备战2025年高考理科数学考点一遍过考点06二次函数与幂函数.docx

专题06 二次函数与幂函数（1）了解幂函数的概念.（2）结合函数的图象，了解它们的变化情况.一、二次函数1．二次函数的概念形如的函数叫做二次函数.2．表示形式(1)一般式：f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0).(2)顶点式：f(x)=a(x−h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)为抛物线的顶点坐标.(3)两根式：f(x)=a(x−x1)(x−x2)(a≠0)，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标.3．二次函数的图象与性质函数解析式图象(抛物线)定义域R值域对称性函数图象关于直线对称顶点坐标奇偶性当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数单调性在上是减函数；在上是增函数.在上是增函数；在上是减函数.最值当时，当时，4．常用结论(1)函数f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是方程ax2＋bx＋c=0的实根.(2)若x1，x2为f(x)=0的实根，则f(x)在x轴上截得的线段长应为|x1−x2|=.(3)当且()时，恒有f(x)>0()；当且()时，恒有f(x)<0().二、幂函数1．幂函数的概念一般地，形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x为自变量，α为常数.2．几个常见幂函数的图象与性质函数图象定义域值域奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在上单调递增在上单调递减；在上单调递增 在上单调递增在上单调递增在和上单调递减过定点过定点过定点3．常用结论(1)幂函数在上都有定义.(2)幂函数的图象均过定点.(3)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递增.(4)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递减.(5)幂函数在第四象限无图象.考向一 求二次函数或幂函数的解析式1．求二次函数解析式的方法求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式．一般选择规律如下：2．求幂函数解析式的方法幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.典例1 若函数是幂函数，且满足，则A． B． C． D．−3【答案】A【解析】由题意可设为常数），因为满足，所以，所以，所以，所以.故选A．1．已知幂函数的图象经过点8,4，则不等式f6x+3≤9的解集为_______.考向二 幂函数的图象及性质的应用1．幂函数y=xα的图象与性质，由于α值的不同而比较复杂，一般从两个方面考查：①α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．②幂函数的指数与图象特征的关系当α≠0，1时，幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下：αα>10<α<1α<0图象特殊点过(0，0)，(1，1)过(0，0)，(1，1)过(1，1)凹凸性下凸上凸下凸单调性递增递增递减举例y=x2、2．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.典例2 如图所示的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知，相应曲线对应的值依次为A． B． C． D． 【答案】B 【解析】结合幂函数的单调性及图象，易知曲线对应的值依次为．故选B．2．已知函数f(x)=(m2−m−1)xm2+2m−3是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数m=A．−1 B．2C．3 D．2或−1典例3 设，则的大小关系是A．a>c>b B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a【答案】A【解析】因为在上是增函数，所以又因为在上是减函数，所以.综上，a>c>b.故选A.【名师点睛】同底数的两个数比较大小，考虑用指数函数的单调性；同指数的两个数比较大小，考虑用幂函数的单调性，有时需要取中间量.3．已知，，，则下列结论成立的是A． B．C． D．考向三 二次函数的图象及性质的应用高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低，常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题，考查二次函数图象与性质的应用，以选择题、填空题的形式呈现，有时也出现在解答题中，解题时要准确运用二次函数的图象与性质，掌握数形结合的思想方法.常见类型及解题策略：1．图象识别问题辨析二次函数的图象应从开口方向、对称轴、顶点坐标以及图象与坐标轴的交点等方面着手讨论或逐项排除．2．二次函数最值问题的类型及处理思路(1)类型：a.对称轴、区间都是给定的；b.对称轴动、区间固定；c.对称轴定、区间变动．(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间的两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．3．解决一元二次方程根的分布问题的方法常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：a.开口方向；b.对称轴位置；c.判别式；d.端点函数值符号四个方面分析．4．求解与二次函数有关的不等式恒成立问题往往先对已知条件进行化简，转化为下面两种情况：(1)ax2＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要条件是.(2)ax2＋bx＋c<0，a≠0恒成立的充要条件是.另外，也可以采取分离变量法，把问题转化为不等式f(x)>A在区间D上恒成立，此时就等价于在区间D上f(x)min>A，接下来求出函数f(x)的最小值；若不等式f(x)0且a≠1)的图象恒过定点P，若定点P在幂函数g(x)的图象上，则幂函数g(x)的图象是A． B．C． D．6．已知函数的图象如图所示，则的大小关系为A． B． C． D．7．已知函数，则A．，使得 B．C．，使得 D．，使得8．已知：幂函数在上单调递增；，则是的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是A． B．0 C． D．10．已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是A． B．C． D．11．已知点在幂函数的图象上，设，则的大小关系为A． B．C． D．12．已知函数（其中，且）在区间上单调递增，则函数的定义域为A． B． C． D．13．已知函数既是二次函数又是幂函数，函数是上的奇函数，函数，则A．0 B．2018 C．4036 D．403714．已知幂函数（α是实数）的图象经过点，则f（4）的值为____________．15．已知xα+x−α=25，x>1，α<0，则xα−x−α=____________．16．若幂函数f(x)=(m2−2m+1)x2m−1在(0,+∞)上为增函数，则实数m的值为____________．17．已知函数y=x2−2x+a的定义域为R，值域为[0,+∞)，则实数a的取值集合为____________.18．已知函数，则函数的最小值是__________．19．已知实数满足，则的取值范围是__________．20．已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(x)=f(2−x),f(0)=3．（1）求f(x)的解析式；（2）在区间[−1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．21．已知幂函数f(x)=(m−1)2xm2−4m+3(m∈R)在(0,+∞)上单调递增．（1）求m的值及f(x)的解析式；（2）若函数g(x)=−3f(x)2+2ax+1−a在[0,2]上的最大值为3，求实数a的值．22．已知fx=−4x2+4ax−4a−a2．（1）当a=1，x∈1,3时，求函数fx的值域；（2）若函数fx在区间0,1内有最大值-5，求a的值．23．已知函数，其中为常数.（1）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；（2）若，都有，求实数的取值范围.1．（2017年高考浙江卷）若函数f(x)=x2+ ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M – mA．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关2．（2017年高考山东卷理科）已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是A． B．C． D．3．（2016年高考新课标III卷理科）已知，，，则A． B．C． D．4．（2019年高考浙江卷）已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是___________.变式拓展1．【答案】−5,4【解析】由题意知，故，由于fx=x23=3x2为R上的偶函数且在0,+∞上单调递增，f6x+3≤9即为f6x+3≤f27，所以6x+3≤27，解得−5≤x≤4. 2．【答案】A【解析】∵函数f(x)=(m2−m−1)xm2+2m−3是幂函数，∴m2−m−1=1，解得：m=2或m=−1，当m=2时，，其图象与两坐标轴有交点，不符合题意；当m=−1时，，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，故m=−1.故选A．3．【答案】A。