数学分析课本(华师大三版)-习题及答案01.doc

1第一章 实数集与函数习题§1 实数1、 设 a 为有理数，x 为无理数证明：（1）a+ x 是无理数；（2）当 a≠0 时，ax 是无理数2、 试在数轴上表示出下列不等式的解：（1）x（ -1）>0；（2）|x-1|0，b>0，a≠b证明 介于 1 与 之间xba8、 设 p 为正整数证明：若 p 不是完全平方数，则 是无理数p9、 设 a、b 为给定实数试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解：（1）|x-a|0（a，b，c 为常数，且 a0，a≠1，x 为有理数证明sup{ |r 为有理数，r1，ra= inf{ |r 为有理数，r0） 6、 设函数 f（x）= ，求 f（2+x） ，f（2x） ，f（ ） ，f（f（x） ） ，f（ ） 2 )(1x7、 试问下列函数是由哪些基本初等函数复合而成：（1）y= ；（2）y= ；（3）y=lg（1+ ） ；（4）0)(x2)(arcsinx21xy= x2sin8、 在什么条件下，函数 y= 的反函数就是它本身？dcxb9、 试作函数 y=arcsin（sinx）的图象10、试问下列等式是否成立：(1)tan（arctanx）=x，x R；3(2)arctan（tanx）=x，x≠kπ+ ，k=0，±1，±2，…211、试问 y=|x|是初等函数吗？12、证明关于函数 y=[x]的如下不等式：（1）当 x>0 时，1-xb 时，x> ；2ba2ba（2）当 a>b 时，x> ；（3）当 a≥b>0 时， O。

5x14、 （1） （ⅰ）f（x）= （ⅱ）f（x）=,01sin,,ix;0,sin1x（2） （ⅰ）f（x）= （ⅱ）f（x）=,1,,323x.1,,|,32x典型习题解答1、 （§1 的第 3 题）设 a、b R证明：若对任何正数 有|a-b|b 或 ab 时，则|a-b|=a-b令 =a-b，则 为正数，与|a-b|=a-b0， k ，使得 =1-kxk21S，且 =1- >1- kx21再证 infS= ：由上已知 x S，有 ≤x又由于 >0， =1- = S，且211x2，只须取 = S，则 0， D ，使得 f（ ）- - ，可见- 是-f（x）的上界中最小者0x故 {-f（x）}=- =- f（x） DsupDin同理可证等式 f（x）=- f（x）成立isup。