《工科应用数学》教学课件—第6讲-积商和链式规则.ppt

积商和链式规则积商和链式规则 The Product,Quotient and Chain Rules乘法求导法则乘法求导法则除法求导法则除法求导法则会求多个函数乘积的导数会求多个函数乘积的导数会求两个函数商的导数会求两个函数商的导数内容提要内容提要教学要求教学要求复合求导法则复合求导法则会求一次复合函数的导数会求一次复合函数的导数Engineering Applied Mathematics一、乘法求导法则一、乘法求导法则根据导数基本公式，得根据导数基本公式，得？问题：问题：定理定理 3-3.2 若若 f(x)和和 g(x)在点在点 x 可导，可导，则则证明证明 推论推论 若若 u、v、w 在点在点 x 可导，可导，则则（请总结上面结果的规律）（请总结上面结果的规律）例例 1 求下列函数的求下列函数的导导数：数：例例 2 求求 在在 x=0 处处的的导导数数.课课堂堂练习练习 3-3.2 1、求下列函数的、求下列函数的导导数：数：2、求下列函数在、求下列函数在给给定点的定点的导导数：数：二、除法求导法则二、除法求导法则根据导数基本公式，得根据导数基本公式，得？问题：问题：案案例例 3-3.4 一一个个开开发发商商正正在在计计划划建建造造一一个个包包括括住住宅宅、办办公公大大楼楼、商商店店、学学校校的的新新城城区区，预预计计从从现现在开始在开始 t 年后城市的人口年后城市的人口(单位：万单位：万)如何确定如何确定 5 年后新城区人口的增长速度呢？年后新城区人口的增长速度呢？分析分析问题转化为求问题转化为求 型导数型导数.定理定理 3 若若 g(x)在点在点 x 可导，可导，则则证明证明 推论推论 若若 f(x)和和 g(x)在点在点 x 可导，可导，则则例例 3-3.4 求下列函数的求下列函数的导导数：数：课课堂堂练习练习 3-3.3 求下列函数的求下列函数的导导数：数：例例 3-3.5 求求 在在 x=0 处处的的导导数数.课课堂堂练习练习 3-3.3 求下列函数在求下列函数在给给定点的定点的导导数：数：案案例例 3-3.4 一一个个开开发发商商正正在在计计划划建建造造一一个个包包括括住住宅宅、办办公公大大楼楼、商商店店、学学校校的的新新城城区区，预预计计从从现现在开始在开始 t 年后城市的人口年后城市的人口(单位：万单位：万)如何确定如何确定 5 年后新城区人口的增长速度呢？年后新城区人口的增长速度呢？解解 （万（万/年）年）三、复合求导法则三、复合求导法则由由导导数基本公式知：数基本公式知：问：问：案例案例 3-4.1 据据统计资统计资料料显显示，某地女性的示，某地女性的预预期寿命：期寿命：其其中中 t=0 对对应应 1990 年年初初，问问该该地地 2015 年年年年初初出出生生的的女性的女性的预预期寿命的增期寿命的增长长率是多少？率是多少？案案例例 3-4.2 据据统统计计资资料料显显示示，某某品品牌牌汽汽车车在在 2000 至至2010 间间的的销销售量售量(单单位：万位：万辆辆)由下面函数由下面函数给给出：出：其其中中 t=0 对对应应 2000 年年底底，如如果果按按照照这这样样的的趋趋势势，问问该品牌汽车在该品牌汽车在 2015 年的销量的增长速度是多少？年的销量的增长速度是多少？案例分析案例分析 由导数的社会生活意义知，由导数的社会生活意义知，求增长率求增长率和增长速度都是求导数和增长速度都是求导数。

而而都是都是复合函数复合函数，因此，问题可转化为复合函数的，因此，问题可转化为复合函数的求导的计算求导的计算链式规则链式规则 若若 y=f(u)在点在点 u 可导，可导，u=u(x)在在点点 x 可导，且构成复合可导，且构成复合 y=f(u(x)，则，则注注 y 作为作为 x 的函数对的函数对 x 求导；求导；f 作为作为 u 的函数对的函数对 u 求导求导.例例 3-4.1 求下列函数的求下列函数的导导数：数：y=f(u)，u=u(x)分解求导法分解求导法 将将 y=f(u(x)分解为分解为则由链式规则，有则由链式规则，有例例 3-4.2 求求 在在 x=1 处处的的导导数数.课课堂堂练习练习 3-4.1 1、求下列函数的、求下列函数的导导数：数：2、求下列函数在、求下列函数在给给定点的定点的导导数：数：。