考研数学复习教程答案详解(高数部分_王莉).pdf

第一篇高等数学第一章函数、极限与连续强化训练(一)一、 选择题解 对于选项(A),对任何定义在内的函数若令久- * ) / ( * ) = 十 了3 +八Y ) , 易证g(*)为膏函数, M * ) 为偶函数， 且f G ) = 式工) +h(z ),可搀除(A)-对于选项(B ),若武U )为奇函数( * ) 为售函数， 则f b ( T ) = f 虱G , 即 / &O )为偶函数; 又若f (u) 为偎函数名(X )为奇函数， 则f： 式 T )= y -虱x)= /Ig(x),即， 式* ) 亦为偶函数， 故可排除(B .对于选项( Q ,若取.f (G= ta nx,则八工) 为周期函数， 但火H ) 是无界函数， 应选(C 12 .提示：参 照 “ 例 1.1.5” 求解3 .器 若取X . = 1 一 , ， 匕= 1 + 4 冬 = 1 + 3 , 则有A ， 且= 0 , (S limy 1,因此可挣除选项(A)和(C ).4 .解 因 选 项 (D)中的话不能保证任意小，故选(D)5 .分析将以上无穷小量的等价无穷小量a ? 求出来， 比较b的苴即可找到最低阶的无穷小量.2斛 对于选项(A),因1-C 8 * -a rcta n X -X ,从而s (1 -cos x)a rcta n x -1 .对于选项(B ), 匚 二7-1-= 产-十.对于选项( Q， 因In-= ln| 1+产- J =4 1+产 | -产-2x. 1-x I 1-x I I 1-xl 1-X从而 (e -1) In卢i - 2.1 -X对于选项(D ),由走勒公式可知x-s inx= x-| +o(xJ) | =卞 + (/)- 9粽上可知， 当L 0 时, 最低阶的无穷小量为U7 - 1 , 应选(B ).6-|分 析 ln(l+G可用泰勒公式展开， 而 grcs m x 可用等价无穷小量普搂， 由高阶无穷小量的定义， 即可求出 参数a和 A舞 当 x 10 时 ， x&rcs in x - x*.由奈勒公式得ln(l*x)-(a x*- -f a K)= + 。

( 工 2) 一 ( ax +bx)2= (l-5)x-1Al2 / 2、X +o(x ).虫超设条件可知1-b = 0 ,-7 +a = o,即 6= 1 ,a = - 0 时, /(x)= l i m : =h m :=,-1+x e - e % xx, 0 ,/(x )= ，X= 0 , y xo.X因 为 H n yG k m - = *， 所以工= 0 是/ 的无穷间断点， 应选(D).I T -0* X9.解 其公有间断点幺= 0户 = 皿 n = 1,2,.因为 l i i 5K 幻 =bm尸 1 = l i ni -1 =,7 4 7sm i r e i r irr -ia m TTX I T T COS 7TX T V - - ism TTX 一l-U C06 Ttx ItI 7In p = 8K s m irx故/ ( 公有可去间断点幺= 0 和又= 1,有无穷间断点* = 土n =2,3 ,. 应选(D). 10.解 由 阿 3=.父 念 =/(1 )= 2,可知 JW( J+or +b)= 0.又由洛必达法则得lin a/7 x)= bu/ +： +“ = & ( 醛 +a) = 4+a = 2, 因此a = 2.再由l i m(f +ax+b)= l +a+b= 0 ,得 6=1， 故 a = -2 ,b = l . 应选(A ).二、 填空题11.提小:由 cosx = l-2sin? 2可得12.故由等价无穷小量的定义， 得 # = 3 一 4解法2由奈勒公式1 +tan x -工 / S、 - ，八tan Jt=x+ % +o(x ) , a n x - x - + o(x ) ,由聂设可知, = 十 ， & = 3.13.提示:由未定式结果可得。

14 .提示:15 .提不:16 .分子有理化，再同除以薪即可分子、分母利用等价无穷小代换处理即可解回 8tI tan x x I -o xtsn x x.-tan* J:=hm ； =bm -3x i 3x应填-上17 .提示：先指数对数化，再利用洛必达法则18 .令工二十， 则胆(3K U -A + l)二子| 子 + 标 -1 + 1 | =% 勺3= 3更子= = 引 t时-故 a - 9,6 = 3 .19.解 因. . j . i . . v2 2 cosx . . lim f (x - h m - = h mx-o_ XT(T x ITlim f (x) = lim aex = a .s o- v 7 X - 0-= 1而 /(O )= a, 故由/(x)在 x = ()处连续可知，=- E20 .提示：先 求 极 限 (亡 型 )得 到 /(x)的表达式，再求函数的连续区间三、 解答题21.(1)因由洛必达法则， 得( x ) = ( e 4 ) = e * * ( l n H + i m + D ,i - l-x*( In x-t-l) mn = bm - .I 1-X +m X r-l - 1X-x*(lnx+l)2-x， E m- =2.r - I提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式处理s in，, s in2 。

X X2C 8( -l) 4Im- s* -二 一 I 工 工 宣- , s a n 二*2 2由洛必达法则得注本凄也可利用等价无穷小量替换先处理一下分子， 再用洛必达法剜. 请读者思考.(4)N 十 J 十 /I ln(l+g)| = 曾| 十-1 a L. . a x In (14a x )a - 7a-j . a a2= % 2 x ( l + a x ) = R z limlnf 14-a r)提示：先指数对数化，再用洛必达法则6)提 示 :请 参 照 “ 例 1.2.14 (3)”求解22.分析 这个极限涉及变做积分， 由于被积蚕数中含X,要先格其分盅; 分母皿用等价无穷小量药换.解 因sin f dt=jt I sin t*dr- | fsin f dr,由等价无穷小量替换和洛必达法则， 可得口 ”-） （1 -tsin t dr2x J /in t dr - | t n，dr b n j- * V2I sin f d: 2 . . Jo sanx 1. = Imr , ; ,二 .*7 2x z 6x 623.解由题设极限等式条件得3 n (c o s x + ) )lime * = e,x 0r 1 i / /(X )lim ln(cos x + -) = 1,X TO X X即. . 1 / /(X )、 1 1 . / ( X ) . .lini - ln(cos x -) lini ln(l + cos x 1 - - ) 1 X TO X X xfO X X利用等价无穷小代换，得故 1 / i /(%)、 i 日n r /lim (cos x 1 + - ) = 1, 即 lim ( A 0 X X TOr /(x) 3h m2L-V - = - o-D x 2cos .v-1 /(x)x+ ) = 1，X%324.提示：先指数对数化，再由导数定义可得。

25.分析 利用单谑有界准则近明极度存在. 单调性可用数学归纳法证明， 而有界性易证. 证 显然有11 0 ,1+XJ1 1+Xk i +父 * 1+Xt所以看“a x，由数学归纳法知日. ： 单词增加又 =1+产 -=2- -1- ( ) , 所以 a26.分析解十 ： ( l)(i+2) .(n.?t)广= | | I . 1| 1+ 1 + 十 J， 取对数后即可化为八项和.Hm十 (n+ 1)( 八 +2)(n+n) J *| / 1 H卜 卜27.|分析利用求导定阶法求灭公的等价无穷小量， 利用等价无穷小量替换求我工) 的等价无穷小量 第 因 Z时有故 /(X)- 八 3xck= x .又 爪幺 = L o / _ i - J ,由f 3和 g 是 等 价 的 辆 小 量 ， 可 得 = - 多 斤 2.28.提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式求解30. 解 人切的间断点为夕=0,工= 1,父= -1.因为Hm /v 幻 = limaraan=1山 J ardan d1 i 彳 X -1Xlim f(x) = lim Aar(ian .* = lim arctan 产 = 十 , , 一， i - V / - I i / - I 2所以X = 0 是五口的无穷间断点( 第二类间断点) ,x = x l为火口的跳跃间断点( 第一类间断点) .31.分析 利用等价无穷小量替换和洛必达法则求出八外在X = 0 处的左极限和右极限即可. 解利用等价无穷小量替换、 洛必达法则及变量代操可得. . * ln( 1 + Y) t. ax a( aicsinhmf(x) = h m- = hm . . 1 = lim-* *-o- ,-o-x-arcsin x o-JK-arcsm x r- x-arcsin x二 二 ，二 hm d 二 % 乙= hmc-fi-sin t-t c-Q-COS t-1 c-O- 1 2 -卞 3 2e 十 父 一一 上 xsin .4aE*11 . 2x -G上2.e +x*-gx-1 = lim ：2L 4 hmfl fi*f* = 2 (a 2 ). -0* 工2为使/ ( h ) 在 *=0 处连续， 则有lW(x)= bm/(x)=/(0) ,63 r-0- - o,式l)= f (l)-/jr)dt= L y (l)V (t)dt * ) =时 Kmr = 0 ,从而有五0 )= 0 ,即选项(B )为正确合凄.对于选项(C )， 因为f (x)在* = 0处连续， 所以f (0 )= 0. 且“ 0 )=靖空=蜡乎即选项(C )也为正确命题.由排除法知选项(D )为错误命题. 事实上， 若取函数月工) =1x1 . 则呵3 3 = 呵 + = o,但尸(0 不存 在. 应选(D ).2.分析本题考查导致、 微分和无穷小量的阶等概念.斛 因为处上 .K * = /(4)= 0 ,所以当以一0时dy为比A x高阶的无穷小容应选(B ).分析将所求极限转化为火外在工= 0处的导数.解 因为八工 在x= o处可导， 且0 )= 0 ,所以C L an 2h e . . 山 2 h ) -f ：。

) = ，妈 或= 2 sr 2 hain 2h=Axv r M F -岛 】l n f l -A2 - ：用; : =眄； _；) VI I n( l -A )(岬M f s i n 2卜 ;:日I nf 1 -h 1 )坛 1 -小 i = L , 小 、故= 2 y ( 0) - r( 0) = 3 / 0) .应选(D ).4 .分 析 由 各 逸 项 知 ， 只 需 研 究 在 0处的左、 右导数.解 左 导 数厂(0 )= l in /G = lim-1,右导数1+eT = 0 , 1 + 1因此近外在*= 0处左、 右导数均存在， 但不相等. 应选(C ).5.解设曲线在x = x0处叮X轴相切，则 )， (%) = 0 ,、 (.%) = (),即， 3 八x( ) + ax( ) + / ? = 0 , V3x： + a = 0 ,由第二个方程得/= Jg ,代入第一个方程可知选(A).6 .分 析 因 为 当x*o时, 系工) = 呼处处可导， 且导函数连续， 故只需考虑g O )在工= 0处的连续性、 可导性 及尸( 外在x = 0处的连续性即可.舞 因 b 8g(x)= iigf i= HiSf (j)= y,(0 )= (0 ),故g(*)在*= o处连续, 从而可排除选项(A).因r - 02x故8a )在x= o处可导， 从而可排除选项(B ).当x * o时， & ( * ) = 互处处连读， 又。