中考数学易错题专题复习四边形.doc

四边形易错点1：平行四边形的性质与判定.易错题1：如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是___________（把所有正确结论的序号都填在横线上）.①∠DCF＝∠BCD；②EF＝CF；S△BEC＝2S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF. 错解：①②正解：①②④赏析：本题由于不能灵活运用平行四边形与三角形的有关内容而造成错解，添加适当的辅助线是解决本题的关键.正确的解法是：如图1，分别延长EF、CD相交于点G.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，又∵AD＝2AB，F是AD的中点，∴DF＝DC，∴∠DCF＝∠DFC，又∵∠DFC＝∠FCB，∴∠DCF＝∠DFC＝∠FCB，∴∠DCF＝∠BCD，∴①正确；∵AB∥CD，∴∠BEC＝∠FCD，又∵CE⊥AB，∴∠FCD＝90°，又∵∠A＝∠FDG，AF＝DF，∠AFE＝∠DFG，∴△AFE≌△DFG（ASA），∴EF＝GF，∴EF＝CF，∴②正确；∵S△BEC＝BE×CE，S△ECG＝CG×CE，又∵E段AB上，∴BE＜AB＝CD＜CG，∴S△BEC＜S△ECG，又∵EF＝GF，∴S△EFC＝S△FCG（等底同高的三角形面积相等），∴S△ECG＝2S△EFC，∴S△BEC＜2S△EFC，∴③错误；∵FG＝FC，∴∠G＝∠FCG，∴∠AEF＝∠FCG，∴∠BCD＝2∠AEF，又∵∠BCD＝∠A，∴∠A＝2∠AEF，又∵∠DFE＝∠A＋∠AEF，∴∠DFE＝3∠AEF，∴④正确.故答案填①②④. 易错点2：平行四边形与三角形面积求法的区别；平行四边形与特殊平行四边形的关系.易错题2：如图，点P为平行四边形ABCD的边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S、S1、S2.若S＝2，则S1＋S2＝_____________.错解：6正解：8赏析：本题若没有掌握平行四边形面积的特殊性，容易造成错解.如图2，过点P作PH⊥CB，交CB的延长线于点H，过点A作AG⊥CB，交CB的延长线于点G.则S△PBC＝CB×PH，S△ABC＝CB×AG，S□ABCD＝CB×AG，∵四边形ABCD为平行四边形，∴四边形AGHP为矩形，∴PH＝AG，∴S△ABC＝S△PBC＝S□ABCD，又∵S△PDC＋S△PAB＋S△PBC＝S□ABCD，S△PDC＝S1，S△PAB＝S2，∴S1＋S2＝S□ABCD，∵E、F分别为PB、PC的中点，EF∥CB，，∴△PEF∽△PBC，∴，∵△PEF的面积为2，∴S△PBC＝8，∴S□ABCD＝16，∴S1＋S2＝×16＝8.易错点3：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，过对称中心的任意一条直线把它的面积平分；对角线将平行四边形面积四等分.易错题3：如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC.（1）试猜想AE与BF有何关系，并说明理由；（2）若△ABC的面积为4cm2，求四边形ABFE的面积；（3）当∠ABC为多少度时，四边形ABFE是矩形？请说明理由.错解：（1）AE＝BF.理由如下：由旋转可得AC＝FC，BC＝EC，且AC与FC，BC与EC分别在一条直线上，∴∠ACE＝∠FCB，∴△ACE≌△FCB（SAS），∴AE＝BF.（2）∵S△ABC＝4，S四边形ABFE＝2 S△ABC，∴S四边形ABFE＝4×2＝8（cm2）.（3）当∠ABC＝45°时，四边形ABFE是矩形.理由如下：∵∠ABC＝45°，AB＝AC，∴∠BAE＝90°，∴四边形ABFE是矩形.正解：（1）AE＝BF ，AE∥BF. 理由如下：∵将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC，∴由旋转可得AC＝FC，BC＝EC，且AC与FC，BC与EC分别在一条直线上，∴四边形ABFE是平行四边形，∴AE＝BF ，AE∥BF.（2）由旋转可得△ABC≌△FEC，∴S△ABC＝S△FEC，又∵AC＝FC，BC＝EC，∴S△ABC＝S△ACE ＝S△FEC＝S△BFC，S□ABFE＝4 S△ABC＝4×4＝16（cm2）.（3）当∠ABC＝60°时，四边形ABFE是矩形.理由如下：∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，又∵AC＝FC，BC＝EC，∴AF＝BE，又∵四边形ABFE是平行四边形，∴四边形ABFE是矩形.赏析：第（1）小题错在只得出了数量关系，没有判断位置关系；第（2）小题可能是根据一条对角线把平行四边形的面积平分而造成错解，这里△ABC的面积不是四边形ABFE面积的一半，且没有证明四边形ABFE是平行四边形；第（3）小题错在由条件只能得到∠BAC＝90°，而不是∠BAE＝90°，且没有证明四边形ABFE是平行四边形.易错点4：平行四边形中全等三角形与相似三角形的运用.易错题4：如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，P为对角线BD上一点，过点P作EF∥AC，交AB于点E，交BC于点F，AC＝3，BD＝8，设BP＝x，EF＝y，则y与x之间的函数关系图象是…………………………………………………………………（ ）错解：A正解：B赏析：本题错解的主要原因是只考虑了点P在BO上时的情况.虽然图中点P在BO上，但题目中说的是P为对角线BD上一点，所以应分两种情况讨论求解：当P在BO上时，即0≤x≤4，∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝8，∴BO＝DO＝4，∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，△BPF∽△BOC，∴，，∴，又∵AC＝3，BP＝x，EF＝y，∴，∴y＝x；当P在DO上时，即4＜x≤8，如图3，∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝8，∴BO＝DO＝4，∵EF∥AC，∴△DEF∽△DAC，△DPF∽△DOC，∴，，∴，又∵AC＝3，DP＝DB－BP＝8－x，EF＝y，∴，∴y＝﹣x＋6.∴y与x的函数是分段函数，其关系图象的两部分都是直线，故选B.易错点5：矩形、菱形与正方形的概念、性质与判定以及相互间的关系.易错题5：如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后，折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接FG.下列结论：①∠AGD＝112.5°；②tan∠AED＝2；③S△AGD＝S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE＝2OG.其中正确结论的序号是_______________________.错解：①③④正解：①④⑤赏析：本题的综合性较强，不能很好地利用正方形的特殊性质是造成错解的主要原因.对于①：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝∠DAC＝∠ABD＝45°，由折叠可得△ADE≌△FDE，∴∠ADE＝∠FDE＝∠ADB＝×45°＝22.5°，∴∠AGD＝180°－∠DAC－∠ADE＝180°－45°－22.5°＝112.5°，故①正确；对于②：由折叠可得∠EFB＝90°，又∠ABD＝45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴BE＝EF，又EF＝AE，∴BE＝AE，∴AD＝AB＝(＋1)AE.在Rt△ADE中，tan∠AED＝＝＋1，故②错误；对于③：由折叠可得AG＝FG，又∵在Rt△OGF中，GF＞OG，∴AG＞OG，又∵S△AGD＝AG×DO，S△OGD＝GO×DO，∴S△AGD＞S△OGD，故③错误；对于④：∵∠AGD＝112.5°，∴∠AGE＝180°－∠AGD＝180°－112.5°＝67.5°，又∵在Rt△AED中，∠ADE＝22.5°，∴∠AED＝90°－∠ADE＝90°－22.5°＝67.5°，∴AE＝AG，又由折叠可得，AE＝FE，AG＝FG，∴AE＝EF＝GF＝AG，∴四边形AEFG是菱形，故④正确；对于⑤：∵四边形AEFG是菱形，∴EF＝GF，AB∥GF，∴∠GFO＝∠ABO＝45°，∴△GFO、△EBF均为等腰直角三角形，∴GF＝GO，∴EF＝GO，又∵BE＝EF，∴BE＝×GO＝2GO，故⑤正确.∴本题答案为①④⑤. 易错点6：四边形中的翻折、平移、旋转、剪拼等操作型问题.易错题6：已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处.（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA.①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA的面积之比为1︰4，求边AB的长；（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；（3）如图2，在（1）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连接BP.动点M段AP上（点M与点P、A不重合），动点N段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E.试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度.错解：（1）①如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，DC＝AB，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.由折叠可得△ABO≌△APO，∴AP＝AB，PO＝BO，∠PAO＝∠BAO，∠APO＝∠B，∴∠APO＝90°，∴∠APD＝∠POC，又∵∠D＝∠C，∴△OCP∽△PDA.②∵△OCP与△PDA的面积之比为1︰4，∴.∴PD＝2OC，DA＝2CP,∵AD＝8，∴CP＝4，BC＝8.设OP＝x，则OB＝x，CO＝8－x.在Rt△PCO中，∵∠C＝90°，CP＝4，OP＝x，CO＝8－x，∴由勾股定理得x2＝(8－x)2＋42.解得x＝6，∴AB＝AP＝2OP＝2×6＝12.21教育网（2）如图3，∵P是CD边的中点，∴DP＝DC.∵DC＝AB，AB＝AP，∴DP＝AP.∵∠D＝90°，∴在Rt△DAP中，sin∠DAP＝，∴∠DAP＝45°，∵∠DAB＝90°，∴∠PAB＝90°－45°＝45°，又∵∠PAO＝∠BAO，∴∠OAB＝22.5°.（3）当点M、N在移动过程中，线段EF的长度发生变化，因为当点M、N在移动时，点E、F也随之移动，所以线段EF的长度发生变化. 正解：（1）①如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，DC＝AB，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.由折叠可得△ABO≌△APO，∴AP＝AB，PO＝BO，∠PAO＝∠BAO，∠APO＝∠B，∴∠APO＝90°，∴∠APD＝180°－∠APO－∠CPO＝180°－90°－∠CPO＝90°－∠CPO，又∵在Rt△PCO中，∠POC＝90°－∠CPO，∴∠APD＝∠POC，又∵∠D＝∠C，∴△OCP∽△PDA.②∵△OCP与△PDA的面积之比为1︰4，且△OCP∽△PDA，∴.∴PD＝2OC，DA＝2CP,∵AD＝8，∴CP＝4，BC＝8.设OP＝x，则OB＝x，CO＝8－x.在Rt△PCO中，∵∠C＝90°，CP＝4，OP＝x，CO＝8－x，∴由勾股定理得x2＝(8－x)2＋42.解得x＝5，∴AB＝AP＝2OP＝2×5＝10.（2）如图3，∵P是CD边的中点，∴DP＝DC.∵DC＝AB，AB＝AP，∴DP＝AP.∵∠D＝90°，∴在Rt△DAP中，sin∠DAP＝，∴∠DAP＝30°，∵∠DAB＝90°，∴∠PAB＝90°－30°＝60°，又∵∠PAO＝∠BAO，∴∠OAB＝30°.（3）如图4，过点M作MQ∥AN，交PB于点Q.∵AP＝AB，MQ∥AN，∴ ∠APB＝∠ABP，∠ABP＝∠MQP，∴∠APB＝∠MQP，∴MP＝MQ，又∵ME⊥PQ，∴PE＝EQ＝PQ.∵BN＝PM，MP＝MQ，∴BN＝MQ.又由MQ∥AN得∠QMF＝∠BNF.在△MFQ和△NFB中，∵，∴△MFQ≌△NFB(AAS)，∴QF＝BF，∴QF＝QB.∴EF＝EQ＋QF。