经济时间序列分析 原理篇 第八章 随机时间序列的建模i)-版本2014.10.30.pdf

第八章第八章 随机时间序列的建模（随机时间序列的建模（I）） 8-1 时间序列模型的似然函数时间序列模型的似然函数 假设时间序列模型已表示成如下的状态方程组 1nnnnn xF xG v nnnn ywH x 观测变量的样本为 Nn yyyy,,,,, 21  状态方程组中有待估计的参数向量为记样本的联合概率密度函数为  12 ,,| NN fy yy 因为    12 11 1121 ,,,| |,,|,2 ,,,| nn nnn nn fy yy hyyynN fy yy          所以  12112111 ,,,|,,,||,,|, 2 nnnnnnn ,fy yyfy yyhyyynN    | 于是     12 11111 212111211 11221111211 ,,| ,,||,,| ,,||,,||,,| ||||,,|,, NN NNNNN NNNNNNNN NNNNN fy yy fyyhyyy fyyhyyyhyyy fyhyyhyyyhyy                 记 1111 ||hyfy，则  11 1 ,||,,| N NNnnn n fyyhyyy 1     这里 11 |,| nnn hyyy   12 ,,, N 是在已知的条件下的条件分布。

上式表 明，虽然 121 ,,, n yyy n y yyy  1 1 |,, N nn n hyy 不是相互独立的，但他们的条件分布是独立的，所以我们 可以把 1|n y  n y     1 |, nn hyy 看做似然函数这样，我们要做的就是确定条件概 率密度函数 1| 的具体形式当，都是正态分布时，的条 n v n w n y 1 件分布也是正态的，所以只要确定了对应的条件均值和条件方差，这个条件分布 也就确定了我们有     |111 11|1 |,,| |,,| n nnn nnn nnnnnn n yE yyy Ew EyyE w          H x HxH x   注意到是 1 维的，和是独立的，我们有 nn H x nn H x n w       |11111 1111 111 2 |1 |,,||,,| |,,||,,| |,,||,| n nnnnnnn nnnnn T nnnnnn T nn nn dD yyyDwyy DyyD wyy CovyyD wyy             H x H x HxH H ΣH     于是        2 |1 11 |1 |1 1 |,,|exp 2 2 nn n nnn n n n n yy hyyy d d                       2 |1 11|1 |1 11 log|,,|loglog 222 nn n nnnn n n n yy hyyyd d                 从而得似然函数如下         11 1 2 |1 |1 11 |1 log|,,| 11 loglog 222 N nnn n NN nn n n n nn n n lhyyy yy Nd d                        利用卡尔曼滤波可以算出  |1n n   x和  |1n n   Σ1nN，从而得到  |1n n y  和   |1n n d  。

这样，似然函数也就计算出来了 8-2 模型的参数估计模型的参数估计 第五章我们已经给出了各模型的状态方程表示法， 这里主要确定模型中要估 计的参数是什么 对随机趋势模型 n k i inin vtct   1 （趋势模型） nnn wty （观测模型） 2 其中是白噪声， 分别服从正态分布 nn wv , 2 1 , 0N和 2 , 0N， 我们要估计的是 和 2  2 1  对标准季节调整模型 nnnn wsty （观测模型）  1 1 nn k vtL （趋势模型）  2 1 1 nn l p vsLL   （季节调整模型） 其中是白噪声，分别服从正态分布 nnn wvv,, 21  2 1 , 0N， 2 2 , 0N和 2 , 0N，我 们要估计的是，和 2  2 1  2 2  对具有自回归分量的季节调整模型 nnnnn wpsty （观测模型）  1 1 nn k vtL （趋势模型）  2 1 1 nn l p vsLL   （季节调整模型） 3 1 3 n m i inin vpap   （自回归分量模型） 其中是白噪声，分别服从正态分布 ,321 ,,, nnnn wvvv 2 1 , 0N， 2 2 , 0N， 2 3 , 0N和  2 ,0N，我们要估计的是，，，，和。

3 ,,, 21m aaa 2  2 1  2 2  2 3  参数估计的目标就是调整这些参数，使 l取最大值，这样我们就得到了参 数的最大似然估计在计算 l   |1 时，我们要利用模型的状态变量表示法，并应用 卡尔曼滤波算法以计算 n n y  和  |1n n d  。