0803-第三节均匀设计表的构造和运用.doc

第三节均匀设计表的构造和运用本节介绍均匀设计表的构造和使用表的来源，其中均匀性度量 —偏差将起关键作用，我们将介绍偏差的定义，并给出正交设计 与均匀设计各自偏差的比较，从中可以了解为什么均匀设计可以比 正交设计节省试验次数，本节还介绍拟水平在均匀设计中的使用和 有关表的构造，熟悉本节内容对于正确理解和使用均匀设计有很大 帮助3.1均匀设计表的构造定义1每一个均匀设计表是一个方阵，设方阵有n行m列， 每一行是｛1, 2，...，n｝的一个置换卿1，2,…，n的重新排列)， 表的第一行是｛1，2，…，n｝的一个子集，但不一定是真子集显然,第一章表4-6列举的U;(64), U7(74)和U;(74)都符合上 述定义符合定义1的均匀设计表数量太多，本节仅介绍用好格子点法 (good lattice point)构造的均匀设计表，其方法如下：1) 给定试验数n，寻找比n小的整数h，且使n和h的最大公 约数为1符合这些条件的正整数组成一个向量11=(11，，…，h、)2) 均匀设计表的第j列下法生成>J= ihj[mod n](3.1)这里［modn］表示同余运算，若jh;超过n，则用它减去n的一个适 当倍数，使差落在［1, n］之中。

1^可以递推来生成uij = hj =(3.2)u(j + hj 若〜+ hf < n Ujj + h} - n 4- h . > n例如，当n=9时，符合条件1)的h有1, 2, 4，5, 7, 8;而 h=3或h=6时不符合条件1),因为最大公约数(3, 9)=3 , (6, 9)=3, 均大于1.所以t/9最多只可能有6列，又如当么=4时,用公式(3.2)来 生成该列时其结果依次如下：134, w23 = 4 + 4 = 8, w33 =8 + 4 = 12 = 3(mod 9)w43 = 3 + 4 = 7, w53 =7 + 4 = 11 = 2(mod9)w63 =2 + 4 = 6, w73 = 6 + 4 = 10= l(mod 9) w83 = 1 + 4 = 5, w93 =5 + 9其结果列于表16的第三列表 16 t/9(96)123456112457822481573363636448721555127846636363775184288754219999999用上述步骤生成的均匀设计表记作tuzn ,向量h称为该表的 生成向量,有时为了强调h的作用，可将记成给定n， 相应的h可以象上例那样方便地求得，从而m也就确定.所以m是 n的一个函数，这个函数曾由大数学家欧拉研宄过，称为欧拉函数， 记为E(n).这个函数告诉我们均匀设计表最多可能有多少列.下面的 结果来自数论：i) 当n为素数时，E(n-l)=ii-l所谓素数就是一个正整数，它与 其所有比它小的正整数的最大公约数均为1.如2, 3, 4, 5, 11, 13,… 均为素数。

ii) 当n为素数幂时，即n可表成n=7?,这里p为素数1, 1 为正整数，这时() = 72(1 )P(3.3)例如n=9可表为n = 32，于是(9) = 9(1--) = 6即％至多可以有6列iii) 若ii不属于上述两种情形，这时n—定可以表为不同素的方幂积，即打=p! pH这里Pl，…，Ps为不同的素数，为正整数，这时(3.4)(3.5)(") = "(1-丄)".(1-丄) P Ps(12) = 12(1-去)(1-去)=4即(/|2最多只可能有4列上述三种情形中，以素数情形为最好，我们最多可以获得n-1 列，而非素数情形，在上述表的结构中永远不可能有n4列，例 如 11=6=2.31 ,此时 (6) = 6(1-^)(1-j) = 2 ,这说明，当 n=6 时，用上述办法生成的均匀设计表只有2列，即最多只能安排两个因素， 这是太少了，为此，王元，方开泰(1981)建议，可将表的最 后一行去掉来构造，为了区别于由(3.2)生成的均匀设计表，我 们记它为＜(66)，在U的右上角加一个“*”号，表列于表 17,对照表16我们看到U表和(T表之间的关系和各自特点：i) 所有的表是由表中划去最后一行而获得；ii) K表的最后一行全部由水平n组成，＜表的最后一行则不 然。

若每个因素的水平都是由低到高排列，,表中最后一号表 17 ":(66)No.123456112345622461353362514441526355316426654321试验将是所有最高水平相组合，在有些试验中，例如在化工试 验中，所有最高水平组合在一起可能使反应过分剧烈，甚至爆炸 反之，若每个因素的水平都是由高到低排列，则％表中最后一号试 验将是所有低水平的组合，有时也会出现反常现象，甚至化学反应 不能进行＜表则没有类似现象，比较容易安排试验iii) 若n为偶数，u:表比％表有更多的列如上面讨论过的t/6 表只有2列，而＜表可以有6列iv) 若n为奇数，则K表列数通常少于％表v) (/:表比t/,,表有更好的均匀性，应优先采用u:表，其细节将 在下节讨论Vi)若将或C/,,的元素组成一个矩阵的秩最多分别为^1及(" + 1) + 123.2均匀性准则和使用表的产生在1.6节曾指出均匀设计在使用时由于选择的列不同，试验的 效果也大不相同，于是建议读者按使用表的推荐去选列，那么使用 表又是如何产生的呢？设我们要从均匀设计表中选出s列， 则可能的选择有O种可能，我们要从中选择一个最好的，这里必须 对“好”和“坏”有明确的含义，表是由它的生成向量=所唯一确定的，选择s列，本质上就是从h中选择s个//,，…，/7,„，由 这s个数生成的均匀设计表为％这是一个nXs矩阵。

它 的每一行是s维空间r中的一个点，故n行对应/?、中的n个点，若 这n个点在试验范围内均匀，则试验效果好，否则试验效果不好 因此，比较两个均匀设计表匕(么，…人)和…人)的好坏等价于 比较由它们所对应的两组点集的均匀性于是我们必须给出均匀性 度量度量均匀性准则很多，其中偏差(discrepancy)是使用历史最 久，为公众所广泛接受的准则，我们先给出它的定义设u，)是一个均匀设计表,若把它的每一行看成m维空间的 一个点，则fUn”给出了 n个试验点，这些点的坐标由｛1，2，…， n｝组成，用线性变换将｛1，…，叫均匀地变到(0, 1)之间如下：2/-12n，i= 1，2,…，n(3.6)若用qki表示中的元素，则上面的变换等价于令2nxk =(xkl，…，xkm)，k = l，…，n于是n个试验点变换成［0,ir = cw中的n个点：^，…，么.考虑原n个试 验点的均匀性，等价于考核在c、的均匀性定义2设为cw中的n个点，任一向量％ = (&，…，，记 v(x) = x, • • • 为矩形［0, x］的体积，为中落入［0, x］的点数， 则 称为点集｛A，…，%, j在cw中的偏差(discrepancy)。

D(x,,n)= SUpxeCm(3.7)为什么偏差可以用于度量点集散布的均匀性呢？若n个点~...，\在(^中散布均匀，则表示有多少比例的点落在矩形［0, X］中，它应当和该矩形的体积V(X)相差不会太远如果用统计学的语言来解释偏差，令(3.8)表示的｛W,,｝经验分布函数，式中1｛.｝为示性函数，令F(x)为c…上 均匀分布的分布函数，于是(3.7)定义的偏差可表为D(x1,---,xn) = sup|Fn (x)-F(x)| (3-9)X€Rm偏差实际上就是在分布拟合检验中的Kolmogorov-Smirnov统计量， 它给出了经验和理论分布之间的偏差在C”中任给n个点如何计算它们的偏差对均匀设计表 的构造十分重要长期以来，一直没有人编出一个实用的算法当 方开泰在1978年提出均匀设计时，只好把偏差展开成级数，取其首 项，给出近似偏差的准则此方法方便计算，但有时有大的偏差， 而且只适用于格子点法构造的均匀设计，不能计算正交设计等其它 方法所产生试验点的偏差,最近Bundschuh和Zhu(朱尧辰)［17］给出 了计算偏差的算法，当因素数不太多时，他们的算法可以精确地求 出任何点集的偏差，他们已用MATLAB编出有关的程序，本讲议 中的计算，都是用该程序获得的。

设我们要从均匀设计表中选出s列，使其相应的均匀设计 有最小的偏差.当m和s较大时，由m列中取出s列的数目有O之 多，要比较这么多组点集的均匀性工作量很大.于是需要有简化计算 和近似求解的方法.详细讨论可参看方开泰［2］,方开泰、郑胡灵［12］ 等.这里仅仅介绍利用整数的同余幂来产生\，...，〃，的办法令a为小于n的整数，且a，a2(modn)，…，a^mod n)互不相同，at+1=l(mod n),则称a对n的次数为t，例如21 = 2,22 = 4,23 = 3,24 = 1 (mod 5)则2对5的次数为3.又如31 = 3,32 = 9,33 = 5,34 二 4,35 = 1 (mod 9)表示3对9的次数为4.一般若a对n的次数大于或等于s-1,且(a, n)=l,则可用(“0，“，…，，1) (mod n) (3.10)作为生成向量，故a称为均匀设计的生成元.然后在一切可能的a(最 多n-1个)中去比较相应试验点的均匀性，工作量则大大减少.理论和实践证明，这种方法获得的均匀设计使用表仍能保证设计的均匀性.便可获得生成向量，从于是，给定n和s ,只要求得最优的a， 而获得相应的均匀设计表。

表18对奇数n(5