八年级竞赛题1.doc

一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）1、已知，且a+b+c=2001k，那么k的值为（　　） A、 B、4 C、 D、﹣42、若方程组的解为x，y，且2＜k＜4，则x﹣y的取值范围是（　　） A、0＜x﹣y＜ B、0＜x﹣y＜ C、﹣3＜x﹣y＜﹣1 D、﹣1＜x﹣y＜3、计算：1+5+52+53+…+599+5100=（　　） A、5101﹣1 B、5100﹣1 C、 D、4、如图，在△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延长线于F，垂足为E．则结论：①AD=BF；②CF=CD；③AC+CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE其中正确结论的个数是（　　） A、1 B、2 C、3 D、45、若a=2255，b=3344，c=5533，d=6622，那么a、b、c、d从小到大的顺序是（　　） A、a＞b＞c＞d B、a＞b＞d＞c C、b＞a＞c＞d D、a＞d＞b＞c6、如果把分数的分子、分母分别加上正整数a、b，结果等于，那么a+b的最小值是（　　） A、26 B、28 C、30 D、32二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）7、方程组的解是　_________　．8、如图所示的长方形中，甲、乙、丙、丁四块面积相等，甲的长是宽的2倍，设乙的长和宽分别是a和b，则a：b=　_________　．9、小张和小李分别从A、B两地同时出发，相向而行，第一次在距A地5千米处相遇，继续往前走到各地（B、A）后又立即返回，第二次在距B地4千米处两人再次相遇，则A、B两地的距离是　_________　千米．10、在△ABC中，三个内角的度数均为整数，且∠A＜∠B＜∠C，5∠C=9∠A，则∠B的度数是　_________　°．11、如果有四个不同的正整数m、n、p、q满足（7﹣m）（7﹣n）（7﹣p）（7﹣q）=4，那么m+n+p+q的值为　_________　．12、已知a，b均为质数，且a2+b=2003，则a+b的值为　_________　．三、解答题（共4小题，满分60分）13、计算：14、已知x2=x+1，y2=y+1，且x≠y．（1）求证：x+y=1；（2）求x5+y5的值．15、如图，在△ABC中AC＞BC，E、D分别是AC、BC上的点，且∠BAD=∠ABE，AE=BD．求证：∠BAD=∠C．16、房间里有凳子（3条腿）、椅子（4条腿）若干．每张凳子或椅子只能坐1人．一些人进来开会，只坐凳子或椅子都不够坐，但每人都有凳子或椅子坐，且还有空位．已知人腿、凳子腿、椅子腿之和为32，求房间里共有多少人？有多少凳子？有多少椅子？答案与评分标准一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）1、已知，且a+b+c=2001k，那么k的值为（　　） A、 B、4 C、 D、﹣4考点：解一元一次方程。

专题：计算题；方程思想分析：先根据已知条件列出三元一次方程组，求得a、b、c，然后将a、b、c代入a+b+c=2001k来求k值．解答：解：由，得，解得，∵a+b+c=2001k，∴1999+2003+4002=2001k，即2001k=8004，解得k=4．故选B．点评：本题主要考查的是一元一次方程的解法，本题求k的思路是根据某数是方程的解，则可把已知解代入方程的未知数中，使未知数转化为已知数，从而建立起未知系数的方程，通过未知系数的方程求出未知数系数，这种解题方法叫做待定系数法，是数学中的一个重要方法，以后在函数的学习中将大量用到这种方法．2、若方程组的解为x，y，且2＜k＜4，则x﹣y的取值范围是（　　） A、0＜x﹣y＜ B、0＜x﹣y＜ C、﹣3＜x﹣y＜﹣1 D、﹣1＜x﹣y＜考点：解二元一次方程组；解一元一次不等式组专题：整体思想分析：在本题中，结果为x﹣y，而在原题中两个式子相减后正好会出现关于7x﹣7y的一个等式，把x﹣y当成一个整体进行解答即可．解答：解：①﹣②得，7x﹣7y=k+1﹣3整理得x﹣y=又因为2＜k＜4所以＜x﹣y＜即0＜x﹣y＜．故选A点评：本题注意整体思想的应用，通过两方程相减，用含k的代数式来表示（x﹣y），再通过k的取值范围对（x﹣y）的范围做出判断．3、计算：1+5+52+53+…+599+5100=（　　） A、5101﹣1 B、5100﹣1 C、 D、考点：有理数的乘方。

专题：规律型分析：分析观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减易于计算．解答：解：设S=1+5+52++599+5100，①所以5S=5+52+53++5100+5101．②②﹣①得4S=5101﹣1，则S=．故选C．点评：本题考查了有理数的乘方．如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等（本例中是都等于5），那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．4、如图，在△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延长线于F，垂足为E．则结论：①AD=BF；②CF=CD；③AC+CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE其中正确结论的个数是（　　） A、1 B、2 C、3 D、4考点：线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质专题：探究型分析：①根据BC=AC，∠ACB=90°可知∠CAB=∠ABC=45°，再由AD平分∠BAC可知∠BAE=∠EAF=22.5°，在Rt△ACD与Rt△BFC中，∠EAF+∠F=90°，∠FBC+∠F=90°，可求出∠EAF=∠FBC，由BC=AC可求出Rt△ADC≌Rt△BFC，故可求出AD=BF；②由①中Rt△ADC≌Rt△BFC可直接得出结论；③由①中Rt△ADC≌Rt△BFC可知，CF=CD，故AC+CD=AC+CF=AF，∠CBF=∠EAF=22.5°，在Rt△AEF中，∠F=90°﹣∠EAF=67.5°，根据∠CAB=45°可知，∠ABF=180°﹣∠EAF﹣∠CAB=67.5°，即可求出AF=AB，即AC+CD=AB；④由③可知，△ABF是等腰三角形，由于BE⊥AD，故BE=BF，在Rt△BCF中，若BE=CF，则∠CBF=30°，与②中∠CBF=22.5°相矛盾，故BE≠CF；⑤由③可知，△ABF是等腰三角形，由于BE⊥AD，根据等腰三角形三线合一的性质即可解答．解答：解：①∵BC=AC，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠ABC=45°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE=∠EAF=22.5°，∵在Rt△ACD与Rt△BFC中，∠EAF+∠F=90°，∠FBC+∠F=90°，∴∠EAF=∠FBC，∵BC=AC，∠EAF=∠FBC，∠BCF=∠AEF，∴Rt△ADC≌Rt△BFC，∴AD=BF；故①正确；②∵①中Rt△ADC≌Rt△BFC，∴CF=CD，故②正确；③∵①中Rt△ADC≌Rt△BFC，∴CF=CD，AC+CD=AC+CF=AF，∵∠CBF=∠EAF=22.5°，∴在Rt△AEF中，∠F=90°﹣∠EAF=67.5°，∵∠CAB=45°，∴∠ABF=180°﹣∠F﹣∠CAB=180°﹣67.5°﹣45°=67.5°，∴AF=AB，即AC+CD=AB，故③正确；④由③可知，△ABF是等腰三角形，∵BE⊥AD，∴BE=BF，∵在Rt△BCF中，若BE=CF，则∠CBF=30°，与②中∠CBF=22.5°相矛盾，故BE≠CF，故④错误；⑤由③可知，△ABF是等腰三角形，∵BE⊥AD，∴BF=2BE，故⑤正确．所以①②③⑤四项正确．故选D．点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，熟知线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质是解答此题的关键．5、若a=2255，b=3344，c=5533，d=6622，那么a、b、c、d从小到大的顺序是（　　） A、a＞b＞c＞d B、a＞b＞d＞c C、b＞a＞c＞d D、a＞d＞b＞c考点：有理数的乘方。

分析：本题应先将a、b、c、d化为指数都为11的乘方形式，再比较底数的大小，即可确定出a、b、c、d的大小．解答：解：∵a=2255=（225）11，b=3344=（334）11，c=5533=（553）11，d=6622=（662）11；225＞334＞555＞662；∴2255＞3344＞5533＞6622，即a＞b＞c＞d，故选A．点评：本题主要考查有理数乘方的应用．6、如果把分数的分子、分母分别加上正整数a、b，结果等于，那么a+b的最小值是（　　） A、26 B、28 C、30 D、32考点：一次函数的应用专题：应用题分析：由已知条件得到a、b之间的关系，然后用a表示b，根据a、b的取值计算出a+b的最小值即可．解答：解：∵把分数的分子、分母分别加上正整数a、b，结果等于，∴∴b=a+6，∴a+b=a+a+6=a+6，∵a、b是正整数，∴a的取值应该使得a+6为正整数，∴此时a的值为9，∴a+b的最小值=a+6=×9+6=22+6=28，故选B．点评：本题考查了一次函数中求最值问题，解题的关键所在是正确的用一个字母表示出另一个字母．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）7、方程组的解是　　．考点：二元一次方程组的解。

分析：先把原方程组中的两个方程相减，得方程③，再运用加减法解方程组即可．解答：解：①﹣②，得2x+2y=2，即x+y=1③．③×2009，得2009x+2009y=2009④①﹣④，得x=﹣1．把x=﹣1代入③得y=2．∴原方程组的解是．点评：灵活运用加减法解方程组是求方程组解的关键．8、如图所示的长方形中，甲、乙、丙、丁四块面积相等，甲的长是宽的2倍，设乙的长和宽分别是a和b，则a：b=　9：2　．考点：一元二次方程的应用专题：应用题分析：本题中面积相等是等量关系，可用列方程求边长的关系．设甲的宽是x，长为2x，面积为2x2，乙，丙的面积相等，可以求出乙的宽和丙的短直角边的关系，把a和b都用x表示出来，然后求出比．解答：解：设甲的宽为x，长为2x．乙的面积为：ab=2x2（1）设丙的短直角边为c：ac=2x2（2）（1）和（2）联立可求出c=2b∵c+b=2x∴b=x（3）把（3）代入（1）式得a=3xa：b=9：2故答案为9：2．点评：本题考查的是数形结合的思想，通过所给的面积相等以及甲的宽和长的关系求出a和b的关系．9、小张和小李分别从A、B两地同时出发，相向而行，第一次在距A地5千米处相遇，继续往前走到各地（B、A）后又立即返回，第二次在距B地4千米处两人再次相遇，则A、B两地的距离是　11　千米．考点：推理与论证。

专题：行程问题分析：易得2人每走完一个全程，小张都要走5千米，让小张走的路程减去4即为A、B两地的距离．解答：解：∵2人每走完一个全程，小张都要走5千米，∴再次相遇时，两人走完3个全程，总路程为3×5=15千米，∴A、B两地的距离是15﹣4=11千米，故答案为11．点评：考查行程问题的推理与论证；理解全程与小张所走的路程的关系是解决本题的关键。