考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编11.doc

15分考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编1全部题型1・选择题2.填空题3•解答题试题 数 量：30题答题180时分限：钟剩余时间：下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求调整字 号：12 14 16 1820调整背乐：□正确答案：D解析：由于一 =0,所以应选D.□=1,则原曲线有水平渐近线y=l,又 选择题A. 没有渐近线.B. 仅有水平渐近线.C. 仅冇铅直渐近线.D. 既冇水平渐近线也冇铅直渐近线.2. （1992年）当「0时，x—sinX是才的 【】A. 低阶无穷小.B. 高阶无穷小.C. 等价无穷小.D. 同阶但非等价无穷小.正确答案：B解析：由于则当/->0时，x—sinX是才的高阶无穷小.3. （1993 年）设欢）=则在点x= 1处函数f(x)A. 不连续.B. 连续，但不可导.C. 可导，但导数不连续.D. 可导，且导数连续.正确答案：A解析： 即不存在,则取)在z=i处不连续.[14. (1993年)设常数k>0,函数f(x)-lnx-l_+k在(0, +oo)内零点个数为 【】A. 3B. 2C. 1D. 0正确答案：B解析*卄比可知小疋令门力=0得X=e，且当XG(0^ e)时f(z)>0,则f(/严格单调增；而当xe(e. +◎时，T(X)<0,贝!]怒)严格单调减，又f(e)=k>0, 而0则f(x)在(0, e)秋e, +oo)分别有唯一零点，故f(x)=lnx—爲® +8)内零点个数为2.5. （1993 年）若 tlx）=-f（-x）,在（0, +©内 f（x）>0, f （%）>0,则 f（x）在（一e 0）内 【】a. f（x）＜o, r（x）＜ob. f仅）vo, r（x）＞oc. f（x）＞o, r（%）＜o正确答案：C解析：由f(x)=-f(-z)知f(—z)=—f(z)，即f(力的图形关于原点对称，从而由在(0, 知，在(一◎ 0)内 r(z)>o, r(x) 因此应选 c.6. （1994 年）设=2,贝IJ【】ElA・ a=l, b= — B.C.a=0, b=—2Xa=0, b=—I—D. a=L b = —2□IF确答案• A解析• 由上式右端可知a=l,否则原式极限为无 穷.7. （1994年）设 欢）= ，则Rx）在x=l处的 【】A. 左、右导数都存在.B. 左导数存在，但右导数不存在.C. 左导数不存在，但右导数存在.D. 左、右导数都不存在.正确答案：B解析：导，而泾1时f（/=取W右连续’从而切不存;□ = L 但 f（l）=3一几则化存在，故应选B.8. （1994年）设y=f（x）是满足微分方程y" +yz—esinz=0的解，且F（Xo）=O,则欢）在 【】A. %某邻域内单调增 加.B. 加某邻域内单调减少• C・张处取得极小值.D. xo处取得极大值.正确答案：C解析：由于y = fO（）满足方程y" +、“=严沃=0,则 r（x）+f'（x）=J哙o令 x=zo,得 f" （xo）+r（zo）-L&-J=o即 r(xo)=L@J>o 又 r(z«)=o 则f()()在张处取极小值.9.(1994年)曲线y=的渐近线有A. 1 条.B. 2 条.C. 3 条.D. 4 条.正确答案：B解析:可知原曲线有水平渐近线=心 则原曲线有垂直渐近线7=0,虽然原题中当x=b 7=-都不是0C,则原曲线的渐近线有两条.10. (1995年)设《力在(―8, +oo)内可导，且对任意兀” 4 当X1>X2时，都有f(Xi)>f(X2)，贝IJ【】A. 对任意 ％, f(x)>0-B. 对任意％, f(-x)<0・C. 函数f(-Z)单调增加.D. 两数一f(—力单调增加.正确答案：D解析：由于对任意的/2，当Xi>X2时一Xi<—/2»则有f(—治)<(—0),即一f(—Xi)> —f >/2 时，一f(一治)〉一“一力)，故一f(-X)单调增.11. (1995 年)设函数 f")在[0, 1]上 C(x)>0,则 f⑴、f(0)、f(l)—f(O)或 f(O)—t(l)的大小顺序是 []A. f(l)>f(O)>f(l)-f(O)B. f(l)>f(l)-f(O)>f(O)C. f(l)-f(O)>f(l)>f(O)D. f(l)>f(O)-f(l)>f(O)正确答案：B解析：由于f"(z)>oze[o, 1|则 f'(x)单调增，又f(i)-f(o)=r(c)cg(o, 1)从而 r(i)>r(c)>r(o)即 r(i)>f(i)-f(o)>r(o)12. (1995年)设敷)可导,F(x)=Kx)(l+ I sinX I ).若F(x)在兀=0处可导,则必有 【1A. f(0)=0B. f(0) = 0C. f(O)+f(O)=OD. f(O)-f(O)=O正确答案：A解析：由于F(x)=f(X)+f(X)I sinx I，而f(x)可导,则F(x)在x=0可导等价于f(z) I sinZ I在0f(x) I sinx I 则要使F(力在 尸0可导，当且仅当f(0)=-(0),即f(0)=0.,其中f可导,k f(0#0,则填空题13・(1992年)设正确答案：3.解析:14.(1992 年)函数 y=;(+2cos;(在区间［0,£大值为□正确答案： 解析：捫=1一2"叹,y 辩=—2cos/, IVO,值，最大值为 令yr=o得尸©则 y=z+2cos/ 在 z=得极大值，又在(0,上极值点呛正确答案:0•解析:16.（1993年）函数y=y（力由方程sin（才+于）+©匚0所确迄则S正确答案： ——解析:等式sin（才+y2）+e'—xy2=0两边对〔求导得117. （1994年）设函数y=y（x）由参数方程冋所确定，则 =□正确答案：—（6t+5）（t+l）・解析:18.习（1995 年）设 y=cos（才）sin，一 ,则y'=S正确答案：—2xsin（x2）sin2l •解析:□19・（1995年）|11|线 在t=2处的切线方程为 正确答案：3/—y—7=0・解析： 当 t=2 时 z=5, y=8.则所求切线方程另y-8=3(Z-5),即3Z-y-7=0.20. (1995年)曲线丫=#回的渐近线方程为0正确答案：y=0.解析：由于一=0,原曲线仅有一条水平渐近线y=0.21.(1996 年)设丫=S正确答案：_解析:22. (1997 年)设丫=正确答案:I因 I解析 :由对数的性质可知y=解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

23. （1989年）确定两数丫=凹向，拐点及渐近线.正确答案： 令y'=o得z=—2；令y" =0得兀=一3.则该函数在（一2, 0）上单调增，在（一co, —2）和（0, +oo）上单调减，在X=-2取极小值一1_1,其图形在凹的，在（一8, — 3）上是凸的，拐点为（一3,CC又 则该曲线有水平渐近线y=u和垂直渐近线x=0.24・（1990年）求由方程2y—%=（%—y）ln（%—y）所确定的函数y=y（x）的微分dy.正确答案：等式2y—/=(力一y)ln(&—y)两边微分得2dy—d/=(d/— dy )ln(/- v)+(x_ y).l (dx— dy) = (d/—dy)| 1 + ln(/- y)]贝！J dy=l 25. （1990年）求仙线y= 仅>0）的拐点・正确答案:令y” =0,得，且y"在｝（=为拐点•—两侧变号，则26. （1990年）在椭I员1 = 1的第-•彖限部分上求一点P,使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图0, b>0）.正确答案®"郴求点，则此点处椭圆的切线方程启令x=o,得该切线在y轴上的截距为L」，0令y=0,得该切线在/轴上截距为 因为S|的极大点即S的极小点，为计算方便，求S的极小值点改为求S|的极大值点0H <0, (X>0)所以 f(x)在((h +x)J27・（1990年）证明：当x>0,有不等式arcta叹+ ——正确答案：令f(x)=arctanZ+l (兀>0),则『仪)=[si=0,所以，当x>0^, f(x)=arctanx+1 >0.1 .即 arctan/4-l □28. (1991 年)设一s正确答案：一□29. (1991 年)求一S正确答案：一S30. （1991年）利用导数证明：当％＞1时，冇不等式一S正确答案：要证 ，只需证明(1 + x)ln(l+x)>ZlnX 为此令 f(Z)=(x+ l)ln(l+x)—/Inr(Z)=ln(l+x)-lnx>0(X>1)Xf(l)=21n2>0则当 X>1 时 f(x)>o> 即(l+x)ln(l+x)>xlnx.。