的坐标为，最小值为. 图 1【变式例题1】已知抛物线 ，定点A(3,1)，F 是抛物线的焦点 ，在抛物线上求一点 P,使|AP|+|PF|取最小值 ，并求的最小值 分析：由点A引准线的垂线，垂足Q，则 |AP|+|PF|=|AP|+|PQ|, 即为最小值OF(1,0) xA(3,1)y Q P解： 如图，, 焦点F(1,0) 。

由点A引准线x= -1的垂线 ，垂足Q，则 |AP|+|PF|=|AP|+|PQ|, 即为最小值. . 由, 得 为所求点. 若另取一点 ， 显然 [点悟] 利用圆锥曲线性质求最值是一种特殊方法在利用时技巧性较强，但可以避繁就简，化难为易又如已知圆锥曲线内一点A与其上一动点P，求 的最值时，常考虑圆锥曲线第二定义 【变试例题2】在椭圆内有一点P（1，－1），F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF| 的值最小，则这一最小值是 （ ）A． B． C．3 D．4【变式例题3】已知椭圆，A（4，0），B（2，2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：（1）求的最小值；（2）求的最小值和最大值分析：（1）A为椭圆的右焦点作PQ⊥右准线于点Q，则由椭圆的第二定义，∴，显然点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为2）由椭圆的第一定义，设C为椭圆的左焦点，则∴，根据三角形中两边之差小于第三边，当P运动到与B、C成一条直线时，便可取得最大和最小值。

当P到P"位置时，，有最大值，最大值为；当P到位置时，，有最小值，最小值为.4【参数法】 利用椭圆、双曲线参数方程转化为三角函数问题，或利用直线、抛物线参数方程转化为函数问题求解典型例题1】已知P是椭圆在第一象限内的点，A（2，0），B（0，1），O为原点，求四边形OAPB的面积的最大值 分析：设P（,），,点P到直线AB：x+2y=2的距离∴所求面积的最大值为例2、椭圆的切线 与两坐标轴分别交于A,B两点 ， 求三角形OAB的最小面积 分析；写出椭圆参数方程，设切点为，可得切线方程 解： 设切点为 ， 则切线方程为 .令y=0, 得切线与x轴交点；令x=0,得切线与y轴交点B(0,)= [点悟] 利用圆锥曲线参数方程转化为求三角函数的最值问题，再利用三角函数的有界性得出结果图25 【的最值】其中，点A为曲线C（椭圆，双曲线或抛物线）内一定点（异于焦点），P是曲线C上的一个动点，F是曲线C的一个焦点，e是曲线C的离心率例2. 已知椭圆内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求的最大值与最小值解：如图2，设椭圆的右焦点为，可知其坐标为（3，0），由椭圆的第一定义得：，则，可知，当P为的延长线与椭圆的交点时，最大，最大值为，当P为的延长线与椭圆的交点时，最小，最小值为。

故的最大值为，最小值为本题中巧妙地运用定义将和与差进行了转化，将不可求转化为可求，使问题得以解决本题中若点A在曲线C外呢？若把椭圆变为双曲线呢？注意在这类问题中，“和”与“差”中一个不可求，就用定义转化为另一个正确地画出图形，利用平面几何知识，一般都可以解决问题图36【的最值】其中，点A为曲线C（椭圆，双曲线或抛物线）外一定点，P是曲线C上的一个动点，是曲线C的一条准线，是点P到的距离，e是曲线C的离心率例3. 设P是上的一个动点1） 求点P到点的距离与点P到直线的距离d之和的最小值2） 若，求的最小值图4Q解：（1）如图3， （当A、 P、F 三点共线时取等号）（2）为第一类“的最小值”问题，这里如图4，（当P为过点B的的垂线与抛物线的交点时取等号）题中，将所求折线转化为直线，结合图形利用平面几何知识很容易解决问题7【曲线上定长动弦的中点到准线距离的最值】例4. 定长为的线段AB的两个端点分别在椭圆上移动，求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离图5解：设F为椭圆的右焦点，如图3，作于，于， 于，则（当且仅当AB过焦点F时等号成立）故M到椭圆右准线的最短距离为注：是椭圆的通径长，是椭圆焦点弦长的最小值，是AB能过焦点的充要条件。

题中若是求中点到与准线平行的直线的距离的最小值也可以转化为这类问题 求解定值问题的大体思考方法——若题设中未告知定值，可考虑用特殊值探求. 若已告知，可设参数（有时甚至要设两个参数），运算推理到最后，参数必消，定值显露.求解最值问题的大体思考方法——是几何法，常用工具是圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用函数的单调性、均值不等式或三角函数的有界性等知识来求解.评析 求解本例的关键是将所求表达式的最小值问题根据双曲线的第二定义转化成求|MA|+|MN|的最小值问题.例2 已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且. 过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.（1）证明为定值；（2）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值.分析 （1）如图2所示，设出A、B的坐标，利用已知条件将M的坐标用A、B的坐标表示出来，计算出并确定其为定值即可.（2）将的面积S用表示，注意到（1）中的结论=0故.再利用求函数最小值的基本方法来解，本题可采用均值不等式来求.解析 （1）由已知条件，得. 图 2设. 由，即得，∴将①式两边平方并把代入得， ③解②、③式得，且有.抛物线方程为. 求导得. 所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是，即.解出两条切线的交点M的坐标为.所以.所以为定值，其值为0.（2）由（1）知在中，，因而.因为分别等于A、B到抛物线准线的距离，所以.于是，由，可知，且当时，S取得最小值4.评析 本例将向量与解析几何结合在一起，考查综合运用知识解决数学问题的能力. 主要考查抛物线的定义与几何性质，曲线切线的求法，弦长公式的应用，向量的数量积，向量的坐标表示，均值不等式及函数的最值，同时考查了设而不求的数学. 解决这类问题，关键要理清知识顺序，弄明白未知与已知的关系，在计算也变形的过程中逐步展开思维，寻找突破口，提高自己分析问题、解决问题的能力.例3 一般地，我们称离心率的椭圆为“黄金椭圆”. 已知椭圆的一个焦点为，P，Q为椭圆E上的任意两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点.（1）试证：若a，b，c不是等比数列，则椭圆E一定不是“黄金椭圆”；（2）设E为黄金椭圆，问：是否存在过点F、P的直线l，使l与y轴的交点R满足？若存在，求直线l的斜率k；若不存在，请说明理由.（3）设E为黄金椭圆，若直线PQ和OM的斜率分别为和，证明·为定值；（4）已知椭圆E的短轴长是2，点，求使取最大值时P点的坐标.解析 （1）假设E为“黄金椭圆”，则，即.。