实变函数论考试试题及答案(共5页).doc

精选优质文档-----倾情为你奉上实变函数论考试试题及答案证明题：60分1、证明 证明：设，则，使一切，，所以,则可知设，则有,使，所以 因此，=2、若，对，存在开集, 使得且满足 ，证明是可测集证明：对任何正整数， 由条件存在开集，使得令,则是可测集，又因，对一切正整数成立，因而=0，即是一零测度集，故可测由知可测3、设在上，且几乎处处成立，, 则有a.e.收敛于证明 因为，则存在，使在上a.e.收敛到设是不收敛到的点集在上，收敛到， 且是单调的因此收敛到（单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）即除去一个零集外，收敛于，就是 a.e. 收敛到4、设,是上有限的可测函数证明存在定义于上的一列连续函数，使得 于证明： 因为在上可测，由鲁津定理，对任何正整数,存在的可测子集，使得，同时存在定义在上的连续函数，使得当时有= 所以对任意的，成立， 由此可得 因此 ，即，由黎斯定理存在的子列，使得 a.e于. 证毕5、设为a.e有限可测函数列，证明：的充要条件是证明：若0，由于,则又，,,常函数1在上可积分，由勒贝格控制收敛定理得。

反之，若（），而且，对，令,由于函数,当时是严格增加函数，因此 所以，即6、设，a.e.有限的可测函数列和，，分别依测度收敛于和，证明 证明：因为于是，成立，所以即填空题：10分2、设求在内的，， 解：， ， 计算题：30分4、试构造一个闭的疏朗的集合，解：在中去掉一个长度为的开区间，接下来在剩下的两个闭区间分别对称挖掉长度为的两个开区间，以此类推，一般进行到第次时，一共去掉个各自长度为的开区间，剩下的个闭区间，如此重复下去，这样就可以得到一个闭的疏朗集，去掉的部分的测度为所以最后所得集合的测度为，即8、试求 解 令，则为非负连续函数，从而非负可积根据积分逐项积分定理，于是，10、试从求证证明：在时，，由L逐项积分定理，另一方面因此可得：专心---专注---专业。