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高数求极限方法总结、极限等价替换公式总结及其例题详细解答.doc

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    • 高数求极限方法总结及其例题详细解答1. 定义:说明:(1) 一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上lim(3x-l) = 5 面的极限严格定义证明,例如:;“T2(2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明利用导数的定义求极限这种方法要求熟练的掌握导数的定义例 7:已知(sin" =8$X,・刀、・开解:原式 =($mx),| = cos - =0^* x 4 22. 极限运算法则定理1已知血/⑴,limg(x)都存在,极限值分别为A, B,则下面极限都存在,且有(])lim[/(x)±g(x)] = A±B(2) lim/(x)-^(x) = A B⑶咲优H,(此时需昨0成立) 说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满 足时,不能用利用极限的四则运算法求极限这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限通常情况下,要 使用这些法则,往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简例6:limJTT9J/+1 - 3x 3x + sin x解:原式女■+丄J9 x + sm x-3hm―-—9 x-Fsin x8.用初等方法变形后,再利用极限运算法则求极限v 丿3兀+1 — 2lim 例x-1v (a/3x + 1)2-22 v 3x-3 3lim / = lim / =—解:原式=^> (x-1)(V3xT1+2) ― (%-1)(73771+2) 4注:本题也可以用洛比达法则。

      lim4n(J〃 + 2 _ Jn_\) 例 2〃T832r Vh[(h + 2)-(h-1)]f 侖+㊁+侖-I解:原式二上下同除以3" (一厅)+1= lim /I—“2、・,(了) +1 解:原式 33. 两个重要极限..sinxlim lim(l + x)x = e(2) zlim(l +丄)”XT8 X说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式,例如:sin 3x t =1lim go 3xlim(l -2x)"2v = extOlim(l +3p = eX— 8 JC利用两个重要极限求极限lim例5 go1 一 cos X3x22 sin2 — 2 sin2 — 〔lim 鸟=lim =-5 3 兀 —2.(兰)2 6解:原式二 2注:本题也可以用洛比达法则2lim(l-3sin x)x例6心()解:1 -6 sin x原式肿isin沪-F1 -6 sin x=lim[(l- 3 sin x)_3sinx ] x xtOr 八_2、nlim(——)例7心8 n +1解:原式=2 n+\ 一3” $ "+1 一3"lim(l + 二耐=lim[(l + 二-)巧=e~3 “Too n _|_ 1 "Too n -|_ 14. 等价无穷小定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。

      定理3当xt°时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有:X〜sin x〜tan兀〜arcsin无〜arctan x〜ln(l +无)〜丘” -10说明:当上面每个函数中的自变量X换成£(力吋(g(x)TO),仍有上面的等价 关系成立,例如:当XT0时,幺力_]〜3无;ln(l_F)〜_兀2定理4如果函数/(兀),£(兀)丿1(兀),<?1(兀)都是兀时的无穷小,且于(X)〜 lim 止 lim/W久⑴,g(x)〜幻⑴,则当WgQ)存在时,fog(兀)也存在且等于/(X) XT勺 g| (X),艮卩 XTXg(X)= XfYg|(X)利用等价无穷小代换(定理4)求极限lim—I . A-—>0例9xln(l + 3x)arctan(x2)解:lim原式=gox-3x ax T 0时,ln(l + 3x)〜3兀,arctan(x2)〜x2lim — 例 IO"® x- sin x严气广 g_]) esinx(x-sinx).lim = lim = 1解:原式二go x-sinx xto x-sinx注:下面的解法是错误的:r (eA -l)-(esinv-l) r x-sin^ 〔lim = lim = 1原式;二才to x-sinx 才to x-sinx o正如下面例题解法错误一样:limA->0tan x- sin x x-x 门 =lim ———=0x3x->0 兀-tan(x sin —)lim 例 11 "To sin x•••当兀T 0时,x2 sin —是无穷小,・•・tan(x2 sin丄)与/ sin丄等价 解: 兀 无 兀x2 sin— ]lim = limxsin— = 0所以,原式二心。

      x “TO X 最后一步用到定理2)五、利用无穷小的性质求极限有限个无穷小的和是无穷小,有界函数与无穷小乘积是无穷小用等价无穷小替 换求极限常常行之有效Hm(Jl + xsiz — l)|imsinsin(x-l)例 1. z ex -1 2. go lnx5•洛比达法则定理5假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时,函数/(Q和&(兀)满足:(1) /(兀)和g°)的极限都是0或都是无穷大;(2) 兀兀)和g(兀)都可导,且g(兀)的导数不为0;(3) &(X)存在(或是无穷人);lim 世 lim 炉 lim^ lim^则极限 g(x)也一定存在,且等于 g(兀),即 g°)= g(兀)说明:定理5称为洛比达法则,用该法则求极限时,应注意条件是否满足,只要有一条不满足,洛比达法则就不能应用特别要注意条件(1)是否满足,即验0 8证所求极限是否为“6”型或“co”型;条件(2) —般都满足,而条件(3) 则在求导完毕后可以知道是否满足另外,洛比达法则可以连续使用,但每次使 用Z前都需要注意条件利用洛比达法则求极限说明:当所求极限中的函数比较复杂吋,也可能用到前面的重要极限、等价无穷 小代换等方法。

      同时,洛比达法则还可以连续使用lim例 12 Z)1 一 cos X(例4)limsinx解:原式二6无丄6 o (最后一步用到了重要极限)7DCcos-lim 例 13 "T x-\解:lim原式二2】71 . 7TX sin-2 2712O—x-sin xlim ——例14心1-cosx .• sinx 1lim lim =—解:原式3对 6x 6 0 (连续用洛比达法则,最后用重要极限)―sinx-xcosxlim 例 15 Z) x sin x 解:田亠 .• sin x - x cos x .. cos x 一 (cos x-xsin x) 原式=lim = limxtO 兀一 •兀 XT xsinx 1=lim = 一Z) 3;r 33x2lim L— J例 18”t° 兀 ln(l + %)lim [丄—丄]=0解:错误解法:原式h-o X X 正确解法:甘亠-\n(\ + x)-x .. ln(l + x)- x丿杲武=lim = lim xto xln(l + x) x^o x-xp1 x ]=lim 1 + 兀——=lim =—xto 2x xto 2x(1 + x) 2应该注意,洛比达法则并不是总可以用,如下例。

      x-2sinxlim 例 19"° 3x + cos x0解:易见:该极限是“6”型,但用洛比达法则后得到:限不存在,而原来极限却是存在的正确做法如下:l-2cosx3 — sinx ,此极2sinx1 lim XT® 3 * cos x原式二 兀(分子、分母同时除以x)]_=3 (利用定理1和定理2)6. 连续性定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续,即如果兀是函数/(兀)的定lim /(x) = /(x0)义去间内的一点,则有㈠心 O利用函数的连续性(定理6)求极限lim x2ex 例 4 xt2解:因为兀0=2是函数f(x) = x2ex的一个连续点,1所以原式/宀4亿7. 极限存在准则定理7 (准则1)单调有界数列必有极限四、利用单调有界准则求极限首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性,再求解方程可求出极限例 1.设Q>0,西=五宀+ 二 Ja +兀…•,兀”+] = +兀“(〃 =1,2,•…)求极限坯心定理8(准则2)已知MAy„}Azn}为三个数列,且满足:(D 儿 §乙 ,(“ = 1,2,3,…)lim yn = a lim z” = a(2 ) “T8 ”T8limxrt limxn = a则极限“T" 一定存在,且极限值也是a,即。

      lim 求 “Toolim (HToo例21(1) y. Wg £2. (n=kpk+hk+2⑵ hm儿二hmz.=s则hmx.=a・We X-M»定理3 (函数知■定理)如果跆f &),&(“• hGc)淸足下列条件:⑴当0<|兀・耳|<6(^#|x|>I)时有(2) lim g(x) = lim h(x) = A那么 lim /(x)存在,且等于 A・—— JT—2.n •乃ran— $m— -—例3*求lnn[— +― +…畔“ f卄1卄丄 卄丄2 n•诙 •诙 .j^rsin— sin— sin —絡因対一<—<―•所以卩 处1 打+JL «+1n n• in1専1負诉1専.讲厂 」2 刃+1 台 n m w+£ ”台 n »■**« m ”人 nn_ 2一、 于是由夭il定理可知療式等于-•10.夹逼定理 兀 利用极限存在准则求极限 例20已知X\=迈,X沖=j2 + £ ,S = 1,2,・・・)(r i r lim x/7解:易证:数列(兀丿单调递增,且有界(0v 〃<2),由准则1极限存 在,设[史 兀'-"对己知的递推公式兀+i “2 +兀”两边求极限,得: a = ^2^,解得:a = 2或° = 一1 (不合题意,舍去)yin* 2 +1nJ/? +1lim / n = 1 因为Jn,+ nlim -/ = 1宀厶2+]lim x = 2 所以宀所以由准则2得:即。

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