一多元函数极值二条件极值拉格朗日乘数法ppt课件.ppt

一、多元函数的极值一、多元函数的极值二、条件极值、拉格朗日乘数法二、条件极值、拉格朗日乘数法第八节 多元函数的极值与最值 一、多元函数的极值一、多元函数的极值极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值 . .使函数获得极值的点称为极值点使函数获得极值的点称为极值点 . .1　二元函数极值的定义 设函数在点的某邻域内有定义，对于该邻域内异于的点假设满足不等式，那么称函数在有极大值；假设满足不等式，那么称函数在有极小值；(1(1) )(2(2) )(3(3) )例例1 1 函数函数处有极小值．处有极小值．在在例２例２函数函数处有极大值．处有极大值．在在处有极大值．处有极大值．在在例３例３处无极值．处无极值．在在函数函数2 2　多元函数获得极值的条件　多元函数获得极值的条件定理 1 1〔必要条件〕设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，那么它在该点的偏导数必然为零：，，. .证无妨设无妨设在点在点处有极大值处有极大值,那么对于那么对于的某邻域内恣意的某邻域内恣意都有都有,故当故当时，时， 有有阐明一元函数阐明一元函数在在处有极大值，处有极大值，必有必有;类似地可证类似地可证.推行推行 假设三元函数假设三元函数在点在点具有偏导数，那么它在具有偏导数，那么它在有极值的必要条有极值的必要条件为件为 ，，.; 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点的点，均称为函数的驻点.问题：如何断定一个驻点能否为极值点？问题：如何断定一个驻点能否为极值点？ 驻点驻点极值点极值点留意：留意：定理定理 2 2〔充分条件〕〔充分条件〕 设函数设函数在点在点的某邻域内延续，的某邻域内延续，有一阶及二阶延续偏导数，有一阶及二阶延续偏导数， .例如例如 点点是函数是函数的驻点，的驻点， 但不是极值点但不是极值点又又 ，， 令令，，，，，，那么那么在点在点处能否获得极值的条件如下：处能否获得极值的条件如下：〔〔1 1〕〕时具有极值，时具有极值，当当时有极大值，时有极大值， 当当时有极小值；时有极小值；〔〔3 3〕〕时可以有极值时可以有极值, ,也可以没有极值，也可以没有极值，还需另作讨论．还需另作讨论．〔〔2 2〕〕时没有极值；时没有极值；求函数求函数),(yxfz = =极值的普通步骤：极值的普通步骤：第一步第一步 解方程组解方程组 求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx，，求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值A、、B、、C.第三步第三步 定出定出2BAC - -的符号，再断定能否是极值的符号，再断定能否是极值 .例例4 4求函数　　　　　　　　的极值．求函数　　　　　　　　的极值．解解求得驻点求得驻点，，在　　　点处在　　　点处所以，在　　　处函数没有极值．所以，在　　　处函数没有极值．在　　　点处在　　　点处又又所以，在　　处函数有极大值．且所以，在　　处函数有极大值．且求最值的普通方法： 1〕将函数在D内的一切驻点处的函数值 2〕求D的边境上的最大值和最小值 3〕相互比较函数值的大小，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值. 与一元函数相类似，我们可以利用函数的与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值极值来求函数的最大值和最小值.3 多元函数的最值解解先求函数在先求函数在D内的驻点，内的驻点，如图如图,例例 5 5 求二元函数求二元函数 在直线在直线，， 轴和轴和 轴所围成的闭区域轴所围成的闭区域上的最大值与最小值上的最大值与最小值.解方程组解方程组再求再求在在边境上的最值，边境上的最值，得区域得区域内独一驻点内独一驻点,且且 在边境在边境和和上上,在边境在边境上，即上，即于是于是,由由 得得 比较后可知比较后可知为最大值为最大值,为最小值为最小值.解解 由由例例 6 6 求求的最大值和最小值的最大值和最小值.得驻点得驻点和和,即边境上的值为零即边境上的值为零.无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.由于由于所以最大值为所以最大值为，最小值为，最小值为例例7 某厂要用铁板做成一个体积为某厂要用铁板做成一个体积为2的有盖长方的有盖长方体水箱，问长宽高各取怎样的尺寸时，才干体水箱，问长宽高各取怎样的尺寸时，才干运用料最省？运用料最省？此水箱的用料面积此水箱的用料面积解：设水箱的长为解：设水箱的长为x,x,宽为宽为y,y,那么其高为那么其高为时，时，A A获得最小值，获得最小值，根据题意可知，水箱所用资料的面积的最小值一根据题意可知，水箱所用资料的面积的最小值一定存在，并在开区域定存在，并在开区域D(x>0,y>0)D(x>0,y>0)内获得。

又函数内获得又函数在在D D内只需独一的驻点，因此可断定当内只需独一的驻点，因此可断定当就是说，当水箱的长、宽、高均为就是说，当水箱的长、宽、高均为时，时，水箱所用的资料最省水箱所用的资料最省实例：实例： 小王有小王有200200元钱，他决议用来购买两元钱，他决议用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买购买 张磁盘，张磁盘， 盒录音磁带到达最正确效盒录音磁带到达最正确效果，效果函数为　　　　果，效果函数为　　　　 设每张磁盘设每张磁盘8 8元，每盒磁带元，每盒磁带1010元，问他如何元，问他如何分配这分配这200200元以到达最正确效果．元以到达最正确效果．问题的本质：求问题的本质：求 在条件在条件 下的极值点．下的极值点．二、条件极值、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 条件极值：对自变量有附加条件的极值．无条件极值：对自变量除有定义域限制外，无任何其它条件限制的极值．要找函数要找函数在条件在条件下的下的可以极值点，可以极值点，其中其中 为某一常数，可由为某一常数，可由先构造函数先构造函数解出解出，其中，其中就是可以的极值点的坐标就是可以的极值点的坐标.拉格朗日乘数法可推行到自变量多于两个的情况：拉格朗日乘数法可推行到自变量多于两个的情况：要找函数要找函数在条件在条件 ，，下的极值，下的极值， 先构造函数先构造函数其中其中均为常数，可由均为常数，可由 偏导数为零及条件解出偏导数为零及条件解出，即得极值点的坐标，即得极值点的坐标 .例例 8 8 将正数将正数12分成三个正数分成三个正数zyx,,之和之和 使得使得zyxu23= =为最大为最大.解解解得独一驻点解得独一驻点)2 , 4 , 6(，，那那么么故最大值为故最大值为解解设设为椭球面上一点为椭球面上一点,例例 9 9 在第一卦限内作椭球面在第一卦限内作椭球面 的的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标体积最小，求切点坐标.令令,那么那么，， ，， 过过的切平面方程为的切平面方程为该切平面在三个轴上的截距各为该切平面在三个轴上的截距各为化简为化简为 ,所围四面体的体积所围四面体的体积 ,在条件在条件下求下求的最小值的最小值,令令 ,由由可得可得即即当切点坐标为　　　　　　　时当切点坐标为　　　　　　　时四面体的体积最小四面体的体积最小.。