《现代数值计算》课件2.6分段低次插值.ppt

2.6 分段低次插值分段低次插值2.6.1 高次多项式插值的问题高次多项式插值的问题2.6.2 分段线性插值分段线性插值2.6.3 分段三次分段三次Hermite插值插值为何要进行分段低次插值为何要进行分段低次插值引例引例1、分段插值、分段插值2、基本方法、基本方法3 . 分段线性插值函数的余项分段线性插值函数的余项例例2.13综合举例综合举例 n 次Lagrange插值多项式的误差： 插值多项式与被插函数的逼近程度同分点的数目和位置有关一般地，分点越多，逼近程度越好，但也有例外一、为何要进行分段低次插值一、为何要进行分段低次插值2.6.1 高次多项式插值的问题高次多项式插值的问题 在在[ 5, 5]上考察上考察 的的Ln(x)取 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大，越大，端点附近抖动端点附近抖动越大，称为越大，称为龙格龙格（（Runge）） 现象现象Ln(x)  f (x) 引例引例 同时，插值误差除来自截断误差外，还来自初同时，插值误差除来自截断误差外，还来自初始数据的误差和计算过程中的舍入误差。

插值次数始数据的误差和计算过程中的舍入误差插值次数越高，计算工作量越大，积累误差也可能越大越高，计算工作量越大，积累误差也可能越大 因此，在实际操作过程中，常常用因此，在实际操作过程中，常常用分段低次分段低次插值插值进行计算，进行计算，即把整个插值区间分成若干个小即把整个插值区间分成若干个小区间，在每个小区间上进行低次插值区间，在每个小区间上进行低次插值1、分段插值、分段插值就是将被插值函数逐段多项式化就是将被插值函数逐段多项式化2、基本方法、基本方法•将每个子段上的插值多项式组合在一起，作为整将每个子段上的插值多项式组合在一起，作为整将每个子段上的插值多项式组合在一起，作为整将每个子段上的插值多项式组合在一起，作为整个区间个区间个区间个区间 上的插值函数这样构造的插值多项上的插值函数这样构造的插值多项上的插值函数这样构造的插值多项上的插值函数这样构造的插值多项式就是分段插值多项式式就是分段插值多项式式就是分段插值多项式式就是分段插值多项式•划分：划分：划分：划分： 并在每个子段并在每个子段并在每个子段并在每个子段 上构造插值多项式上构造插值多项式上构造插值多项式上构造插值多项式2.6.2 分段线性插值分段线性插值 已知：已知：且且定义定义 (分段线性插值分段线性插值) 称称为数据为数据的分段线性插值函数的分段线性插值函数。

上为线性多项式上为线性多项式在每一个小区间在每一个小区间 即当即当时时, （（2）满足插值条件：）满足插值条件：或函数表或函数表：：满足满足如果如果(2.36)其中其中,当当 i=0时时, 没有第一式没有第一式; 当当 i=n时时,没有第二式没有第二式. 显然显然,分段线性插值基函数分段线性插值基函数 li(x)只在只在xi 的附近不为零的附近不为零, 在其他地在其他地方均为零方均为零,这种性质称为局部非零性这种性质称为局部非零性. 几何意义：几何意义：相邻两节点相邻两节点间的函间的函数为一次线性函数数为一次线性函数, 图象为线段图象为线段 注：注：由图象可知，由图象可知， 在节在节点处的光滑性较差，为了提高点处的光滑性较差，为了提高光滑性，讨论光滑性，讨论分段三次埃尔米分段三次埃尔米特插值在整个区间在整个区间[ [a，，b] ]上为折线上为折线分段线性插值就是通过插值节点用折线段连接起来逼近分段线性插值就是通过插值节点用折线段连接起来逼近f(x).用分段线性插值逼近上述例子的效果，取 n =10例例2.13已知已知f(x)在四个节点上的函数值如下表所示在四个节点上的函数值如下表所示 30 45 60 901求求f(x)在区间在区间 30,9030,90 上的上的分段连续线性插值函数分段连续线性插值函数Ih(x)解解 将将插值区间插值区间 30,9030,90 分成连续的三个小区间分成连续的三个小区间 30,4530,45  , , 45,6045,60  , , 60,9060,90 , , 则则Ih(x)在区间在区间 30,4530,45 上的上的线性插值为线性插值为 Ih(x)在区间在区间 45,60 上的上的线性插值为线性插值为 Ih(x)在区间在区间 60,90 上的线性插值为上的线性插值为 将各小区间的线性插值函数连接在一起，得 　　 分段线性插值函数的余项可以通过线性插值多项式的分段线性插值函数的余项可以通过线性插值多项式的余项来估计余项来估计.定理定理2.3 　如果　如果记记则对则对任意任意分段线性分段线性 插值函数插值函数有余项估计有余项估计 （（2.39））证明证明 根据（根据（2.13），在每个小区间），在每个小区间上有上有3 . 分段线性插值函数的余项分段线性插值函数的余项 因此，在整个区间因此，在整个区间 上有上有该定理也说明分段线性插值函数该定理也说明分段线性插值函数 具有一致收敛性。

具有一致收敛性该定理也说明，可以加密插值节点，缩小插值区间使该定理也说明，可以加密插值节点，缩小插值区间使h 减小，从减小，从而减小插值误差．而减小插值误差．缺点：缺点：分段插值函数只能保证连续性，分段插值函数只能保证连续性， 失去了原函数的光滑性失去了原函数的光滑性 优点：优点：计算简单；计算简单； 适用于适用于光滑性光滑性要求不高的插值问题要求不高的插值问题 综合以上的讨论，分段线性插值有以下优、缺点综合以上的讨论，分段线性插值有以下优、缺点2.6.3. 分段三次分段三次Hermite插值插值　　分段线性插值函数具有良好的一致收敛性，但它不是光分段线性插值函数具有良好的一致收敛性，但它不是光滑的，它在节点处的左右导数不相等如果交通工具用这样滑的，它在节点处的左右导数不相等如果交通工具用这样的外形，则势必加大摩擦系数，增加阻力，为了克服这个缺的外形，则势必加大摩擦系数，增加阻力，为了克服这个缺陷，一个自然的想法是添加一阶导数的插值条件因此用陷，一个自然的想法是添加一阶导数的插值条件因此用Hermite分段插值更好分段插值更好已知已知 ，且有，且有 定义定义 (分段分段3次次Hermite插值插值) ) 如果如果 满足：满足：(1) (2)在每个小区间在每个小区间为为3 3次多项式次多项式 ；；（（3）满足插值条件：）满足插值条件： 由定理由定理2.4知知,当当 时，时， 为为3次次Hermite插值多插值多项项称称 为为 的分段的分段3次次Hermite插值函数。

插值函数 公式：公式： 式因此有以下形式：式因此有以下形式： 由上节由上节代入代入即得下式：即得下式：　　分段三次　　分段三次Hermite插值函数的余项可以通过前面三次插值函数的余项可以通过前面三次Hermite插值多项式的余项来估计插值多项式的余项来估计 定理定理2.4 （（1）设）设，且已知，且已知的函数及导数表的函数及导数表 （（2）） 为为 上上 的分段的分段3次次Hermite插值函数，则有误插值函数，则有误差估计：差估计：其中其中（对（对 一致收敛一致收敛））且且存在存在k使使 定理定理2.13 证明证明: 令令记记，则，则 且有且有极值的求法极值的求法即即于是，于是，且有且有一致收敛）一致收敛） # 优点：优点：分段线性插值与分段分段线性插值与分段3次次Hermite插值函数在每个小区插值函数在每个小区缺点：缺点：1、分段线性插值光滑性差；、分段线性插值光滑性差；间上都间上都收敛收敛于函数于函数 。

2、分段、分段3次次Hermite插值能保证插值多项式图象的光滑插值能保证插值多项式图象的光滑性，性，但节点的导数值不大容易提取但节点的导数值不大容易提取, 实际应用困难实际应用困难综合举例综合举例X -2 -1 0 1 2 3 　　　-5 1 1 1 7 25X y 2.4 0.00252.5 -0.0484 -0.05092.6 -0.0968 -0.0484 0.0025X2.4２.52.6f(x)0.0025-0.0484-0.0968X 1 2 3y 2 4 123x y f[0,1] f[0,1,2] f[0,1,2,3]1 22 4 22 4 3 1 3 12 8 5 2。