计算流体cfd2004-5.ppt

第五章 不可压缩粘性流的有限差分法,5.1 概况,不可压缩流,M<0.3,不可压缩 N-S方程组，两类变量,原始变量（p,u,T） 守恒变量（ρ, ρu, ρE）,不可压缩流的处理，两种方法,原始变量：ACM，SIMPLE，PISO 涡方法： κ-ω,回顾 2.2 Navier-Stokes,由基本方程(质量、动量、能量三大守恒),①N-S方程组(三维，矩阵式，原始变量，非守恒),定常N-S方程组 (二维标量式),②守恒形式： 守恒变量,（2.2.11）,U,U守恒流动变量，F对流通量变量，G扩散通量变量,B源项,U三维展开,三维流体力学控制方程组的性质列表如下：,椭圆型与双曲或抛物型混合的方程组处理起来很困难，必须在数学上进行讨论与分析定解条件提法，论述求解方法、分析求解时应注意的问题单一类型方程组——平衡型（椭圆型）或发展型（双曲、抛物型）比较容易处理，分别为纯边值、初边值问题,在不可压缩流场的控制方程的动量方程中，压力梯度是以源项形式出现，压力没有独立的方程(在可压缩流体中压力与密度问的关系由状态方程所规定)在以速度、压力为求解变量的原始变量法中，为了解决压力没有独立的方程的困难，先后发展了 ●人工压缩性方法 ●压力修正算法(pressure—correction method)等方法。

其中以压力修正算法——如SIMPLE系列的应用最广 ● κ-ω方法不是原始变量法，它避开了压力项不可压定常N-S方程是椭圆型方程，其他不可压情况都是混合型方程动量方程中有压力项，使压强信息瞬间传遍全域，不能按时间推进求解,5.2人工压缩性方法,其中 是人工密度，与人工压缩性参数β的关系为： ，在稳态条件下 是伪时间5.3 压力修正法,SIMPLE(Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations)算法虽然最初是对不可压缩流体发展起来的，但近年来已成功地推广到了可压缩流体5.3.1压力连接方程的半隐含法（SIMPLE）,已知压力场，可由动量方程求得速度分布，而压力应该由质量守恒条件约束但无压力信息，迭代无法进行为此，引入压力修正方程,两方程之间压力无关联,压力修正方程推导,设压力修正为p’,相应速度修正为u’,v’,忽略有关项后 ut’+ px’/ρ=0 u’= -τpx’/ ρ,同理 vt’+ py’/ρ=0,得压力修正方程 τ(pxx’+pyy’)/ρ= ūx+ ūy,将ū, , p*与u=ū+u’,v= +v’,p=p*+p’分别代人动量方程后相减,ut’+ūux’+u’ūx+u’ux’+ uy’+v’ūy+v’uy’+px’/ρ=ν(uxx’+u yy’),由连续方程ux+vy=ūx+ +ux’+vy’=ūx+ +[-τ(pxx’+pyy’)/ρ]=0,例1：一维稳态动量方程,如果ui = ui-1 =ui+1；则Pi-1 =Pi+1; p的锯齿波不能检测出,例2,1、SIMPLE,下角标nb表示四个邻点，Ae为压力作用面积，系数a e,a nb之值取决于格式，b为源项。

图5.3.1 交错网格的计算区域,即节点上p , T ； 边界上u , v ；,例如二维 在交错网格上离散: 有限容积的边界e、n,(as，aw)可仿此写出,b为控制容积P的剩余质量流量，对稳态流动，有,压力修正方程,采用SIMPLE算法的步骤： (1)假定一个速度场，记为u(0)，v(0)，由此计算ae, an，anb，及b； (2)假定一个压力场，记为p*； (3)求解动量离散方程，得ū ， ； (4)计算压力的修正值p’：要求与(p*+p’)相对应的(ū +u’)、( +v’)能满足连续性方程这样的压力修正方程可将修正后的速度代入连续性方程的离散形式，并利用u’，v’与p’间的关系导得,此式表明，根据p’值确定u ’，需要解一个代数方程组为能利用p’值显式地求解u e’，v n’，此处略去式右端第一项a n b u’n b得,(5)计算速度的修正值u’，v’：要求(ū e+u e’)、( +vn’)仍满足线性化了的动量方程,(6)得本迭代层次的解(ū+u’)、( +v’)及(p*+pp’) ,本解并作为下一层次的初值，重复1—5步计算直到流场收敛，即速度同时满足连续性方程及动量方程为止。

 p为压力亚松弛因子在工程上广为采用的计算程序中，速度的亚松弛是组织到代数方程求解过程中去的，即代数方程求解出来的u，v已是亚松弛了的，因而以上表达式中不显含速度亚松弛因子 u， v所谓“层次”，是指在一组固定的系数a n b，ae(或a n)下的代数方程求解阶段，即在同一层次内，代数方程的系数及源项都保持不变在SIMPLE算法中引入了以下假定或简化处理： (1)速度场的假定(u(0)，v(0))与压力场的假定(p*)是相互独立地进行的，u(0)，v(0)与p*之间没有任何联系 (2)在导出速度修正值计算式时，未计及邻点速度修正值的影响； (3)动量离散方程中的b在速度修正前后保持不变； (4)解出的ū、 满足动量守恒但未必满足质量守恒，而解出的p’决定u’、v’时，保证(ū+u’)、( +v’)满足质量守恒，但动量守恒则未必满足这是由于略去了anbu’nb而所得的u’、v’就未必可使(ū+u’)、( +v’)满足上述动量守恒方程 以上四条是其后所出现的一些改进方案的着眼之处2、SIMPLER,SIMPLER(1980)算法主要用以改进SIMPLE方法中的第一项近似处理方法。

一旦速度场给定，压力场就可以从动量离散方程中予以求解，而不再任意假定其主要计算步骤如下：,(1)假定一个速度场，记为u(0)，v(0)，由此计算动量离散方程系数a e,a n,,a n b,b及û,v:引入û, v后，动量离散方程式便可写为,(2)据û, v计算相应的压力场p*将动量离散式代入质量守恒方程的离散形式求解，(其中anb,ap及b的计算式形式上与SIMPLE算法中的p’方程的一样,只要将û, v代替ū， 即可) (3)求解动量离散方程，得ū， (4)求解压力修正方程，得p’ (5)用p’修正速度得u’，v’(但不修正压力) (6)用(ū+u’)、( +v’)开始下一层次的迭代，重复1~5步直到收敛3、SIMPLEC,(1)~(3)同SIMPLE； (4)同SIMPLE，但de，dn需按以下导出的公式计算：在式两边各减去anbu’e，得上式右端第一项与第二项相比显然要小得多，因而忽略有(5)计算速度修正值u’，v’，同SIMPLE (6)同SIMPLE，但p’可不必亚松弛4、SIMPLEX,把SIMPLE算法中u’ e=d e(p’P - p’E)=d e pe的表达方式推广到邻点的速度修正值计算式中，即认为,,将该式代入SIMPLE法的第(5)步计算速度的修正值u’，v’的式中。

有 这里假设pe＝pnb，则上式化为确定d的方程：,,类似地，对于确定速度修正值vn的系数d n也可得出用v动量方程的系数来表示的代数方程由于在任一迭代层次上u与v的离散方程系数都是已知的，因而相应的d e, dn值即可通过求解代数方程而得这样，得到的d e, dn可以认为考虑了邻点速度修正值的影响在内5、SIMPLET,用SIMPlE算法来求解自然对流换热问题时，往往可以发现其收敛速度不如求解强制对流问题那样快这在一定程度上可以认为，是出于在SIMFLE法中没有考虑温度的变化对动量方程的影响而造成的 SIMPLET算法的计算步骤可总结如下：,(1)假设速度u(0)，v(0)确定动量离散方程的系数； (2)假定一个压力场p*及温度场T*； (3)求解动量方程，获得ū， ； (4)利用ū，求解温度方程以获得Ť，并确定T’的预估值Ť=T-T*; (5)求解p’方程，获得p’； (6)修正速度及压力，获得此层次的u，v，p； (7)求解能量方程以获得T； (8)以p,T及u，v开始下一层次计算为有助于迭代收敛u，v，p，T均应予以亚松弛6、MAPLE算法,(1)据上一时层k的速度与压力按下式计算ū，v*；(2)利用下式计算各控制容积的不平衡质量；(3)利用下式计算压力的修正值P’； (略去邻点影响 ),仅就在推进一个时间层中的迭代计算步骤作一小结：,,(SIMPLE法推广到非定常问题),(4)利用下式计算速度修正值u’ e， v’n；（采用SIMPLE算法的基本假设，即略去邻点速度修正值的影响 ）(5)据下式更新压力及速度值；(6)据更新后的速度值计算各控制容积的不平衡质量流量M； (7)如果收敛条件满足，停止迭代计算，推向下一时层；如果不满足，重复上述计算，直到收敛。

SIMPLE系列的比较,(3)求解动量离散方程以获得ū， ; (4)求解压力修正值p’方程，要求与p’相应的u’，v’能使(ū+u’)、( +v’)满足连续性方程其中除SIMPLET外，其它算法只考虑压力修正值对u’，v’的影响，而SIMPLET中还考虑了温度修正对u’，v’的影响，该影响最后体现在p’方程的源项之中1)由假定的或上一次计算得到的速度u(0)，v(0)确定动量离散方程的系数及常数项 (2)确定压力场：对于SIMPLE，SIMPLEC，SIMPLET及SIMPLEX采用假定的或用上一次计算的值p*；对于SIMPLER则由已知的速度场通过求解压力Poisson方程而获得6)作为初值开始下一层迭代计算的速度、压力值(设速度的亚松弛己组合在u，v的求解过程中)为：SIMPLE，SIMPIET：(ū+u’)、( +v’)，(p*+pp’) SIMPLEC，SIMPLEX：(ū+u’)、( +v’)，(p*+p’) SIMPLER：(ū+u’)、( +v’),(5)确定速度修正值： SIMFLE,SIMPLER,SIMPLET：u’e＝de(p’P-p’ E)，d e＝Ae／ae， ——邻点速度影响略去不计； SIMPLEC：u’e＝de(p’P-p’ E)，de＝Ae／(ae-anb) ——邻点速度修正值的影响已基本考虑在内； SIMPLEx：u’e＝de(p’P-p’ E)，de＝Ae／ae等是通过求解一个Poisson方程得出的，相当于考虑了邻点的影响。

7、PISO算法,SIMPLE系列的计算过程大致分为两步：预估步(1)一(3)及校正步(4)一(6)采用显式校正步的SIMPLE或SIMPLEC算法，在获得了(ū+u’)、(v*+v’)后又利用动量方程进行了一次修正，因而可认为是具有两步校正的算法但其第二步修正不是通过解方程，而是显式地进行，不是典型的两步校正算法下而要介绍的PISO算法则是典型的两步校正算法PISO “Pressure implicit with Split--Operator”(分裂算子的压力隐式)算法最初是为求解非稳态的Navier—Stokes方程设计的，但是如果我们把推进一个时层的算法用于稳态非线性问题迭代解法中推进一个层次的计算，则PISO同样适用于隐态问题的计算下面的介绍也从这样的观点来进行在PISO算法中推进一个时层分裂成三步来完成：一个预估步与两个校正步，以期更好地满足速度与压力之间的耦合关系PISO算法中的前进一个时层的三个实施步骤如下： (1) 预估步——同SIMPLE算法,,(2)第一校正步——基本同SIMPLE算法,,,,,(3)第二校正步——PISO算法的特点在上述第一步校正计算获得的p*，u**，v**基础上，再来寻求二次改进值p**，u***，v***，目的是使它们能更好地同时满足动量方程及连续性方程：,。