三角函数考情分析与复习对策.doc

三角函数考情分析与复习对策摘要:本文主要讲述了对新课标背景下近六年福建省高考中有关三角函数的考情分析下 提岀相应的复习策略，从而达到把握好三角函数的热点问题以及高考命题方向和提高复习的 有效性的目的关键词：三角函数考情分析 复习策略引言：三角函数的特点是公式多而杂，如何在较短的时间内做好三角函数的有效复习对 于高三老师来说是个很大的挑战一、地位与要求三角是高中数学的核心知识之一，同时三角函数是高考考查能力的重要素材，以三角函数为基础编制的考查能力的试题在历年的高考试卷中占有较大比重C二、近六年福建省高考理科数学中三角函数的题型分布选择题填空题解答题总分2009第1题无第19题18分2010第1题第14题第19题23分2011第3题第14题第16题16分2012无第13题第17题17分2013无第13题第20题10分2014无第12题第16题17分从命题趋势上看，三角函数部分分值约占12%左右，其中三角函数题型基本上是一道 选择题（或填空题）和一道解答题，主耍趋势有：（1）顺应新课标的基本精神，降低对三角 变换的考查要求，考查重心逐步向基础知识、基本技能及三角函数的图象与性质转移；（2） 对数形结合思想的考查将进一步强化；（3）三角函数作为解决问题的工具作用将进一步得到 体现，对与三角有关的综合题应引起足够的重视。

从特点上看，高考对三角函数的考查有时单独考查，有时在知识交汇处考查，常常将三 角函数与向量、函数等结合在一起考查从形式上看，考查三角函数的试题有选择题、填空题、解答题，有时三种命题会同时出 现三、考情分析热点一、应用同角变换、诱导公式和两角和与差的三角函数公式化简、求值和 等式证明问题例1（2012年福建省高考理科数学第17题）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数1) sin213 +cos217 -sin 13 cos 17(2) sin215 十cos? 15 -sinl5 cosl5(3) sin218 +cos212 -sin 18 cos 12(4) sin2 (-18 ) +cos248 - sin2 (-18 ) cos48(5) sin2 (-25 ) +cos255 - sin2 (-25 ) cos55I试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数TT根据-(I)的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论3思路分析：(I)可以由(2)式入手，得到sin215 +cos215 -sinl5 cosl5 =-；4(H)经过观察上述5个式子，容易得到要推广的式子为：3sin2 a + cos2 (30 - a) - sin acos(30 - a) = - o 然后再把式子展开，4由左往右证明即可得证。

热点二、与三角函数单调性有关的问题例2. (2014年福建省高考理科数学第16题)己知函数 /(x) = cos x(sin x + cos 兀)一丄./jr- /(1) 若()vgv —,且sinoc — - f 求 f (fic)的值；(2) 求函数/(无)的最小正周期及单调递增区间.思路分析：先通过降幕公式以及辅助角公式把/(X)转化为Asin(a + 0)+ H的形式，此题 便得于解决热点三、与三角函数图象有关的问题例3. (2013年福建省高考理第20题・)已知函数/(x) = sin(69x +(p\(o>0,0<(p< 7T)的周期为；r ,图像的一个对称中心为7T(-,0),将函数/*(%)图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，在4将所得图像向右平移彳个单位长度后得到函数g(Q的图像.2(1)求函数/(兀)与g(兀)的解析式;TT TT(2)是否存在,—)，使得/(兀0)，8(兀0),/(兀)址如)按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定如的个数；若不存在，说明理由.(3) 求实数d与正整数比，使得F(x) =/(x) + ag(x)在(0,/r)内恰有2013个零点.思路分析：先由周期为龙可以求出0) = 2,再通过对称中心为可以求出(p = -,然后将函数/(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y = cosxTT的图象，再将j7 = cosx的图象向右平移牙个单位长度后得到函数g(x) = sinx问题转化为方程2cos 2x = sin x + sin xcos 2x在(兰，兰)内是否有解的问题6 4兀 ji设G(x)二 sin x + sin xcos2x- 2cos2x，xe )6 4则 G\x) = cos x + cos x cos 2x + 2 sin 2x(2 一 sin x)因为XG 所以G\x) > 0 , G(Q在(壬，兰)内单调递增6 4 6 4又G(-) = --<0, G(-) = —>06 4 4 2jr TT且函数G(Q的图象连续不断，故可知函数G(Q在(一,一)内存在唯一零点如,7T 7T 即存在唯一的x0 W (彳，扌)满足题意(ITT)依题意，F(x) = a sin x + cos 2x , F(x) = a sin x + cos 2x = 0当 sinx = 0,即 x = k;r(ke Z)时，cos2x = l,从而 x = k7i 伙 wZ)不是方程 F(x) = 0 的C 9 Y解，所以方程F(x) = 0等价于关于x的方程。

二—一 ,x^kTr(kEZ)然后现研%xe (0,龙)U(码2龙)时方程解的情况C(K 9 r令/?(%)= ——7—— ,x w (0,龙)U (乙2龙)则问题转化为研究直线），=d与曲线y = /z（x）在兀w （Om）U（龙,2龙）的交点情况热点四、与数列等内容结合的问题例4. （2011年福建省高考理16题.）13 己知等比数列血｝的公比q=3,前3项和S3=—I） 求数列｛%｝的通项公式；（II） 若函数/（x） = Asin（2x + ^）（A > 0,0 < ^ < p<兀）在兀=兰处取得最大值，且最大值6为匕，求函数f（X）的解析式1Q思路分析：⑴ 用基本量的方法S^a^a.q + a.q2 =—则可求出⑷；（II）由（I）知道佝，可求出A,再由sin（2—+ ^） = 1可以求出0 6热点五、三角形中的三角函数问题（解三角形及其实际应用）例5 （2009福建高考理18题）如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动 赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数 y=Asin69x（A>0, 6>>0） xG [0,4]的图象，且图象的最高点为 S（3, 2a/3）；赛道的后一部分为折线段MNP,为保证参赛 运动员的安全，限定,MNP二120"（I） 求A, Q的值和M, P两点间的距离；（II） 应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？ 思路分析：（I）最高点为S（3, 2巧河知A=2j5,sin3e =1得= —;6（II）设ZMPN二（0,60）,再利用正弦定理把MN+NP用&表示，最后把问题转化为研究函数y = Asin（@r + ） + H最值问题即可。

四、解题模式1. 对于与三角函数的单调性、对称性以及最值问题，一般先用降幕公式，辅助角公式等把目 标函数转化为函数y = Asin（祇+ 0） + H的形式，再利用整体的思想，借助y = sin%的图 像来研究2. 对于y = Asin（血+ 0）+ H （ A R 0）求解析式，先突破A和H的值,最大值■最小值曰」』2 再由周期来求G,最后再代入一个特殊点带入式子求0最大值+最小值23. 对于解三角形等问题，一般要把要求的边或角归化为一个三角形中，然后才能利用正，余 弦定理才能进行解题五、复习策略五、复习策略教师对教学大纲和考试说明耍做到心中有数，明确三角函数的常考点，热点问题是那些, 并根据福建省高考的特点进行有针对性的复习具体策略如下：1. 复习时，要注意夯实基础，让学生构建知识网络，具体要从三角函数的定义，三角函 数Z间的关系、和差公式、诱导公式、辅助角公式、两倍角公式、三角函数图像及其性质， 以及正余弦定理和面积公式要很熟悉2. 由于福建省高考比较注重在知识的“交汇”处进行命题，三角函数与平面向量、数列 以及函数等内容的交汇也会成为新的髙考命题的方向，在复习过程中要引起注意3. 要培养学生树立数形结合思想、化归转化思想、函数思想、方程思想等一些常用的数 学思想，以及“整体”的意识。

4. 注意引导学生对同一类型的解题方法进行必要的归纳和总结只有这样才能做到举一 反三，事半功倍的效果5. 要精选精练，做到老师跳进题海学生跳出题海现在福建数学高考的命题趋势是去模 式化，重在知识的交汇处命题，如果一味搞题海战术必然不行所以就要求老师精心选题， 选题要有代表性和典型性。