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四川省省级精品课程 《实变函数论 》,主讲人：魏勇,§2.5 可测函数列的几种收敛及其相互关系,第二章 可测集与可测函数,依测度收敛的否定叙述,注1：几乎处处收敛强调的是在点上函数值的收敛 （除一零测度集外） 注2：依测度收敛并不 指出函数列在哪个点上的收 敛，而在于误差超过σ的点所成的集的测度 应随n趋于无穷而趋于零，而不论点集的位置 状态如何,定理2.5.1 （ Lebesgue定理） ：设mE+∞，fn ，f在E上几乎 处处有限且可测，,Lebesgue定理中条件mE+∞,不能少,Lebesgue定理逆定理不成立,Lebesgue定理逆定理不成立(续),Lebesgue定理逆定理不成立(续),Lebesgue定理之特殊逆定理(定理2.5.2),若 于E,则必有{fn}的子列 {fni} ，,使得,(Riesz),３．依测度收敛的等价描述(推论2.5.1),令mE+∞，则 对{fn} 的任意子列 {fnk} ,存在{fnk}的子列 {fnki} ，使得,证明： 任取 {fn}的子列 {fnk} ， 由于 当然有,由Riesz定理知，存在 {fnk}的子列 {fnki} ， 使得,⒋等价描述的应用1(习题21)： 获依测度收敛的性质（四则和绝对值运算）,定理：令mE+∞ ， ，则,,注２：条件mE+∞对(2)、(3)来说不可少,例 设 但 在R上不依测度收敛于f 2,注１： (1),(4)当mE=+∞时,也成立.,证明：1)由,故,⒋ Riesz定理的应用2： 获依测度收敛的唯一性（作为补充习题),定理：令mE+∞ , 则f(x)=h(x) a.e.于E。

证明:,,,例：函数列fn(x)=xn 在(0,1)上处处收敛到 f(x)=0,但不一致收敛， 但去掉一小测度集合 (1-δ,1),在留下的集合 上一致收敛 所谓“一致”就是能刻划“最慢”,收敛的联系（叶果洛夫定理的引入）,注：叶果洛夫定理中的 结论meδ不能加强到me=0,定理: （叶果洛夫）设mE+∞，fn ，f在E上几乎处处有限且可测，,（即：可测函数列的几乎处处收敛 “基本上”是一致收敛）,即：去掉某个0测度集后处处收敛即：去掉某个小（任意小）测度集后一致收敛,准备知识,引理：设mE+∞，fn ，f在E上几乎处处有限且可测，,证明：由于 为零测度集， 故不妨令 fn ，f在E上处处有限，从而有：,,,叶果洛夫定理的证明,注1：叶果洛夫定理的逆定理成立，(允许mE=+∞),“基本上”一致收敛:去掉某个小（任意小）测度集， 在留下的集合上一致收敛,几乎处处收敛: 去掉某个零测度集，在留下的 集合上处处收敛,注3：叶果洛夫定理中结论meδ不能加强到me=0,设fn(x)= x n , x∈(0,1）,则fn(x) 处处收敛于f(x)=0，但fn(x)不一致收敛于f(x) ，即使去掉任意一零测度集，在留下的集合上fn(x)仍不一致收敛于f(x) 。

说明：去掉任意一个零测度集e，留下的集合 (0,1)-e仍然以1为聚点从而可找到E-e中一点列 {xn}, 使得 收敛到1，故：,从而E-e 上fn(x)不一致收敛于f(x),几种收敛的关系,。