复变函数与积分变换第06章共形映射.ppt

第六章　共形映射第六章　共形映射§§6.46.4 几个初等函数构成的几个初等函数构成的映射映射§§6.16.1 共形映射的概念共形映射的概念§§6.26.2 分式线性映射分式线性映射§§6.36.3 唯一决定分式线性映唯一决定分式线性映射的条件射的条件& 1. 1. 曲线的切线曲线的切线& 2. 2. 导数的几何意义导数的几何意义& 3. 3. 共形映射的概念共形映射的概念§1 共形映射的概念共形映射的概念1. 曲线的切线曲线的切线设连续曲线设连续曲线(z)(z)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~A 定义定义　　切线随切点的移动而连续转动的有向曲线切线随切点的移动而连续转动的有向曲线称为有向光滑曲线称为有向光滑曲线.(z)~~~~~~~~~~~2. 解析函数解析函数导数的几何意义导数的几何意义(辐角和模辐角和模)则则~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~即即(1)即即(z)(w)~~~~~~~x(1)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(z)(w)——保角性保角性由上述讨论我们有由上述讨论我们有(z)(w)3. 共形映射的概念共形映射的概念~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~定义定义~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~定理定理A　若上述共形映射定义中，仅保持角度绝对　若上述共形映射定义中，仅保持角度绝对值不变，而旋转方向相反，此时称第二类共形映值不变，而旋转方向相反，此时称第二类共形映射。

从而，定义中的共形映射称为第一类共形映射从而，定义中的共形映射称为第一类共形映射~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~A & 1. 1. 分式线性映射的定分式线性映射的定义义& 2. 2. 分式线性映射的性分式线性映射的性质质§2 分式线性映射分式线性映射1. 分式线性映射的定义分式线性映射的定义定义　定义　~~~~~~~~~~~~~A ~~~~~~~~~~　　分式线性映射　　分式线性映射(1)总可以分解成下述三种特殊总可以分解成下述三种特殊映射的复合：映射的复合：称为：　称为：　平移　　　　整线性　　　　　反演平移　　　　整线性　　　　　反演事实上，事实上，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~定义定义~~~~~~~~roxyPA 规定无穷远点的对称点为圆心规定无穷远点的对称点为圆心o~~~~~~~~~~~~~~~~~oTP1ox,uy,vzw2. 分式线性映射的性质分式线性映射的性质（详见（详见P195））~~~~~~~~~定理定理1~~~~~~~定理定理2定理定理3A 在分式线性映射下，圆周或直线上没有点在分式线性映射下，圆周或直线上没有点趋于无穷点，则它映射成半径为有限的圆周；若趋于无穷点，则它映射成半径为有限的圆周；若有一点映射成无穷远点，它映射成直线有一点映射成无穷远点，它映射成直线。

& 1. 1. 分式线性映射的存在唯一性分式线性映射的存在唯一性& 2. 2. 举例举例§§6.6.3 3 唯一决定分式线性映射唯一决定分式线性映射的条件的条件定理定理1. 1. 分式线性映射的存在唯一性分式线性映射的存在唯一性证明证明A ①① 式式(1)是三对点所确定的唯一的一个映射是三对点所确定的唯一的一个映射 ~~~~~~~~~~~~所求分式线性映射所求分式线性映射因此，式因此，式(1)说明分式线性映射具有说明分式线性映射具有保交比不变性保交比不变性由分式线性映射的存在唯一性定理知：由分式线性映射的存在唯一性定理知：以下讨论这个映射以下讨论这个映射会把会把C的内部映射成什么？的内部映射成什么？（（不可能把不可能把d1的部分映的部分映入入D1，，d1的另一部分映入的另一部分映入D2））事实上，事实上，由以上讨论给出由以上讨论给出确定对应区域确定对应区域的两个方法：的两个方法：事实上事实上由上一节和本节的讨论，还有以下由上一节和本节的讨论，还有以下结论结论：：~~~~~~~~~~~~~~A 例例1解解2. 举例举例uv(w)xy(z)例例2解解uvo(w)xy(z)oA 例例3解解uv(w)xy(z)11例例4解解uvo(w)xy(z)oR例例5解解xy(z)1-1i-iouv(w)o& 1. 1. 幂函数幂函数& 2. 2. 指数函数指数函数§§6.6.4 4 几个初等函数所构成的映射几个初等函数所构成的映射1.幂函数幂函数幂函数：幂函数：xy(z)uv(w)xy(z)上岸上岸下岸下岸uv(w)幂函数所构成的映射特点：把以原点为顶点的角幂函数所构成的映射特点：把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域，但张角变成形域映射成以原点为顶点的角形域，但张角变成了原来的了原来的n倍，因此，倍，因此，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~xy(z)uv(w)i例例1解解:-ixy(z)i11uv(w)例例22. 指数函数指数函数带形区域　　　　　　　　　角形区域带形区域　　　　　　　　　角形区域xy(z)iauv(w)x　　 y (z)　　上岸上岸下岸下岸u　　v　　(w)xy(z)u v (w)i例例3解解xy(z)ab1例例4解解uv(w)xy(z)uv(w)EABDC例例5解解答：答：xy(z)uv(w)xy(z)-11例例6uv(w)解解 见见P244例例7作 业Page 245—249 •4；5；8(1)(5)；•15(1)(2)；•16(1)(2)；•19(1)(3)(5)(7)。