2018版考前三个月高考数学理科（全国通用）总复习文档：解答题滚动练1 .pdf

解答题滚动练解答题滚动练 解答题滚动练解答题滚动练 1 1.(2017 届长郡中学模拟)四边形 ABCD 如图所示，已知 AB＝BC＝CD＝2，AD＝2. 3 (1)求cos A－cos C 的值； 3 (2)记△ABD 与△BCD 的面积分别是 S1与 S2，求 S ＋S 的最大值. 2 12 2 解 (1)在△ABD 中， BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos A＝16－8cos A， 3 在△BCD 中， BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C＝8－8cos C， 所以cos A－cos C＝1. 3 (2)依题意 S ＝ AB2·AD2sin2A＝12－12cos2A， 2 1 1 4 S ＝ BC2·CD2sin2C＝4－4cos2C， 2 2 1 4 所以 S ＋S ＝12－12cos2A＋4－4cos2C＝16－4(cos C＋1)2－4cos2C 2 12 2 ＝－8cos2C－8cos C＋12＝－8 2＋14， (cos C＋ 1 2) 因为 2－2＜BD＜4， 3 所以 8－8cos C＝BD2∈. (16－8 3，16) 解得－1＜cos C＜－1， 3 所以 S ＋S ≤14，当 cos C＝－ 时取等号，即 S ＋S 的最大值为 14. 2 12 2 1 22 12 2 2.已知等差数列{an}的公差为 2，前 n 项和为 Sn，且 S1，S2，S4成等比数列. (1)求数列的通项公式； {an} (2)设 bn＝，数列的前 n 项和为 Tn，求证： Tn＜ . 4 (an＋1)(an＋5){bn} 3 4 (1)解 ∵等差数列{an}的公差为 2，前 n 项和为 Sn， ∴Sn＝na1＋d＝n2－n＋na1， n(n－1) 2 ∵S1，S2，S4成等比数列， ∴S ＝S1·S4， 2 2 即(22－2＋2a1)2＝a1·(42－4＋4a1)，化为(1＋a1)2＝a1(3＋a1)，解得 a1＝1. ∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1. (2)证明 由(1)可得 an＝2n－1，则 bn＝ 4 an＋1an＋5 ＝＝＝， 4 2n－1＋12n－1＋5 1 nn＋2 1 2( 1 n－ 1 n＋2) ∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝＋＋＋＋…＋ 1 2(1－ 1 3) 1 2( 1 2－ 1 4) 1 2( 1 3－ 1 5) 1 2( 1 4－ 1 6) 1 2( 1 n－ 1 n＋2) ＝＝＝ －. 1 2(1－ 1 3＋ 1 2－ 1 4＋ 1 3－ 1 5＋ 1 4－ 1 6＋…＋ 1 n－ 1 n＋2) 1 2(1＋ 1 2－ 1 n＋1－ 1 n＋2) 3 4 2n＋3 2(n＋1)(n＋2) ∵n∈N*， ∴＞0， 2n＋3 2(n＋1)(n＋2) ∴ －＜ ，即 Tn＜ . 3 4 2n＋3 2(n＋1)(n＋2) 3 4 3 4 综上所述， Tn＜ . 3 4 3.如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1中，侧面 ACC1A1⊥底面 ABC， ∠A1AC＝60°， AC＝2AA1＝4，点 D， E 分别是 AA1， BC 的中点. (1)证明： DE∥平面 A1B1C； (2)若 AB＝2， ∠BAC＝60°，求直线 DE 与平面 ABB1A1所成角的正弦值. (1)证明 取 AC 的中点 F，连接 DF， EF， ∵ E 是 BC 的中点， ∴ EF∥AB， ∵ ABC－A1B1C1是三棱柱， ∴ AB∥A1B1， ∴ EF∥A1B1， ∴ EF∥平面 A1B1C， ∵ D 是 AA1的中点， ∴ DF∥A1C， ∴ DF∥平面 A1B1C. 又 EF∩DF＝F， ∴平面 DEF∥平面 A1B1C， ∴ DE∥平面 A1B1C. (2)解 过点 A1作 A1O⊥AC，垂足为 O，连接 OB， ∵侧面 ACC1A1⊥底面 ABC， ∴ A1O⊥平面 ABC， ∴ A1O⊥OB， A1O⊥OC. ∵∠A1AC＝60°， AA1＝2， ∴ OA＝1，OA1＝， 3 ∵ AB＝2，∠OAB＝60°，由余弦定理，得 OB2＝OA2＋AB2－2OA·ABcos∠BAC＝3， ∴ OB＝，∠AOB＝90°， 3 ∴ OB⊥AC， 分别以 OB，OC，OA1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz， 由题设可得 A(0，－1，0)，C(0，3，0)，B(，0，0)，A1(0，0，)，D，E 33 (0，－ 1 2， 3 2) ， ( 3 2 ，3 2，0) ∴＝(，1，0)，＝(0，1，). AB → 3 AA1 → 3 设 m＝是平面 ABB1A1的一个法向量， (x1，y1，z1) 则Error!Error! 即Error!Error! 令 z1＝1，∴m＝(1，－，1)， 3 ∵＝， DE → ( 3 2 ，2，－ 3 2) ∴cos〈m，〉＝＝， DE → m·DE → |m||DE → | －2 330 55 ∴直线 DE 与平面 ABB1A1所成角的正弦值为. 2 330 55 4.已知函数 f(x)＝x2－x，g(x)＝ex－ax－1. (1)讨论函数 g(x)的单调性； (2)当 x＞0 时，f(x)≤g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围. 解 (1)g′(x)＝ex－a. ①当 a≤0 时，g′(x)＞0，g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增. ②当 a＞0 时，当 x∈(－∞，ln a)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减； 当 x∈(ln a，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增. (2)当 x＞0 时，x2－x≤ex－ax－1， 即 a≤－x－ ＋1. ex x 1 x 令 h(x)＝－x－ ＋1(x＞0)， ex x 1 x 则 h′(x)＝. exx－1－x2＋1 x2 令 F(x)＝ex(x－1)－x2＋1(x＞0)， 则 F′(x)＝x(ex－2). 当 x∈(0，ln 2)时，F′(x)＜0，F(x)单调递减； 当 x∈(ln 2，＋∞)时，F′(x)＞0，F(x)单调递增. 又 F(0)＝0，F(1)＝0，所以当 x∈(0，1)时，F(x)＜0， 即 h′(x)＜0，h(x)单调递减， 当 x∈(1，＋∞)时，F(x)＝(x－1)(ex－x－1)＞0， 即 h′(x)＞0，h(x)单调递增. 所以 h(x)min＝h(1)＝e－1， 所以 a∈(－∞，e－1]. 。