傅里叶变换的基本性质精编版.ppt

第七节傅里叶变换的基本性质主要内容：主要内容：1.对称性质2.线性性质6.频移特性7.时域积分性质3.奇偶虚实性4.尺度变换性质8.时域微分性质9.频域微分性质5.时移特性时域卷积定理频域卷积定理10.帕塞瓦尔定理1.对称性对称性(互易对偶性互易对偶性) (时频对称性时频对称性)若f (t) ?? ? F(?)则 F(t) ??? 2?f (??)例例1：：d(t) ? 11 ?2pd(w)例例2：：f (t)?tF(t) ? E?Sa ()2????F(?) ? E?Sa??2??？？2pf (w)????F(?) ? E?Sa???2?f (t)E??20?2t?t2)?2??02??wF (t) ? E?Sa(2pf (- w) = 2pf (w)2?E?2??02??t??20?2w例例311已知)=,求,求F[f(t)已知ff(t()t=F[f(t)]]tt1思路 ? 什么样的信号频谱含w2Q F[sgn(t)] =2根据对称性质Q F[sgn(t)] =jw根据对称性质jw22] = 2\\F[psgn(- w)= - 2psgn(w)= - 2psgn(w)2psgn(- w)F[jt]=jt1\F[ ]1= - jpsgn(w)\F[t]= - jpsgn(w)t解：2.线性性线性性若 f1(t) ??? F1(?), f2(t) ??? F2(?)则 a1f1(t)?a2f2(t)??? a1F1(?)?a2F2(?)其中，其中，a1,a2为常数为常数3.奇偶虚实性奇偶虚实性若 f (t) ??? F(?)? F(?) ej?(?)? R(?)? jX(?)则：则：（1）当f (t)为实函数时:? F(?)共轭对称即： F(?) 偶对称，?(?)奇对称；R(?)偶对称，X(?)奇对称；（2）当f (t)为实偶函数时， ? F(?)为实偶函数；（3）当f (t)为实奇函时， ? F(?)为虚奇函数;（4）当f (t)为纯虚函数时， ?F(?) 为偶函数，?(?)为奇函数；R(?)奇对称，X(?)偶对称；4.尺度变换特性尺度变换特性（展缩特性）（展缩特性）若f (t) ?? ? F(?)1???则 f (at) ?? ?F??, a ? 0a?a?F意义意义(a) 0

b) a>1 时域压缩，频域扩展 a倍例：例：结论：结论：时域压缩，则频域展宽；时域展宽，则频域压缩信号的持续时间与信号占有频带成反比信号的持续时间与信号占有频带成反比5.时移特性时移特性式中t0为任意实数注意：注意：信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变时移加尺度变换：时移加尺度变换：书书例例3-2：： 求下列所示三脉冲信号的频谱求下列所示三脉冲信号的频谱解：令解：令f0(t)表示矩形单脉冲信号表示矩形单脉冲信号w?F0(w)?E??Sa ()2??2f(t)E?T0?f(t)? f0(t)? f0(t?T)? f0(t?T)由时移特性可得：由时移特性可得：jwT? jwT?2TtF(w) ? F0(w)(1?e?ew?) ? E??Sa()?1?2cos(wT)?2其频谱如下：其频谱如下：F(w)3E?2??02?4?TTw实偶信号的频谱为实偶实偶信号的频谱为实偶（书（书P133））已知双Sa信号ωcf?t???Sa?ωct??Sa?ωc?t?2τ???π试求其频谱解：解：令ωcf0?t??Sa?ωct?π则f(t)= f0(t)- f0(t- 2τ)轾F[ f(t)]= F轾ft - F ft- 2τ( )()00臌臌ωc轾F臌f0(t)= F[Sa(ωct)]πF0?ω?1?ωCo= 1G2wc(w)由时移特性得到ωCω(b)F轾ft- 2τ = e()0臌- j2wτG2wc(w)因此f(t)的频谱F(w)等于.轾F(ω)= F轾ft - F ft- 2τ( )()00臌臌- j2wτ= (1- e)G2wc(w)从中可以得到幅度谱为ì?2sin(wτ) ( ω < ωc)?F(ω)= í ?0 ( ω < ω ) ?c?π在实际中往往取 τ =,此时上式变成ωc??πω?? (ω ?ω )?2sin ?c?ω?F?ω??? ?c??0 (ω ?ω ) c?双Sa信号的波形和频谱如图（（d））（e）所示。

ωCπf?t?F?ω?2oτ2τt?ωCo(e)ωCω(d)6.频移特性频移特性 （调制定理）（调制定理）若 f (t) ??? F(?)则 f (t)e? j?0t??? F(?m?0)?0为是实常数证明： 由傅立叶变换定义有由傅立叶变换定义有F[ f (t)?ej?0t] ??????f (t)ej?0t-j?tedtdt? F[ j(???0)]??? ?f (t)e- j (?-?0)t1f (t)cos??0t???F(???0)? F(???0)?,调制性：2jf (t)sin??0t???F(???0)?F(???0)?2证明：证明：11j?0t-j?0tF[ f (t)cos?0t]?F[ f (t)e]?F[ f (t)e ]2211?F[ j(???0)]?F[ j(???0)]2211j?0t-j?0tF[ f (t)sin?0t] ?F[ f (t)e]?F[ f (t)e ]2j2jjj?F[ j(???0)]?F[ j(???0)]22书书例例3-4（书（书P133））已知矩形调幅信号如图所示已知矩形调幅信号如图所示f (t) ?G(t)cos( w0t)其中其中G(t)为矩形脉冲，脉幅为为矩形脉冲，脉幅为 E，脉宽为，脉宽为?，试求其频谱。

试求其频谱w?解：解：G(t)矩形脉冲的频谱为：矩形脉冲的频谱为：G(w)?E?? Sa ()2根据频移特性：根据频移特性：f(t)的频谱的频谱F(w)为为11F(w) ?G(w?w0)?G(w?w0)22E????E?????Sa?(w?w0)??Sa?(w?w0)?22?22???F( j?)f (t)AEτ??/20?/ 2t0?f (t)cos?0tAE?2?/2tF ( j?)??/2???00?0书书例例3-5 ：： （（书书P134））已知f (t)= cos( w0t)利用频移定理求余弦信号的频谱利用频移定理求余弦信号的频谱解一：解一：1j?t? j?tcos?0t ?(e?e) ???[?(???0)??(???0)]002解二：解二：Q F[1]= 2pd(w)注意注意““1”的作的作用用\ F[cos( w0t)] = p[d(w+ w0)+ d(w- w0)]1j?0t? j?0tcos?0t ?(e?e) ???[?(???0)??(???0)]2cos?0t1F(?)(?)t(?)??00?0?余弦信号及其频谱函数注意：周期信号也存在傅里叶变换注意：周期信号也存在傅里叶变换7.时域积分特性时域积分特性若 f (t) ??? F(?)F(?)则?f (?)d??????????F(0)，??j??f (t)?????t?f (0)????F(? )d???jtf (t)dttF(0)=ò￥- ?ì正向应用正向应用??证明方法一：书证明方法一：书P.135应用：应用：í?逆向应用逆向应用证明方法二：证明方法二：利用卷积定理? ?更常用时域积分性质应用举例：时域积分性质应用举例：正向应用正向应用直接套用性质直接套用性质即：即：用被积函数的傅氏变换来表示积分后的傅氏变换用被积函数的傅氏变换来表示积分后的傅氏变换例例1：：(补充补充)已知F[d(t)]= 1,求F[òd(τ)dτ]- ?t解：解：设F(?)=F[?(t)] ?1,则F[?t??F(?)f (?)d?] ???????F(0)j?1=??????j?逆向应用逆向应用y(t) ? Y( j?)?1对所求函数先微分再表示成积分形式对所求函数先微分再表示成积分形式例例1：： （书例（书例3-7）用时域积分性质求）用时域积分性质求y(t)的频谱的频谱dy(t)? y1(t) ? Y1( j?)dt求导求导0t0tt1t0dy(?)解：解：Q y(t) ????d?d?t0t? j0?2t?t0dy(?)而? Y1( j?) ? Saed?2, Y1(0)?1t? j0?2?t0Y1( j?)1? Y( j?) ???Y1(0)?(?) ?Saej?j?2???(?)易出错处：易出错处：微分后再积分不一定等于原函数！微分后再积分不一定等于原函数！取决于f (- ? )是否为0例例2（补充）（补充）：：用时域积分性质求符号函数 sgn( t)的频谱解：f(t)?sgn( t)? F(?)?10df (t)=f1(t) 玾 F1()dt求导求导(2)t?1Qòt- ?df(τ)dτ = f (t)- f (- ? )dτt?0t\ f (t)=蝌- ?tdf(τ)dτ+ f (- ? )dτdf(τ)dτ-1dτF1(w)\ F(w) =+ pF1(0)d(w)- 2pd(w)jwd而F1(w)=F[f (t)]=F[2d(t)] = 2dt代入上式得：F1(?)2? F(?) ??j?j?8.时域微分特性时域微分特性若 f (t) ??? F(?)d则f (t)玾 F1( )= jwF(w)dtdnf(t)玾 Fn( )=(jw)F(w)ndt证明：书证明：书P.134正向应用正向应用ì??应用：应用：í?逆向应用逆向应用? ?（有条件）（有条件）时域微分性质应用举例：时域微分性质应用举例：正向应用：正向应用：例例1：（补充）：（补充）直接套用性质即：即：用原函数的傅氏变换来表示微分后的傅氏变换用原函数的傅氏变换来表示微分后的傅氏变换1du(t)已知F[u(t)] =+ pd(w),求的傅里叶变换jwdt解：直接套用性质直接套用性质du(t)F[]= jwF[u(t)]dt1= jw[+ pd(w)]= 1jw逆向应用：逆向应用：即：用微分后的傅氏变换来表示原函数的傅氏变换即：用微分后的傅氏变换来表示原函数的傅氏变换例：已知F[du(t)] = 1,求u(t)的傅里叶变换。

dtdu(t)Q F[]= jwF[u(t)]= 1dt1\ F[u(t)]=？？jw思考：思考：为什么结果错误？为什么结果错误？逆向应用条件逆向应用条件:例例2（补充）：（补充）：df (t)设f (t)] 玾 F( )，玾 F1( ) = jwF(w)、dtF1(w)证明：F( )[ f ()f ()]jw( )其中f (+ ? )、f ( ? )为有限值特别：当f (+ ? )f (- ? )Fn(w)0时， f (t)玾 F( )=n（jw）所有的时限信号都满足上述条件所有的时限信号都满足上述条件例例3（补充）（补充）用时域微分性质求符号函数 sgn(t)的频谱sgn( t)解：逆向应用逆向应用非时限信号，但满足f (+ ? )f (- ? )0?10t?1Q f (t)满足f (?)? f (??) ? 0 ? 可以逆向应用时域微分性质f(t)?sgn( t)? F(?)?1df (t)f1(t) =玾 F1()dt(2)求导求导0t?10tF1(?)2F(?) ??j?j?思考思考:能否用时域微分性质求能否用时域微分性质求 y(t)的频谱的频谱Y( j?)?y(t)?10t0t易出错处：易出错处：逆向应用时域微分性质逆向应用时域微分性质 是有条件的是有条件的只有当f (+ ? )f (- ? )0时，Fn(w)f (t)玾 F( ) =n（jw）例例4（书例（书例3-6））已知三角脉冲信号已知三角脉冲信号2??E(1??t )f (t) ???0?求其频谱求其频谱F(w)?(t ?)2(t ?)2E??2f (t)?0?2t解一：用时域积分性质解一：用时域积分性质F(w)bf (t)逆向应用逆向应用F2(w)bdf1(t)= f2(t)dt?2E???????F1(w)bdf(t)= f1(t)dt2EE求导求导??2?0?2tt?2??2?再求导再求导?2E??????02E?tt?20?2t?4E???????f (t)=ò- ?df (τ)dτdτf1(t) =ò- ?df1(τ)dτdτ注意：微积分关系式成立的条件注意：微积分关系式成立的条件第一步：求F2(w)及F2(0)：2EttF2(w)= F[f2(t)] = F{[d(t +)+ d(t -)- 2d(t)]}t22tt- jwjw2E8Ewt2=(e2+ e2- 2)= -sin ()tt4 且F2(0)=ò￥- ?f2(t)dt= 0第二步：利用 F2(w)求F1(w)：Q f1(t)=òt- ?df1(τ)dτdτdf1(τ)且玾Ｆ （ ）已求出。

２dτF2(w)\ F1(w)=+ pF2(0)d(w) ,jwF2(w)18E2wt\ F1(w） ==[-sin ()]jwjwt4而F2(0)=ò￥- ?f2(t)dt= 0第三步：利用 F1(w)求F(w)Q f (t) =òt- ?df(τ)df (τ)dτ且玾Ｆ （ ）已求出１dτdτF1(w)\ F(w)=+ pF1(0)d(w) ,而F1(0)=jwò￥- ?f1(t)dt= 0F1(w)18E2wtEt2wt\ F(w)==[-sin ()]=Sa ()2jw(jw)t424解法二：用时域微分性质解法二：用时域微分性质第一步：判断能否逆用第一步：判断能否逆用逆向应用逆向应用Q f (t)满足f (?)? f (??) ? 0 ? 可以逆向应用时域微分性质f (t)? F(w)df(t)f1(t)=? F1(w)dt2Ed2f (t)f2(t) =?F2(w)2dt?2E???????2E??????E??2求导求导??2??2?再求导再求导0?2t02E?t??20?2t?4E???????第二步：求出二阶导数的频谱第二步：求出二阶导数的频谱F2(w).d f (t)2E???????(t?)??(t ? )?2?(t)2??dt??22?d f (t)FT2E???? ? F2(w) ??e2dt??2jw2?2?e? jw?2?8E2???2???sin ()?4?第三步：逆向用时域微分性质求第三步：逆向用时域微分性质求f(t)的频谱的频谱F (w)：：f(t)?? ? F(w)d f (t)FT2?? ? F (w) ?(jw) F(w)22dt2FT1E?2??? F(w) ?F (w) ?Sa()22( jw)24E?2w?F(w) ?Sa ()24E?2E?2w?F(w) ?Sa ()24其幅频图其幅频图?8???4?4???8??0w思考：思考：1、本例两种方法中哪种更简单？、本例两种方法中哪种更简单？解法一：用时域积分性质解法一：用时域积分性质解法二：用时域微分性质解法二：用时域微分性质解法三解法三 ：应用时域卷积定理：应用时域卷积定理2、对分段线性的信号哪种是更普遍的方法？、对分段线性的信号哪种是更普遍的方法？时域积分和时域微分两性质的比较：时域积分和时域微分两性质的比较：1、正向应用时：、正向应用时：直接套用公式，没有要注意的问题直接套用公式，没有要注意的问题2、逆向应用两性质的思想是相同的：、逆向应用两性质的思想是相同的：即微分后的傅氏变换易求，用它来表示原函数的傅氏变换即微分后的傅氏变换易求，用它来表示原函数的傅氏变换至于微分几次要视实际情况来定至于微分几次要视实际情况来定3、时域微分性质比时域积分性质方便、时域微分性质比时域积分性质方便9.频域微分特性频域微分特性若 f (t) ??? F(?)证明证明 :略略思考：思考：设f (at) ? F1(?)则-jtf (at) ? ?dF1(?)d?补充例补充例1：： 求单位斜变信号求单位斜变信号f(t)=tu(t)的频谱的频谱解：解：1Qu(t) ????(?)j?1d[??(?)?]1j?? tu(t) ?j? j??? (?)?2d??补充例补充例2：：求信号求信号f(t)=t的频谱的频谱注意注意““1”的作的作用用解：解：Q1? 2??(?)d[2??(?)]? t?1?j? 2?j?? (?)d?频域积分特性：频域积分特性：（用的少）（补充）10.帕塞瓦尔定理（帕塞瓦尔定理（Parserval定理）定理）对能量有限信号:（能量守恒）（能量守恒）若f (t) ? F(?)则?????能量谱：能量谱：12G(?) ?F(?):?2?????1f (t) dt ?2?2?F(?) d?2能量谱仅与幅度谱有关，能量谱仅与幅度谱有关，与相位谱无关与相位谱无关。

对周期信号fT(t), fT(t) ?n????F en??jn?1t功率谱：功率谱：（功率守恒）（功率守恒）Fn~w??2若fT(t) ? Fn1则?Tt0t0?T功率谱仅与幅度谱有关，功率谱仅与幅度谱有关，fT(t) dt ?2n????Fn2与相位谱无关与相位谱无关。