2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷理科).doc

2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页满分150分考试用时120分钟考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回注意事项： 1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号答案写在试卷上无效 3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带不按以上要求作答的答案无效 4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式： 如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷（共50分）一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1） 已知集合A={X|X²-4X+3<0}，B={X|2

11）观察下列各式：C10=40 ……照此规律，当nN时，C02n-1 + C12n-1 + C22n-1 +…+ Cn-12n-1 = .否(12)若“x[0,]，tanxm”是真命题，则实数m的最小值为 （13）执行右边的程序框图，输出的T的值为 .  (14)已知函数 的定义域和值域都是 ，则 （15）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：（a>0,b>0）的渐近线与抛物线C2：X2=2py(p>0)交于O，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为 ＿＿＿三、解答题：本答题共6小题，共75分16）（本小题满分12分）设f（x）=2（x+）.（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A,B,C,的对边分别为a,b,c,若f（）=0,a=1,求△ABC面积的最大值17)(本小题满分12分)如图，在三棱台DEF-ABC中，AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点Ⅰ）求证：BC//平面FGH；（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE, ∠BAC= ,求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小.（18）（本小题满分12分） 设数列的前n项和为.已知2=+3. （I）求的通项公式； （II）若数列满足，求的前n项和.（19）（本小题满分12分） 若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如137,359,567等）. 在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得分；若能被10整除，得1分.（I）写出所有个位数字是5的“三位递增数” ；（II）若甲参加活动，求甲得分的分布列和数学期望.（20）（本小题满分13分）平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别是.以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.(Ⅰ)求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆为椭圆上任意一点，过点的直线 交椭圆 于两点，射线 交椭圆 于点 .( i )求的值；（ii）求△面积的最大值.(21)(本小题满分14分) 设函数，其中。

（Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若>0，成立，求的取值范围2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学试题参考答案一、 选择题（1）C （2）A （3）C （4）D （5）A（6）B （7）C （8）B （9）D (10)C二、填空题（11） （12）1 （13） （14） （15）三、解答题（16）解：（Ⅰ）由题意 由 可得 由 得 所以的单调递增区间是（）单调递减区间是（） （II）由题意A是锐角，所以 由余弦定理： ，且当时成立 面积最大值为（17） （Ⅰ）证法一： 连接，设，连接 在三棱台中， ，为的中点， 可得, 所以 四边形为平行四边形， 则 为的中点， 又 为的中点， 所以, 又平面 平面， 所以平面 证法二： 在三棱台中， 由,为的中点， 可得 , 所以四边形为平行四边形， 可得 , 在中，为的中点，为的中点， 所以, 又,所以平面平面, 因为 平面, 所以 平面。

（II）解法一： 设,则, 在三棱台中， 为的中点， 由, 可得 四边形为平行四边形， 因此, 又 平面， 所以 平面， 在中，由，，是中点， 所以 , 因此 两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以 可得 故， 设是平面的一个法向量，则 由 可得 可得 平面的一个法向量， 因为是平面的一个法向量， 所以 所以平面与平面所成角（锐角）的大小为 解法二： 作与点，作与点，连接 由平面,得, 又 , 所以平面， 因此 , 所以即为所求的角， 在中，, 由, 可得, 从而, 由 平面，平面， 得 ， 因此 , 所以 , 所以 平面与平面所成角（锐角）的大小为18）解：（I）因为， 所以，故 ， 当时，， 此时 ，即， 所以 （II）因为，所以 ， 当时，， 所以； ， 所以 两式相减，得 ， 所以 经检验，也适合， 综上可得 （19）解：（I）个位数是5的“三位递增数”有 125，135，145，235，245，345； （II）由题意知，全部“三位递增数”的个数为， 随机变量是取值为：0，-1,1，因此 ， ， 所以的分布列为 0-11 则 （20）解：（I）由题意知，则， 又， 可得 所以椭圆的方程为 （II）由（I）知椭圆的方程为 （i）设,由题意知， 因为 又， 即 所以 ，即 （ii）设， 将代入椭圆的方程， 可得， 由 ，可得 则有 所以 因为 直线与轴交点的坐标为， 所以 的面积 令 将代入椭圆的方程， 。