机械能守恒定律应用(杆连接类问题)1.docx

系统机械能守恒问题（杆连接）一. 知识点分析 :1. 通过杆连接的物体系统，杆对两个物体都施加力的作用，物体各自的机械能不守恒， 但杆只使机械能在物体间转移，并不把机械能转化为其他形式的能，所以系统的机械能守恒2. 机械能守恒定律的表达方式，①物体在初状态的机械能 E1 等于其末状态的机械能 E2，即 E2=E1 或 Ek2+Ep2=Ek1 +Ep1②减少 ( 或增加 ) 的势能△Ep 等于增加 ( 或减少 ) 的总动能△E k, 即△EP=△Ek .③系统内一物体机械能的增加 ( 或减少 ) 等于另一物体机械能的减少 ( 或增加 ) ，即△E1=- △E2二．例题分析：【例 1】如图所示，质量分别为 2 m 和 3m 的两个小球固定在一根直角尺的两端 A、B，直角尺的顶点 O 处有光滑的固定转动轴 AO、BO 的长分别为 2L 和 L开始时直角尺的 AO 部分处于水平位置而 B 在 O 的正下方让该系统由静止开始自由转动，求：⑴当 A 到达最低点时， A 小球的速度大小 v；⑵ B 球能上升的最大高度 h；⑶开始转动后 B 球可能达到的最大速度 vm例 2】一根质量不计的细杆长为 2 L , 一端固定在光滑的水平转轴 O 上, 在杆的另一端和杆的中点各固定一个质量为 m 的小球 , 然后使杆从水平位置由静止开始 , 在竖直平面内自由下摆 , 如图所示 , 试求 :⑴ 杆向下摆至竖直位置时 , 两球的速度 .⑵ 杆从水平位置向下摆至竖直位置的过程中 , 杆对球 B 所做的功 .⑶ 摆至竖直位置时 , 杆 OA 和 AB 的张力 T1、T 2 之比 .AO B【例 3】如右图所示，轻质细杆的两端分别固定质量均为 m的两个小球 A 和 B，细杆可绕 O 轴在竖直 平面内无摩擦地自由转动， BO＝ 2AO，将细杆从水平静止状态自由释放， 求:(1) 细杆转到竖直位置时 A 和 B 的速度？（2）杆对 O轴作用力的大小和方向。

例 4】半径为 R 的光滑圆环竖直放置，环上套有两个质量分别为 m 和 2m 的小球 A 和 B，A，B 之间用一长为 R 的轻杆相连，如图所示，开始时， A，B 都静止，且 A 在圆环的最高点，现将 A,B 释放，求：（1）A 到最低点时的速度大小？（2）在第一问所述过程中杆对 B 球做的功？ AB【例 5】如图所示，倾角为 θ光滑斜面上放有两个质量均为 m 的小球 A 和 B， 两球之间用一根长为 L 的轻杆相连，下面的小球 B 离斜面底端的高度为 h，两球从静止开始下滑，不计球与地面碰撞时的机械能损失，且地面光滑，求：（ 1）两球在光滑水平面上运动时的速度大小；（ 2）此过程中杆对 A 球所做的功；ABhθ机械能守恒定律 应用 4----- 系统机械能守恒问题分析（杆连接类）参考答案例 1：解：以直角尺和两小球组成的系统为对象，由于转动过程不受摩擦和介质阻力，所以该系统的机械能守恒⑴过程中 A 的重力势能减少， A、B 的动能和 B 的重力势能增加， A 的即时速度总是 B 的v1/2 O A A O Aα O θ θBα BBv12 倍2mg 2L3mg L122m v221 3m v ，解得 v 2 28gL 11⑵B 球不可能到达 O 的正上方，它到达最大高度时速度一定为零，设该位置比 OA 竖直位置向左偏了 α 角。

2mg 2Lcosα =3mg L(1+sinα )，此式可化简为 4cosα -3sinα =3，利用三角公式可解得 sin(53 -α )=sin37， α =16 ⑶B 球速度最大时就是系统动能最大时，而系统动能增大等于系统重力做的功 WG设 OA从开始转过 θ 角时 B 球速度最大，1 2m 2v 221 3m2v 2 =2mg 2L sinθ -3mg L (1-cosθ )=mgL(4sinθ +3cosθ -3) ≤ 2mg L ，解得 vm4 gL11例 2： (1) vB = 2 vA mgL + 2 mgL = 1mv 2 + 1mv 2vA = 65g L vB = 24 g L 52 A 2 B1 2 2(2) 对小球 B , 由动能定理可得： 2 mgL + W =2 m vBW = 5 mg L(3) T 2 － mg =mvB22 L T2 =175 mgmv 2 28T1 － T 2 － mg =A2L T 1 =5 mg T 1 : T 2 = 28 : 17v1例 3：⑴2gL ,v 158gL 15⑵F =2.4 mg，竖直向上例 4：（ 1） A ， B 组成系统机械能守恒，当 A 运动至最低点时， A 下降的高度为 hA2R ，B 下降的高度为 hB2( RR cos 600 )R ，有：mghA2mghB1 mv 2A21 ( 2m)v 2B2又 A,B 速度大小相同，即： vA vB由以上得： vA vB2 6gR。

3（ 2）杆对 B 做的功为 W ，由动能定理：2m g hBW 1 (2m)v 2 0B22解得： Wm g R，3例 5：（ 1）两球系统机械能守恒，在水平面运动时速度相等，由机械能守恒定律：2mg( h1 L s i n ) 22 1 mv2 v 22ghgL s i n（ 2）因两球在光滑水平面运动的速度 v 比 B 球从 h 处自由下落的速度2gh 大，增加的动能就是杆对 B 做正功的结果， B 增加的动能为E 1 mv2k2mgh1 mgL sin ，2因系统机械能守恒，杆对 A 做负功，且 W1 mgLsin ，2。