2016年重庆一中高三下学期3月月考数学（文）试题（解析版）.doc

2016届重庆一中高三下学期3月月考数学（文）试题一、选择题1．已知集合则（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】试题分析：由，解得，所以．由，解得，所以，所以，故选C．【考点】1、不等式的解法；2、集合的交集运算．2．若纯虚数满足，则实数（ ）A．0 B．-1或1 C．-1 D．1【答案】D【解析】试题分析：由条件，得．因为为纯虚数，所以且，解得，故选D．【考点】复数的概率及运算．【一题多解】设，则由题意，得，即，由复数相等的条件有，所以，故选D．3．已知变量的取值如下表所示：456867如果与线性相关，且线性回归方程为，则的值为（ ）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：由表格，得，，代入线性回归方程，得，解得，故选A．【考点】线性回归方程．4．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】试题分析：因为直线与垂直，所以，所以，所以＝，故选C．【考点】1、两条直线垂直的充要条件；2、同角三角函数间的基本关系；3、二倍角．5．已知，且，函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】试题分析：因为，函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，所以，所以．因为，且，所以，所以，故选B．【考点】1、正弦函数的图象与性质；2、同角三角函数间的基本关系；3、诱导公式．6．已知是等差数列的前项和，若，则（ ）A． B．5 C．9 D．【答案】C【解析】试题分析：，故选C．【考点】1、等差数列的性质；2、等差数列的前项和．7．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若到抛物线的准线的距离为4，则弦长的值为（ ）A．8 B． C． D．6【答案】B【解析】试题分析：设，由抛物线的定义，得，即，所以．又，所以，所以，故选B．【考点】抛物线的定义及性质．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A． B．6 C． D．【答案】D【解析】试题分析：由三视图知，该几何体为一个边长为1的正方体截去一个三棱锥后剩余的部分，如图所示，所以该几何体的表面积为＝，故选D．【考点】1、空间几何体的三视图；2、三棱锥的表面积．【方法点睛】以三视图为载体求几何体的表面积时，需要对三视图进行适当分析，还原出空间几何体，可以根据三视图的形状与图中所给数据，以及“主视图反映几何体的长和高，左视图反映几何体的高和宽，俯视图反映几何体的长和宽”，确定原几何体中点、线、面的位置关系及主要线段的长度，进而利用相应的几何体表面积公式进行计算．9．我国古代数学名著《九章算术》中的更相减损法的思路与上图相似．执行该程序框图，若输入的分别为14，18，则输出的（ ）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【解析】试题分析：第一次循环，得；第二次循环，得；第三次循环，得；第四次循环，得；第五次循环，得，此时，不满足循环条件，退出循环，输出，故选A．【考点】程序框图．10．如图，为了测量两点间的距离，选取同一平面上两点，测出四边形各边的长度（单位：）：，且与互补，则的长为（ ）． A．7 B．8 C．9 D．6【答案】A【解析】试题分析：在中，由余弦定理，得，即－＝．在中，由余弦定理，得，即．因为与互补，所以，所以，解得，故选A．【考点】余弦定理．11．如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两 支分别交于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A．4 B． C． D．【答案】B【解析】试题分析：由双曲线的定义，知，．又＝＝．又为等边三角形，所以＝，即＝，所以，所以，所以．在中，由余弦定理，得－＝，即，所以，所以，故选B．【考点】1、双曲线的定义及几何性质；2、余弦定理．【方法点睛】离心率的求解中可以不求出的具体值，而是得出与的关系，从而求得，一般步骤如下：①根据已知条件得到齐次方程；②化简得到关于的一元二次方程；③求解的值；④根据双曲线离心率的取值范围进行取舍． 12．已知的三个顶点的坐标分别为，为坐标原点，动点满足，则的最小值是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：由条件，知点在以点为圆心，半径为1的圆上，则设，所以＝，所以＝＝，当时等号成立，其中，故选A．【考点】1、向量的坐标运算；2、辅助角；3、三角函数的性质．二、填空题13．已知函数在点处的切线的斜率是，则________．【答案】【解析】试题分析：由题意，得，则由导数的几何意义，知，解得．【考点】导数的几何意义．【警示点睛】(1) “过点A的曲线的切线方程”与“在点处的曲线的切线方程”是不相同的，后者必为切点，前者未必是切点；(2)曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的切线往往不止一条，切线与曲线的公共点不一定只有一个．14．满足条件，则的最小值是_________．【答案】－3【解析】试题分析：作出满足不等式组的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数经过点时取得最小值，所以．【考点】简单的线性规划问题．15．已知函数，则________．【答案】2【解析】试题分析：设，则，所以＋＝＝．【考点】对数的运算．16．已知在三棱锥中，平面，，且在中，，则三棱锥的外接球的体积为________．【答案】【解析】试题分析：设平面截球所得截面圆半径为，则，所以．由且平面知球心到平面的距离为1，所以球的半径为，所以．【考点】1、三棱锥的外接球；2、球的体积．【方法点睛】对于球的体积、球中截面圆的面积问题，常常通过构造直线三角形，运用勾股定理得到球的半径与截面圆半径之间的关系，从而求得球的半径和截面圆的半径，进而求球的体积、球中截面圆的面积等．三、解答题17．各项均为正数的数列中，是数列的前项和，对任意，有．（1）求数列的通项公式；（2）若数列是首项和公比为2的等比数列，求数列的前项和．【答案】（1）由与的关系可推出为等差数列，从而求出；（2）由题意得到的表达式，利用错位相减法求解．【解析】写成方程组形式来实现与的相互转化是解决数列问题比较常见的技巧之一，要注意不能用来求解首项，首项需要通过来求解；运用错位相减法求数列的前项和适用的情况：数列通项由两项的乘积组成，其中一项是等差数列、另一项是公比为为1的等比数列．18．某高校从2015年招收的大一新生中，随机抽取60名学生，将他们的2015年高考数学成绩（满分150分，成绩均不低于90分的整数）分成六段，后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中实数的值；（2）若该校2015年招收的大一新生共有960人，试估计该校招收的大一新生2015年高考数学成绩不低于120分的人数；（3）若用分层抽样的方法从数学成绩在与两个分数段内的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人在分数段内的概率．【答案】（1）0.03；（2）624；（3）．【解析】试题分析：（1）根据所有的基本事件的概率之和等于1，可得的值；（2）由图得到分数不低于120分的频率，从而得到不低于120分的人数；（3）分别求出用分层抽样的方法抽取与两个分数段内的学生，从而用列举方法求解．试题解析：（1），∴（2）（人）（3）由题意，知分数段的人数为人，分数段的人数为人，所以在与两个分数段内的学生中抽取一个容量为6的样本中，从分数段抽出人，分别记为，分数段抽出人，分别记为，则所有基本事件有：共15种，其中至少有1人在分数段内的有：共9种，所以所求概率为．【考点】1、频率分布直方图；2、分层抽样；3、古典概型．19．如图所示，在四棱锥中，为等边三角形，，平面平面，为的中点．（1）证明：；（2）若，求点到平面的距离．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）取中点，由已知条件中面面垂直的性质可推出平面，从而得到，再由条件中平行关系得，然后结合等边三角形的性质可推出面，使问题得证；（2）取的中点，由已知条件中面面垂直的性质可推出平面，从而由求出距离．试题解析：（1）证：取中点， 因平面平面，，故平面，故；而，故；因为为等边三角形，故，故面，故．（2）解：取的中点，则由平面平面知平面又，所以，由（1）知平面，所以，又所以，设点到平面的距离为，由得．【考点】1、空间垂直关系的判定与性质；2、三棱锥的体积；3、等积法．【技巧点睛】利用三棱锥的“等积性”，可以把任何一个面作为三棱锥的底面．①求体积时，可选择“容易计算”的方式来计算；②利用“等积性”可求点到面的距离，关键是在面中选取三个点，与已知点构成三棱锥．20．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4．（1）求椭圆的方程；（2）过点且不与坐标轴垂直的直线交此椭圆于两点，若线段的垂直平分线与轴交于点，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）根据已知条件建立关于的方程组求解即可；（2）由题意知直线的斜率存在且不等于0，设直线的方程为，联立椭圆方程，由韦达定理得出的中点坐标，从而得到线段的垂直平分线的方程，令求解即可．试题解析：（1）设椭圆方程为．由已知得，∴所求椭圆方程为：．（2）由题意知直线的斜率存在且不等于0，设直线的方程为，由消去得关于的方程；，∵在椭圆内部，∴直线与椭圆恒有两交点，设线段的中点为．又由韦达定理得，∴，，所以线段的垂直平分线是：，令，∴，∴．【考点】1、椭圆的方程；2、直线与椭圆的位置关系；3、直线的方程．21．已知函数． （1）时，求函数的单调递减区间；（2）当时，设函数．若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围．【答案】（1）当时，单调递减区间为；当时，单调递减区间为；当时，单调递减区间为；（2）．【解析】试题分析：（1）求出的定义域与导函数，分、、求函数的单调递减区间；（2）将问题转化为方程根的问题，令，通过求导研究的单调性求得实数的取值范围．试题解析：（1）的定义域为，．①当时，恒有，∴的单调递减区间为②时，．由，得或．∴当，时，单调递减．∴的单调递减区间为．③当时，，由，得或∴当，时，单调递减，∴的单调递减区间为，综上，当时，的单调递减区间为；当时，的单调递减区间为；当时，的单调递减区间为．（2）在上有零点，即关于的方程在上有两个不相等的实数根．令函数． 则，令函数．则在上有．故在上单调递增．∵∴当时，有即，∴单调递减。