高等数学上泰勒公式.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二、几个初等函数的麦克劳林公式,一、泰勒公式的建立,三、泰勒公式的应用,应用,用多项式近似表示函数,理论分析,近似计算,5.3,泰勒,(Taylor),公式,1,特点:,一、泰勒公式的建立,以直代曲,在微分应用中已知近似公式:,需要解决的问题,如何提高精度?,如何估计误差?,x,的一次多项式,2,1.求,n,次近似多项式,要求:,故,令,则,3,2.余项估计,令,(称为余项),则有,4,5,公式,称为 的,n,阶泰勒公式,.,公式,称为,n,阶泰勒公式的,拉格朗日余项,.,泰勒中值定理:,阶的导数,时,有,其中,则当,6,公式,称为,n,阶泰勒公式的,佩亚诺(Peano)余项,.,在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为,注意到,*,可以证明:,式成立,7,特例:,(1)当,n,=0,时,泰勒公式变为,(2)当,n,=1,时,泰勒公式变为,给,出拉格朗日中值定理,可见,误差,8,称为,麦克劳林（Maclaurin）公式.,则有,在泰勒公式中若取,则有误差估计式,若在公式成立的区间上,由此得近似公式,9,二、几个初等函数的麦克劳林公式,其中,10,其中,11,类似可得,其中,12,其中,13,已知,其中,类似可得,14,三、泰勒公式的应用,1.在近似计算中的应用,误差,M,为,在包含 0,x,的某区间上的上界.,需解问题的类型:,1)已知,x,和误差限,要求确定项数,n,;,2)已知项数,n,和,x,计算近似值并估计误差;,3)已知项数,n,和误差限,确定公式中,x,的适用范围.,15,已知,例1.,计算无理数,e,的近似值,使误差不超过,解:,令,x,=1,得,由于,欲使,由计算可知当,n,=9,时上式成立,因此,的麦克劳林公式为,16,说明,:,注意舍入误差对计算结果的影响.,本例,若每项四舍五入到小数点后,6,位,则,各项舍入误差之和不超过,总误差为,这时得到的近似值,不能保证,误差不超过,因此计算时中间结果应比精度要求多取一位.,17,例2.,用近似公式,计算 cos,x,的近似值,使其精确到,0.005,试确定,x,的适用范围.,解:,近似公式的误差,令,解得,即当,时,由给定的近似公式计算的结果,能准确到,0.005,.,18,2.利用泰勒公式求极限,例3.,求,解:,由于,用洛必塔法则不方便!,用泰勒公式将分子展到,项,19,3.利用泰勒公式证明不等式,例4,.证明,证:,20,内容小结,1.泰勒公式,其中余项,当,时为,麦克劳林公式.,21,2.常用函数的麦克劳林公式,3.泰勒公式的应用,(1)近似计算,(3)其他应用,求极限,证明不等式 等.,(2)利用多项式逼近函数,22,4,2,2,4,6,4,2,0,2,4,6,泰勒多项式逼近,23,4,2,2,4,6,4,2,0,2,4,6,泰勒多项式逼近,24,思考与练习,计算,解:,原式,25,由题设对,证:,备用题 1.,有,且,26,下式减上式,得,令,27,两边同乘,n,!,=整数+,假设,e,为有理数,(,p,q,为正整数),则当,时,等式左边为整数;,矛盾!,2.,证明,e,为无理数,.,证:,时,当,故,e,为无理数.,等式右边不可能为整数.,28,。