九年级数学上册 二次函数知识讲解 浙教版.doc

word第 18 课时 二次函数◆知识讲解①一般地，如果 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数且 a≠0），那么 y 叫做 x 的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数 是不是二次函数的重要依据．②当 b=c=0 时，二次函数 y=ax2 是最简单的二次函数．③二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a（x－h）2+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a（x－x ）（x－x ），通1 2常要知道图像与 x 轴的两个交点坐标 x ，x 才能求出此解析式；对于 y=ax2+bx+c 而言，其1 2b 4 ac -b 2顶点坐标为（－ ， ）．对于 y=a（x－h）2+k 而言其顶点坐标为（h，k），•由2a 4 a于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．④二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴为 x=－b2a4ac -b 2，最值为 ，（k>0 时为最小值， 4ak<0 时为最大值）．由此可知 y=ax2 的顶点在坐标原点上，且 y 轴为对称轴即 x=0．⑤抛物线的平移主要是移动顶点的位置，将 y=ax2沿着 y 轴（上“＋”，下“－”）平移 k（k>0）个单位得到函数 y=ax2±k，将 y=ax2沿着 x 轴（右“－”，左“＋”）平移 h（h>0）个单位得到 y=a（x±h）2．•在平移之前先将函数解析式化为顶点式，再来平移，若沿 y•轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减（上加下减），若沿 x 轴平移则直接在含 x 的 括号内进行加减（右减左加）．⑥在画二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的交点．⑦抛物线 y=ax2+bx+c 的图像位置及性质与 a，b，c 的作用：a 的正负决定了开口方向，1 / 16word当 a>0 时，开口向上，在对称轴 x=－b2a的左侧，y 随 x 的增大而减小；在对称轴 x=－b2a的右侧，y 随 x 的增大而增大，此时 y 有最小值为 y=4ac -b4a2b 4ac -b 2 ，顶点（－ ， ）2a 4 a为最低点；当 a<0 时，开口向下，在对称轴 x=－b2a的左侧，y 随 x 的增大而增大，在对称轴 x=－b2a的右侧，y 随 x 的增大而增大，此时 y 有最大值为 y=4ac -b4a2，顶点（－，4ac -b4a2）为最高点．│a│的大小决定了开口的宽窄，│a│越大，开口越小，图像两边越靠近 y 轴，│a│越小，开口越大，•图像两边越靠近 x 轴；a，b 的符号共同决定了对称轴的位置，当 b=0 时，对称轴 x=0，即对称轴为 y 轴，当 a，b 同号时，对称轴 x=－b2a<0，即对称轴在 y 轴左侧，垂直于 x 轴负半轴，当 a，b•异号时，对称轴 x=－b2a>0，即对称轴在 y 轴右侧，垂直于 x 轴正半轴；c•的符号决定了抛物线与 y 轴交点的位置，c=0 时，抛物线经过原点，c>0 时，与 y 轴交于正半轴；c<0 时，与 y•轴交于负半轴，以上 a，b， c 的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出．◆例题解析例 1 已知：二次函数为 y=x2－x+m，（1）写出它的图像的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2）m 为何值时，顶点在 x 轴上方，（3）若抛物线与 y 轴交于 A，过 A 作 AB∥x 轴交 抛物线于另一点 B，当 S 时，求此二次函数的解析式．AOB【分析】（1）用配方法可以达到目的；（2）顶点在 x 轴的上方，•即顶点的纵坐标为 正；（3）AB∥x 轴，A，B 两点的纵坐标是相等的，从而可求出 m 的值．【解答】（1）∵由已知 y=x2－x+m 中，二次项系数 a=1>0，∴开口向上，又∵y=x2－x+m=[x2－x+（1 1 1 4 m -1 ）2]－ +m=（x－ ）2+2 4 2 42 / 16∴对称轴是直线 x=1 1 4 m -1 ，顶点坐标为（ ， ）．2 2 4（2）∵顶点在 x 轴上方，∴顶点的纵坐标大于 0，即 1∴m>44m -14>0∴m>14时，顶点在 x 轴上方．（3）令 x=0，则 y=m．即抛物线 y=x2－x+m 与 y 轴交点的坐标是 A（0，m）． ∵AB∥x 轴∴B 点的纵坐标为 m．当 x2－x+m=m 时，解得 x =0，x =1．1 2∴A（0，m），B（1，m）在 BAO 中，AB=1，OA=│m│．AOB=12OA·AB=4．∴12│m│·1=4，∴m=±8故所求二次函数的解析式为 y=x2－x+8 或 y=x2－x－8．【点评】正确理解并掌握二次函数中常数 a，b，c•的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键之处．例 2 （2006，某某市）已知：m，n 是方程 x2－6x+5=0 的两个实数根，且 m0，所以此函数的图像与 x 轴有两个不同的交点．故图像经过 A，B 两点的二次函数为 y=x2－mx－m 2 +2（2）将 A（－1，0）代入 y=x2－mx－．2m2 +22．得 1+m－m2 +22=0．整理，得 m2－2m=0．解得 m=0 或 m=2．当 m=0 时，y=x2－1．令 y=0，得 x2－1=0．解这个方程，得 x =－1，x =1．1 2此时，点 B 的坐标是 B（1，0）．当 m=2 时，y=x2－2x－3．令 y=0，得 x2－2x－3=0．解这个方程，得 x =1，x =3．1 2此时，点 B 的坐标是 B（3，0）．（3）当 m=0 时，二次函数为 y=x2－1，此函数的图像开口向上，对称轴为 x=0，所以当 x<0 时，函数值 y 随 x 的增大而减小．当 m=2 时，二次函数为 y=x2－2x－3=（x－1）2－4，此函数的图像开口向上，对称轴6 / 16为 x=1，所以当 x<1 时，函数值 y 随 x 的增大而减小．【点评】本题是一道关于二次函数与方。