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有关定积分问题的常见题型解析 题型一 利用微积分基本定理求积分 例 1、求下列定积分： （1）13031xxdx （2）941xx dx （3）2224x 分析：根据求导数与求原函数互为逆运算，找到被积函数得一个原函数，利用微积分基本公式代入求值 解： （1）因为3221312xxxxx， 所以13031xxdx=321102xxx=32 （2）因为121xxxx，312222132xxxx， 所以 941xx dx=3229211454326xx 练习： （1）aaxa22 （2）2124x 评注：利用微积分基本定理求定积分dxxfab)(的关键是找出)()(/xfxF的函数)(xF 如果原函数不好找，则可以尝试找出画出函数的图像， 图像为圆或者三角形则直接求其面积 题型二 利用定积分求平面图形的面积 例 2 如图 ，求直线 y=2x+3 与抛物线 y=x2所围成的图形面积  分析：从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求出面积。

为了确定出被积函数和积分和上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标 解：由方程组232xyxy，可得3, 121xx故所求图形面积为： S＝dxx3132－dxx312＝（x2＋3x）3323113313x 评注：求平面图形的面积的一般步骤：⑴画图，并将图形分割成若干曲边梯形；⑵对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分上、下限；⑶确定被积函数；⑷求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值之和 关键环节：①认定曲边梯形，选定积分变量；②确定被积函数和积分上下限 知识小结：几种典型的曲边梯形面积的计算方法： （1）由三条直线 x=a、x=b（a＜b） 、x 轴，一条曲线 y= xf（ xf≥0）围成的曲边梯形的面积： S＝ badxxf，如图 1 （2）由三条直线 x=a、x=b（a＜b） 、x 轴，一条曲线 y= xf（ xf≤0）围成的曲边梯形的面积： S＝  babadxxfdxxf，如图 2 （3） 由两条直线 x=a、 x=b （a＜b） 、 两条曲线 y= xf、 y= xg（  xgxf）围成的平面图形的面积：S＝  badxxgxf][，如图 3。

 题型三 解决综合性问题 例 3、在曲线2xy （x≥0）上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围的面积为121试求： （1）切点 A 的坐标； （2）过切点 A 的切线方程 分析：设出切点 A 的坐标，利用导数的几何意义，写出切线方程，然后利用定积分求出所围成平面图形的面积，从而确定切点 A 的坐标，使问题解决 解：如图， 设切点 A（00, yx） ，由y＝2x，过 A 点的切线方程为 y－y0＝2x0（x－x0）,即 y＝2x0x－x02 令 y＝0,得 x=20x即 C（20x，0） 设由曲线和过 A 点的切线及 x 轴所围成图形的面积为 S，S＝SAOB曲边－SABC SAOB曲边＝300032310310xxxdxxx，  SABC＝21｜BC｜·｜AB｜＝21（x0－20x） ·x02＝41x03， 即：S＝31x03－41x03＝121x03＝121 所以 x0=1，从而切点 A（1,1）,切线方程为 y=2x－1 评注：本题将导数与定积分联系起来，解题的关键是求出曲线三角形 AOC的面积。