空气动力学基础：第6章 高速可压流基础.ppt

EXIT1/120第第第第6 6章章章章 高速可压流基础高速可压流基础高速可压流基础高速可压流基础• 6.1 热力学基础知识—6.1.1 热力学的物系—6.1.2 完全气体假设与状态方程、内能和焓、热力学第一定律—6.1.3 熵，热力学过程，热力学第二定律•6.2 音速和马赫数—6.2.1 弱扰动与强扰动—6.2.2 微弱扰动传播过程与传播速度——音速—6.2.3 音速公式—6.2.4 马赫数EXIT2/120•6.3 高速一维定常流—6.3.1 一维定常绝热流的能量方程—6.3.2 一维定常绝热流参数间的基本关系式•6.4 微弱扰动的传播区，马赫锥与马赫波—6.4.1 微弱扰动的传播区，马赫锥—6.4.2 马赫波满足的基本关系•6.5 膨胀波—6.5.1 壁面外折δ —6.5.2 超音速流绕外钝角膨胀的计算•6·6 激波—6.6.1 正激波—6.6.2 斜激波—6.6.3 圆锥激波—6.6.4 收敛—扩张喷管在非设计状态下的工作EXIT3/1206.1 6.1 热力学基础知识热力学基础知识热力学基础知识热力学基础知识6.1.1 6.1.1 热力学的物系热力学的物系热力学的物系热力学的物系•热力学体系：和周围环境的其它物体划开的一个任意形态热力学体系：和周围环境的其它物体划开的一个任意形态的物质体系的物质体系（一）既无物质交换又无能量交往的，称为隔绝体系（一）既无物质交换又无能量交往的，称为隔绝体系 （二）无物质交换，但有能量交换的，称为封闭体系（二）无物质交换，但有能量交换的，称为封闭体系（三）有物质交换，也有能量交换的，称为开口体系（三）有物质交换，也有能量交换的，称为开口体系•高速流中遇到的情况绝大多数属于隔绝体系和封闭体系。

高速流中遇到的情况绝大多数属于隔绝体系和封闭体系经典热力学所处理的都是处于平衡状态下的物系但在分经典热力学所处理的都是处于平衡状态下的物系但在分析时我们也常用开口体系（控制体）析时我们也常用开口体系（控制体）EXIT4/1206.16.1、热力学基础知识、热力学基础知识、热力学基础知识、热力学基础知识6.1.2 完全气体假设与状态方程、内能和焓、热力学第一定律完全气体假设与状态方程、内能和焓、热力学第一定律1、完全气体假设与状态方程、完全气体假设与状态方程完全气体：完全气体：气体分子直径远小于分子的平均自由程，且分子间不气体分子直径远小于分子的平均自由程，且分子间不存在引力仅为完全弹性碰撞的气体称为完全气体，空气可被假设存在引力仅为完全弹性碰撞的气体称为完全气体，空气可被假设为完全气体为完全气体状态方程：状态方程：任何气体的压强、密度、绝对温度三者之间存在一定任何气体的压强、密度、绝对温度三者之间存在一定的关系，称为状态方程对于完全气体的状态方程为：的关系，称为状态方程对于完全气体的状态方程为：其中其中 R R 称为气体常数，空气的称为气体常数，空气的 R R = 287.053 = 287.053 N.m/(kg.KN.m/(kg.K) )。

EXIT5/120在热力学中，常常引入另外一个代表热含量的参数在热力学中，常常引入另外一个代表热含量的参数 h h（（焓）焓）由于由于 表示单位质量流体所具有的压能，故表示单位质量流体所具有的压能，故焓焓 h h 表示单位质表示单位质量流体所具有的内能和压能之和量流体所具有的内能和压能之和 2、内能、焓、内能、焓 气体气体内能内能是指分子微观热运动（与温度有关）所包含的动能是指分子微观热运动（与温度有关）所包含的动能与分子之间存在引力而形成的位能之和对于完全气体而言，分与分子之间存在引力而形成的位能之和。

对于完全气体而言，分子之间无引力，单位质量气体的内能子之间无引力，单位质量气体的内能 u 仅仅决定于分子间的热运仅仅决定于分子间的热运动，是温度的函数动，是温度的函数6.1.2 完全气体假设与状态方程、内能和焓、热力学一定律完全气体假设与状态方程、内能和焓、热力学一定律EXIT6/1203. 热力学热力学第一定律第一定律 热力学第一定律是一条能量守恒定律对一个封闭物系来热力学第一定律是一条能量守恒定律对一个封闭物系来说，经过一步说，经过一步无限微小的可逆过程无限微小的可逆过程，由外界给物系的热量，由外界给物系的热量 dQ 必等于物系的内能增量必等于物系的内能增量 dU 和该物系对外界膨胀所作的功和该物系对外界膨胀所作的功 pdV 这二者之和这二者之和(这里这里V是体积是体积)，即：，即： 这是静止物系的热力学第一定律的公式上式两端同除以这是静止物系的热力学第一定律的公式上式两端同除以物系的质量可得静止物系满足的单位质量能量方程物系的质量可得静止物系满足的单位质量能量方程 ：：6.1.2 完全气体假设与状态方程、内能和焓、热力学一定律完全气体假设与状态方程、内能和焓、热力学一定律EXIT7/120密度的倒数就是单位质量的体积，即比容密度的倒数就是单位质量的体积，即比容 。

单位质量的焓的微分是：单位质量的焓的微分是： 从而从而静止物系单位质量的能量方程可用焓表为：静止物系单位质量的能量方程可用焓表为：一个物系的压强、密度和温度都是一个物系的压强、密度和温度都是状态函数状态函数或称或称点函数点函数 ，内能，内能和焓都是状态函数或函数和焓都是状态函数或函数6.1.2 完全气体假设与状态方程、内能和焓、热力学一定律完全气体假设与状态方程、内能和焓、热力学一定律EXIT8/1204.比热比热比热：单位质量气体每加热升高一度时所吸收的热量比热：单位质量气体每加热升高一度时所吸收的热量比热的大小与热力学过程有关比热的大小与热力学过程有关 由静止气体热力学第一定律：由静止气体热力学第一定律： 定容过程的比热（定容过程的比热（cυ）和等压过程的比热（）和等压过程的比热（cp））:6.1.2 完全气体假设与状态方程、内能和焓、热力学一定律完全气体假设与状态方程、内能和焓、热力学一定律EXIT9/120•将比热关系和状态方程代入焓的表达将比热关系和状态方程代入焓的表达 可得可得梅耶公式梅耶公式：：•采用完全气体模型，比热及比热比采用完全气体模型，比热及比热比γ 都是常数。

完全气体的模都是常数完全气体的模型只能用到型只能用到 M 数不太高的超音速流为止对于数不太高的超音速流为止对于 M 数很高的高数很高的高超音速流动，则必须计及气体的非完全性超音速流动，则必须计及气体的非完全性 常规状态下空气的比热比：常规状态下空气的比热比：6.1.2 完全气体假设与状态方程、内能和焓、热力学一定律完全气体假设与状态方程、内能和焓、热力学一定律EXIT10/1201. 熵熵熵是反映热能可利用部分的指标，熵是反映热能可利用部分的指标，有意义的是熵增量有意义的是熵增量熵增量的定义是：系统经历可逆过程时的加热量与温度之比熵增量的定义是：系统经历可逆过程时的加热量与温度之比下标表示可逆：下标表示可逆：6.1.3 熵，热力学过程，热力学第二定律熵，热力学过程，热力学第二定律熵是熵是状态参数状态参数，这是因为熵增可以写为全微分：，这是因为熵增可以写为全微分：EXIT11/120熵增量的表达还可写为（根据上述二式）熵增量的表达还可写为（根据上述二式）：：因此因此等熵等熵即：即： 或：或： 或：或：6.1.3 熵，热力学过程，热力学第二定律熵，热力学过程，热力学第二定律EXIT12/1202.热力学过程热力学过程 系统可在各种条件下经历热力学过程从一种热力学状态变化系统可在各种条件下经历热力学过程从一种热力学状态变化到另一种热力学状态，不同的热力学过程可用其对应的压强和到另一种热力学状态，不同的热力学过程可用其对应的压强和比容关系即比容关系即 p~υ图表达出来图表达出来。

常见的热力学过程可用下式表达：常见的热力学过程可用下式表达： 其中其中 是比容是比容n=0－－等压过程－－等压过程n=1－－等温过程－－等温过程n=γ=Cp/Cv－－等等熵（（绝热可逆）可逆）过程程n=∞－－等容－－等容过程程n=其他－－多其他－－多变过程程6.1.3 熵，热力学过程，热力学第二定律熵，热力学过程，热力学第二定律EXIT13/120•热力学第二定律指出：在热力学第二定律指出：在绝热变化过程绝热变化过程中，如果过程中，如果过程可逆可逆，则，则熵值保持不变，熵值保持不变，  s=0 ，，称为称为等熵等熵过程；如果过程过程；如果过程不可逆不可逆，熵，熵值必增加，值必增加，  s>0因此，因此，热力学第二定律也称为热力学第二定律也称为熵增原理熵增原理。

•在高速流中，不可逆是因气体摩擦、激波出现以及因温度梯度在高速流中，不可逆是因气体摩擦、激波出现以及因温度梯度而引起一般在绝大部分流场区域速度梯度和温度梯度都不大，而引起一般在绝大部分流场区域速度梯度和温度梯度都不大，可近似视为绝热可逆的，称为等熵流动，等熵关系式成立可近似视为绝热可逆的，称为等熵流动，等熵关系式成立•在边界层及其后的尾迹区，激波附近区域，气体的粘性和热传在边界层及其后的尾迹区，激波附近区域，气体的粘性和热传导不能忽视区域，流动是熵增不可逆过程，等熵关系式不能用导不能忽视区域，流动是熵增不可逆过程，等熵关系式不能用 3. 热力学第二定律热力学第二定律 6.1.3 熵，热力学过程，热力学第二定律熵，热力学过程，热力学第二定律EXIT14/1206.2 音速和马赫数音速和马赫数6.2.1 弱扰动与强扰动弱扰动与强扰动 可压流场的流动现象与可压流场的流动现象与扰动传播速度和扰动传播区扰动传播速度和扰动传播区有关有关•如果描写流场的诸物理参数（如果描写流场的诸物理参数（ V ，， p ，，ρρ ，，T）发生了变化，）发生了变化，就说流场受到了扰动。

就说流场受到了扰动•使流动参数的数值改变得非常微小的扰动，称为微弱扰动简称使流动参数的数值改变得非常微小的扰动，称为微弱扰动简称为为弱扰动弱扰动，例如说话（即使是大声说话）时声带给空气的扰动，例如说话（即使是大声说话）时声带给空气的扰动就是如此就是如此 •使流动参数改变有限值的扰动，称为有一定强度的扰动简称为使流动参数改变有限值的扰动，称为有一定强度的扰动简称为强扰动强扰动，例如激波便是一种强扰动例如激波便是一种强扰动 EXIT15/1206.2.2 微弱扰动传播过程与传播速度微弱扰动传播过程与传播速度——音速音速•在不可压流中，微弱扰动传播速度在不可压流中，微弱扰动传播速度 a 是无限大，扰动瞬间将是无限大，扰动瞬间将传遍全部流场传遍全部流场•在可压流中，情况就不一样了因为气体是弹性介质，扰动在可压流中，情况就不一样了因为气体是弹性介质，扰动不会在一瞬间传遍整个流场，不会在一瞬间传遍整个流场，扰动的传播速度扰动的传播速度a不是无限大，不是无限大，而是有一定的数值而是有一定的数值 注意扰动的传播速度扰动的传播速度 a 与介质本身的运与介质本身的运动速度动速度 dV 是两码事，一般情况下是两码事，一般情况下 dV << a•音速音速——微弱扰动在弹性介质中的传播速度微弱扰动在弹性介质中的传播速度，是研究可压流，是研究可压流场的一个很重要的物理量。

场的一个很重要的物理量音速大小只与介质物理属性、状音速大小只与介质物理属性、状态、以及波传播过程的热力学性质有关，而同产生扰动的具态、以及波传播过程的热力学性质有关，而同产生扰动的具体原因无关体原因无关 EXIT16/1206.2.3 6.2.3 音速公式音速公式音速公式音速公式 如图充满气体的活塞，设想对活塞轻微的推动一下，则扰动便如图充满气体的活塞，设想对活塞轻微的推动一下，则扰动便以速度以速度a向右传播，扰动波未到达前后气体的参数如图所示取随波向右传播，扰动波未到达前后气体的参数如图所示取随波阵面阵面AA运动的相对坐标，我们从基本方程出发导出音速的表达式运动的相对坐标，我们从基本方程出发导出音速的表达式由质量守恒定律：由质量守恒定律：略二阶小量得：略二阶小量得：根据动量定理（向左为正）：根据动量定理（向左为正）： 整理得：整理得： 二式相除得：二式相除得：aa-dVp,ρ,Tp+dp,ρ+dρT+dTxEXIT17/1206.2.3 6.2.3 音速公式音速公式音速公式音速公式•由于音速的平方与密度变化量成反比，即同样的压强变化量由于音速的平方与密度变化量成反比，即同样的压强变化量下，音速的大小反映了密度变化的小大，下，音速的大小反映了密度变化的小大，因此音速因此音速 a 是介质是介质压缩性的一个指标。

压缩性的一个指标•由于介质的弹性模量定义为产生单位相对体积变化时（或产由于介质的弹性模量定义为产生单位相对体积变化时（或产生单位相对密度变化时）所需的压强变化量生单位相对密度变化时）所需的压强变化量 ，所以，所以弹性模量是反映介质压缩难易程度的指标弹性模量是反映介质压缩难易程度的指标 实际上音速可用实际上音速可用弹性模量弹性模量 E 写为：写为：•微弱扰动在空气中的传播可看成是等熵过程，将等熵关系代微弱扰动在空气中的传播可看成是等熵过程，将等熵关系代入音速公式入音速公式 可得：可得：例如在海平面空气的音速例如在海平面空气的音速a≈340m/s，而水的音速，而水的音速a≈1440m/s EXIT18/1206.2.4 6.2.4 马赫数马赫数马赫数马赫数马赫数：气流速度马赫数：气流速度 V 与当地音速与当地音速 a 之比之比•由于音速随高度（或温度）变化，因此在不同高度上，同样由于音速随高度（或温度）变化，因此在不同高度上，同样的的M 数並不一定表示速度相同数並不一定表示速度相同 •马赫数是一个非常重要的无量纲参数，是一个反映压缩性大马赫数是一个非常重要的无量纲参数，是一个反映压缩性大小的相似准则。

小的相似准则M 数的大小标志着运动空气压缩性的大小，数的大小标志着运动空气压缩性的大小，M 值越大则压缩性越大：值越大则压缩性越大：•可证当可证当 时，时， ，密度的相对变化不大，这时，密度的相对变化不大，这时可将低速气体近似视为不可压缩流体事实上即使是液体也可将低速气体近似视为不可压缩流体事实上即使是液体也不可能绝对不可压我们将低速气体看成不可压流体的原因不可能绝对不可压我们将低速气体看成不可压流体的原因在于，流动时引起密度的变化很小，因此不可压仍然是一种在于，流动时引起密度的变化很小，因此不可压仍然是一种理想化的假设模型，而这种模型具有一定程度的合理性理想化的假设模型，而这种模型具有一定程度的合理性 EXIT19/1206.2.4 6.2.4 马赫数马赫数马赫数马赫数•马赫数还代表单位质量气体的动能和内能之比，即马赫数还代表单位质量气体的动能和内能之比，即 M 数很小，说明单位质量气体的动能相对于内能而言很小，数很小，说明单位质量气体的动能相对于内能而言很小，速度的变化不会引起气体温度即内能的显著变化，因此对于不速度的变化不会引起气体温度即内能的显著变化，因此对于不可压流体其内能不变或温度不变，不考虑其热力关系。

可压流体其内能不变或温度不变，不考虑其热力关系 •对不可压流体来说，如果温度有变化，那一定是传热引起的，对不可压流体来说，如果温度有变化，那一定是传热引起的，但加热只能使温度升高或内能增加，不能使流体膨胀做功但加热只能使温度升高或内能增加，不能使流体膨胀做功 对于高速气体来说（对于高速气体来说（M 较大），即使是在绝热情况下，速度较大），即使是在绝热情况下，速度的变化会引起热力关系（的变化会引起热力关系（ p 、、ρρ 、、 T ）变化，内能将参与能）变化，内能将参与能量转换EXIT20/1206.3 6.3 高速一维定常流高速一维定常流高速一维定常流高速一维定常流•高速流动时，即使只是一维定常流动，由于密度高速流动时，即使只是一维定常流动，由于密度ρ和温度和温度 T 发生发生变化，流动参数增加为四个：变化，流动参数增加为四个： V 、、p、、ρ、、T•已经有了三个基本方程，它们是：连续方程、动量方程和状态已经有了三个基本方程，它们是：连续方程、动量方程和状态方程方程 •为了能解出四个流动参数，需要补充第四个方程为了能解出四个流动参数，需要补充第四个方程—能量方程能量方程 。

EXIT21/1206.3.1 6.3.1 一维定常绝热流的能量方程一维定常绝热流的能量方程一维定常绝热流的能量方程一维定常绝热流的能量方程1.一维定常一维定常流能量方程流能量方程•在第在第2章，我们讨论了能量方程即积分形式的能量方程为：章，我们讨论了能量方程即积分形式的能量方程为：•一维定常一维定常时时：：• 在在重力场重力场下即：下即：表明对流体微团加热和做功，等于微团内能增加、势能增加、表明对流体微团加热和做功，等于微团内能增加、势能增加、动能增加、对外膨胀做功以及压强做功（合为流动功）动能增加、对外膨胀做功以及压强做功（合为流动功）EXIT22/1206.3.1 6.3.1 一维定常绝热流的能量方程一维定常绝热流的能量方程一维定常绝热流的能量方程一维定常绝热流的能量方程•当当不考虑做功和略势能不考虑做功和略势能时流动子物系的能量守恒式为时流动子物系的能量守恒式为: 这个式子比静止物系多了两项，其中的这个式子比静止物系多了两项，其中的 是流动时所特有是流动时所特有的功，那是流体微团的体积不变，在压强有变化的流场中运动的功，那是流体微团的体积不变，在压强有变化的流场中运动时所作的功；另一项是动能的改变量。

时所作的功；另一项是动能的改变量 在一维定常在一维定常绝热绝热可压缩流中可压缩流中 ，上能量方程可积分为：，上能量方程可积分为：•用焓表示时，上述能量方程为：用焓表示时，上述能量方程为： EXIT23/1202.一维定常流能量方程的不同形式一维定常流能量方程的不同形式 根据焓的不同表达根据焓的不同表达 从而：从而：条件：沿流线定常、绝条件：沿流线定常、绝热、绝功、略势能、可热、绝功、略势能、可压缩、允许有粘性压缩、允许有粘性表明：沿流（线）管表明：沿流（线）管 V 增加时，增加时，h,T,a下降，但下降，但总能量不变总能量不变6.3.1 一维定常绝热流的能量方程一维定常绝热流的能量方程EXIT24/120 对于一维定常绝热流，我们可以确定流动参数沿流线（或沿对于一维定常绝热流，我们可以确定流动参数沿流线（或沿流管轴线）变化的关系式，但需给定参考点上的参数值流管轴线）变化的关系式，但需给定参考点上的参数值常常 用用的参考点是的参考点是驻点或临界点驻点或临界点1. 使用驻点参考量的参数关系式使用驻点参考量的参数关系式• 驻点指速度等熵地降为零的点。

在驻点处焓达到最大值，称驻点指速度等熵地降为零的点在驻点处焓达到最大值，称为为总焓总焓或或驻点焓驻点焓h0由由定常一维绝热流能量方程：定常一维绝热流能量方程：驻点处的温度，称为驻点处的温度，称为总温总温T0 ：： h0、、T0（或（或α0）可以代表一维绝热流的总能量，当）可以代表一维绝热流的总能量，当绝热时总焓和绝热时总焓和总温均不变总温均不变而T是是 V≠0 点处的当地温度，称为静温点处的当地温度，称为静温6.3.2 6.3.2 一维定常绝热流参数间的基本关系式一维定常绝热流参数间的基本关系式一维定常绝热流参数间的基本关系式一维定常绝热流参数间的基本关系式EXIT25/120•由前式可得总、静温之比为：由前式可得总、静温之比为：•在一维绝热有粘流中，我们定义流线上任一点（或任一截面）在一维绝热有粘流中，我们定义流线上任一点（或任一截面）处的处的总压总压 是该处流速等熵滞止为零时所达到的压强，或称是该处流速等熵滞止为零时所达到的压强，或称驻点压强驻点压强，根据等熵关系：，根据等熵关系：6.3.2 6.3.2 一维定常绝热流参数间的基本关系式一维定常绝热流参数间的基本关系式一维定常绝热流参数间的基本关系式一维定常绝热流参数间的基本关系式EXIT26/120•由等熵关系式还可写出密度比与温度比的关系为由等熵关系式还可写出密度比与温度比的关系为从而得到所谓的从而得到所谓的一维等熵关系式一维等熵关系式•对应的可将对应的可将ρρ0 0 看成流动等熵滞止时达到的密度，称为总密看成流动等熵滞止时达到的密度，称为总密度、驻点密度或滞止密度。

度、驻点密度或滞止密度对于一维等熵流，则对于一维等熵流，则 T0 ，，p0 ，，ρρ0 0 这三个这三个总参数总参数均不变均不变 其中第一式只要求绝热就成立其中第一式只要求绝热就成立说明一维绝热流中总、静温及说明一维绝热流中总、静温及相应的压强和密度之比均只取相应的压强和密度之比均只取决于当地决于当地M数数 6.3.2 6.3.2 一维定常绝热流参数间的基本关系式一维定常绝热流参数间的基本关系式一维定常绝热流参数间的基本关系式一维定常绝热流参数间的基本关系式EXIT27/120• 熵增与总压的关系熵增与总压的关系 由熵增公式：由熵增公式：对于对于1、、2两个状态，分别对应了总参数与静参数，且满足下列等两个状态，分别对应了总参数与静参数，且满足下列等熵关系：熵关系： 将上述关系代入熵增公式，并注意到绝热时总温不变将上述关系代入熵增公式，并注意到绝热时总温不变T01=T02 ：：对于绝热但不等熵的流动，由对于绝热但不等熵的流动，由ΔS＞＞0可知，虽然沿流动方向总温可知，虽然沿流动方向总温T0 不变，但不变，但 p02< p01，，总压总压 p0 值下降对等熵流动，总压不变。

因值下降对等熵流动，总压不变因此此总压可看成流动的总机械能总压可看成流动的总机械能6.3.2 6.3.2 一维定常绝热流参数间的基本关系式一维定常绝热流参数间的基本关系式一维定常绝热流参数间的基本关系式一维定常绝热流参数间的基本关系式EXIT28/120•气流按不可压缩处理的限度气流按不可压缩处理的限度当马赫数不大时，密度比可用二项式展为当马赫数不大时，密度比可用二项式展为M的级数：的级数：则密度的相对变化量可写为（略去则密度的相对变化量可写为（略去4阶以上小量）：阶以上小量）：密度变化的相对误差与马赫数的关系见上表显然密度变化的密度变化的相对误差与马赫数的关系见上表显然密度变化的相对误差随着马赫数增大而迅速增大，如果我们约定相对误差随着马赫数增大而迅速增大，如果我们约定4.5％是％是将密度视为不可压的误差上限，则将流体视为不可压的马赫数将密度视为不可压的误差上限，则将流体视为不可压的马赫数上限为上限为M<0.306.3.2 6.3.2 一维定常绝热流参数间的基本关系式一维定常绝热流参数间的基本关系式一维定常绝热流参数间的基本关系式一维定常绝热流参数间的基本关系式EXIT29/1202.使用临界参考量的参数关系式使用临界参考量的参数关系式 •在一维绝热流中，沿流线某点处的流速恰好等于当地的音速，在一维绝热流中，沿流线某点处的流速恰好等于当地的音速，即即M=1，则称为，则称为临界点或临界截面临界点或临界截面。

临界参数用上标临界参数用上标“*”表表示示 由绝热能量方程可得：由绝热能量方程可得： a* 称为临界音速：称为临界音速： 得临界点与滞止点温度比为：得临界点与滞止点温度比为：6.3.2 6.3.2 一维定常绝热流参数间的基本关系式一维定常绝热流参数间的基本关系式一维定常绝热流参数间的基本关系式一维定常绝热流参数间的基本关系式EXIT30/120 由等熵关系可得临界压强与驻点压强、临界密度与驻点密度由等熵关系可得临界压强与驻点压强、临界密度与驻点密度之间的关系：之间的关系： 由于临界音速由于临界音速 a* 正比于滞止音速正比于滞止音速 a0 ，即正比于，即正比于 ，故它，故它也可代表一维绝热流的总能量，同时可以作为一个参考量也可代表一维绝热流的总能量，同时可以作为一个参考量6.3.2 6.3.2 一维定常绝热流参数间的基本关系式一维定常绝热流参数间的基本关系式一维定常绝热流参数间的基本关系式一维定常绝热流参数间的基本关系式EXIT31/1206.3.2 6.3.2 一维定常绝热流参数间的基本关系式一维定常绝热流参数间的基本关系式一维定常绝热流参数间的基本关系式一维定常绝热流参数间的基本关系式速度系数速度系数 λ与马赫数与马赫数 M 之间的关系是：之间的关系是： • 速度系数速度系数 利用临界音速利用临界音速 a* 可以定义一个无量纲可以定义一个无量纲速度系数速度系数λ：：•采用速度系数采用速度系数 λ 的好处的好处是：当绝热时临界音速是：当绝热时临界音速 a* 是个定值，方是个定值，方便计算，而便计算，而 M 数中的音速数中的音速 a 还会随流动变化，计算不方便。

还会随流动变化，计算不方便EXIT32/120速度系数速度系数λλ与马赫数与马赫数M 的关系曲线见下图，其特点是：的关系曲线见下图，其特点是：M=0， λ=0；M＜1，λ＜1；M=1， λ=1；M＞1，λ＞1；6.3.2 6.3.2 一维定常绝热流参数间的基本关系式一维定常绝热流参数间的基本关系式一维定常绝热流参数间的基本关系式一维定常绝热流参数间的基本关系式•由绝热能量方程由绝热能量方程 可知，当温度可知，当温度 T 降为降为0，速度达到，速度达到最大：最大：当然根据热力学第二定律，实际上不可能用加速膨胀的方法使当然根据热力学第二定律，实际上不可能用加速膨胀的方法使气流毫无损失地将温度降到绝对零度气流毫无损失地将温度降到绝对零度EXIT33/120• 一维等熵关系式可用速度系数来表达一维等熵关系式可用速度系数来表达 绝热能量方程用滞止音速可写为：绝热能量方程用滞止音速可写为： 用右端同除式子，同时注意到右端还可表为总参数：用右端同除式子，同时注意到右端还可表为总参数： 从而绝热能量方程可写为：从而绝热能量方程可写为： 压强比与密度比关系可利用等熵关系写出：压强比与密度比关系可利用等熵关系写出：6.3.2 6.3.2 一维定常绝热流参数间的基本关系式一维定常绝热流参数间的基本关系式一维定常绝热流参数间的基本关系式一维定常绝热流参数间的基本关系式EXIT34/1206.3.2 6.3.2 一维定常绝热流参数间的基本关系式一维定常绝热流参数间的基本关系式一维定常绝热流参数间的基本关系式一维定常绝热流参数间的基本关系式 这三个用速度系数表达的式子也称为这三个用速度系数表达的式子也称为一维等熵关系式一维等熵关系式，其中，其中第一式只要求绝热即成立。

第一式只要求绝热即成立 可见可见随速度系数增加，温度、压强和密度一路都是下降的随速度系数增加，温度、压强和密度一路都是下降的 这些关系都做成了表格方便查阅这些关系都做成了表格方便查阅从而：从而：EXIT35/1201.等熵管流的速度与截面积关系等熵管流的速度与截面积关系又一维定常流又一维定常流微分形式的连续方程是：微分形式的连续方程是：综合两式，得等熵管流中速度变化与截面积变化的关系式：综合两式，得等熵管流中速度变化与截面积变化的关系式： 将音速公式将音速公式代入欧拉方程代入欧拉方程可得可得： 6.3.3 6.3.3 等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式EXIT36/120•发生音速处面积发生音速处面积 A 有极值，从物理上可判断该处有极值，从物理上可判断该处A 应是极小值应是极小值（反证）（反证）•亚音速（包括低速）时如果管截面收缩则流速增加，面积扩大亚音速（包括低速）时如果管截面收缩则流速增加，面积扩大则流速下降；超音速时情形则刚好相反。

则流速下降；超音速时情形则刚好相反从式从式我们可以看出：我们可以看出：6.3.3 6.3.3 等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式EXIT37/120•上述截面流速与截面积变化规律的上述截面流速与截面积变化规律的物理原因物理原因是：是：亚音速时密度亚音速时密度变化较速度变化为慢，而超音速时密度变化比流速变化快变化较速度变化为慢，而超音速时密度变化比流速变化快•亚音速时想增加流速，由连续方程亚音速时想增加流速，由连续方程 则截面积应缩小则截面积应缩小•超音速时想增加流速，由连续方程超音速时想增加流速，由连续方程 则截面积应放大则截面积应放大6.3.3 6.3.3 等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式EXIT38/120 由上已经看到，一维定常等熵流中由上已经看到，一维定常等熵流中密度密度ρ的的变化趋势与速度变化趋势与速度V相反相反，其他气流参数（，其他气流参数（p、、T）随速度）随速度V的变化趋势是怎样的？的变化趋势是怎样的？• 压强压强 p 变化趋势与速度相反变化趋势与速度相反 由微分形式的动量方程（欧拉方程）：由微分形式的动量方程（欧拉方程）： 将音速表达代入上式得：将音速表达代入上式得：• 温度温度 T变化趋势与速度也相反变化趋势与速度也相反 将上二式代入状态方程将上二式代入状态方程 可得温度比的关系：可得温度比的关系：2. 其它流动参数与截面积的关系其它流动参数与截面积的关系6.3.3 6.3.3 等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式EXIT39/120由这三个关系右端的系数可见，由这三个关系右端的系数可见，当速度增加时，当速度增加时， p、、ρ、、T 都是都是减小的，但减小的，但 p 减小最快，减小最快， ρ减小次之，而减小次之，而 T 减小最慢减小最慢（空气（空气γ＝＝1.4）。

即：即：6.3.3 6.3.3 等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式EXIT40/120面积面积 减小减小 增大增大 增大增大 减小减小 速度速度 增大增大 减小减小 增大增大 减小减小压力压力 减小减小 增大增大 减小减小 增大增大密度密度 减小减小 增大增大 减小减小 增大增大温度温度 减小减小 增大增大 减小减小 增大增大马赫数马赫数 增大增大 减小减小 增大增大 减小减小用以下图表来表示一维定常等熵变截面管流中的参数变化：用以下图表来表示一维定常等熵变截面管流中的参数变化：6.3.3 6.3.3 等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式EXIT41/1203. 拉瓦尔喷管或喷管拉瓦尔喷管或喷管•对一维等熵管流，如想让气流沿管轴线连续地从亚音速加速对一维等熵管流，如想让气流沿管轴线连续地从亚音速加速到超音速，即始终保持到超音速，即始终保持 dV＞＞0，则管道应先收缩后扩张，中，则管道应先收缩后扩张，中间为最小截面，即喉道。

间为最小截面，即喉道•即使气流在喉道之前收缩膨胀加速，在喉道处达到音速，之即使气流在喉道之前收缩膨胀加速，在喉道处达到音速，之后继续膨胀加速，达到超音速后继续膨胀加速，达到超音速6.3.3 6.3.3 等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式EXIT42/1206.3.3 6.3.3 等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式•一个喷管在出口截面一个喷管在出口截面产生产生 M＞＞1 的超音速气流的条件的超音速气流的条件是：是：—管道形状应成为拉瓦尔管形状管道形状应成为拉瓦尔管形状—在喷管上下游配合足够大的压强比在喷管上下游配合足够大的压强比•一个出口接大气的喷管，当喷管出口达到设计一个出口接大气的喷管，当喷管出口达到设计 M 数而出口压数而出口压强恰等于外界大气压强时，则喷管处于设计状态如果上游强恰等于外界大气压强时，则喷管处于设计状态如果上游压强过高或过低，喷管出口内外将出现激波或膨胀波。

压强过高或过低，喷管出口内外将出现激波或膨胀波EXIT43/1204. 流量公式与面积比关系流量公式与面积比关系 喷管截面积与马赫数的关系可由如下的喷管截面积与马赫数的关系可由如下的流量公式与面积比关流量公式与面积比关系系计算：计算：可见，用该式计算流量只需知道总压、总温、截面积和可见，用该式计算流量只需知道总压、总温、截面积和 q(λλ)6.3.3 6.3.3 等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式EXIT44/1206.3.3 6.3.3 等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式q（（λ）随）随 λ 变化的曲线如图，其特点是：变化的曲线如图，其特点是：当当λ=1时，时，q（（λ））=1；当；当λ=0 和和λ=λmax 时，时，q (λ)=0；； q (λ) 等函数与等函数与λ的关系均已做成表格的关系均已做成表格(附表附表4、、5)，可方便查读。

可方便查读流量函数还可用马赫数表达为流量函数还可用马赫数表达为：：流量函数：流量函数：EXIT45/120可得喷管中任一截面与喉道的可得喷管中任一截面与喉道的面积比关系面积比关系：：由管流的质量守恒关系：由管流的质量守恒关系：利用上述面积比关系可求出喷管中某截面处利用上述面积比关系可求出喷管中某截面处 λ（（M）数，或根据）数，或根据 λ （（M）数要求初步设计喷管，确定喷管出口与喉道面积比数要求初步设计喷管，确定喷管出口与喉道面积比由于由于流量函数流量函数 q(λλ)在在λλ＝＝1 1 处达到极大值处达到极大值 q(1 1)=1=1，因此当喉道，因此当喉道达音速时，下式规定了喷管的达音速时，下式规定了喷管的最大流量最大流量：：6.3.3 6.3.3 等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式EXIT46/120例：有一个超音速风洞，试验段截面积为例：有一个超音速风洞，试验段截面积为0.6m×0.6m正方形，喷管正方形，喷管是二维的（即等宽度是二维的（即等宽度0.6m），试验段），试验段 Mt=2.0，上游安定段总压，上游安定段总压p0=400kN/m2，，T0=293K。

试求喉道高度试求喉道高度h*，，试验段试验段 pt、、Vt、、m t解解：：(1)由由查表或通过计算得查表或通过计算得(2)(3)6.3.3 6.3.3 等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式等熵管流的流动参数与截面积关系、流量公式EXIT47/1206.4 6.4 微弱扰动的基本特征微弱扰动的基本特征微弱扰动的基本特征微弱扰动的基本特征6.4.16.4.1微弱扰动的传播区、马赫锥微弱扰动的传播区、马赫锥微弱扰动的传播区、马赫锥微弱扰动的传播区、马赫锥 亚音速流场和超音速流场有许多本质上的差别，其中之一是亚音速流场和超音速流场有许多本质上的差别，其中之一是小扰动的传播范围或者说影响区是不同的在一个均匀流场中扰小扰动的传播范围或者说影响区是不同的在一个均匀流场中扰源发出的小扰动均以音速向四周传播，影响区有下面四种情况：源发出的小扰动均以音速向四周传播，影响区有下面四种情况：μμ的定义域是：的定义域是：M≥1M≥1EXIT48/120（（a）在静止气体中（）在静止气体中（M=0）） 从某瞬间看，前从某瞬间看，前 i 秒发出的扰动波面是以扰源秒发出的扰动波面是以扰源O为中心、为中心、iα为半径的同心球面。

只要时间足够长，空间任一点均会受到扰源为半径的同心球面只要时间足够长，空间任一点均会受到扰源的影响，即扰源的影响区是全流场的影响，即扰源的影响区是全流场 （（b）亚音速气流中）亚音速气流中 (M<1) 前前 i 秒扰源发出的半径为秒扰源发出的半径为 iα的球面波要顺来流方向从的球面波要顺来流方向从O下移下移到到Oi点，点，OOi=iV由于iV＜＜iα，故扰动仍可遍及全流场故扰动仍可遍及全流场 （（c）音速气流中（）音速气流中（M=1）） iV=iα扰动影响半平面扰动影响半平面 （（d）超音速气流中（）超音速气流中（M＞＞1）） 此时此时OOi= iV＞＞iα扰源的影响不仅不能到扰源的影响不仅不能到O点的前方，而且局点的前方，而且局限在以限在以O为顶点所有扰动球面波包络面为顶点所有扰动球面波包络面—圆锥面即马赫锥以内圆锥面即马赫锥以内6.4.1 6.4.1 微弱扰动的传播区，马赫锥微弱扰动的传播区，马赫锥微弱扰动的传播区，马赫锥微弱扰动的传播区，马赫锥EXIT49/120•亚音速流场中扰动可遍及全流场，气流没有到达扰源之前已感亚音速流场中扰动可遍及全流场，气流没有到达扰源之前已感受到它的扰动，逐渐改变流向和气流参数以适应扰源要求；而受到它的扰动，逐渐改变流向和气流参数以适应扰源要求；而在音速和超音速流场中，扰动不会逆传到扰源上游，气流未到在音速和超音速流场中，扰动不会逆传到扰源上游，气流未到达扰源之前没有感受到任何扰动，故不知道扰源的存在。

达扰源之前没有感受到任何扰动，故不知道扰源的存在•超音速流中三维弱扰动的边界线是超音速流中三维弱扰动的边界线是马赫锥马赫锥，其半顶角称为，其半顶角称为马赫马赫角角 ，，M值越大则值越大则μ角越小二维弱扰动的边界线称角越小二维弱扰动的边界线称为为马赫线马赫线或或马赫波马赫波，马赫波与来流的夹角仍然是马赫角显然，马赫波与来流的夹角仍然是马赫角显然只有在音速和超音速情况下才可能存在马赫波或马赫锥只有在音速和超音速情况下才可能存在马赫波或马赫锥注：超音速流中（注：超音速流中强扰动以激波为界强扰动以激波为界，，激波是使压强、密度、温激波是使压强、密度、温度等产生突跃变化的界面，强扰动被度等产生突跃变化的界面，强扰动被限制在激波下游也不能逆限制在激波下游也不能逆传，传，激波角激波角与马赫角不同，需按照激波理论确定与马赫角不同，需按照激波理论确定6.4.1 6.4.1 微弱扰动的传播区，马赫锥微弱扰动的传播区，马赫锥微弱扰动的传播区，马赫锥微弱扰动的传播区，马赫锥EXIT50/1206.4.26.4.2微弱扰动马赫波满足的基本关系微弱扰动马赫波满足的基本关系微弱扰动马赫波满足的基本关系微弱扰动马赫波满足的基本关系•如图超音速流场中壁面在如图超音速流场中壁面在O点向点向外折微小的角度外折微小的角度 dδ（（规定外折规定外折为正）为正），则扰动被限制在由，则扰动被限制在由O点发出的马赫波点发出的马赫波OL的下游，扰动的下游，扰动的影响是使气流外折的影响是使气流外折 dδ这么大的角度。

这么大的角度OL线与原始气流的夹线与原始气流的夹角是：角是：•超音速气流受到微小扰动而使气流方向发生变化，扰动的界面超音速气流受到微小扰动而使气流方向发生变化，扰动的界面是马赫锥或马赫波，扰动包含了膨胀扰动和压缩扰动两种，以是马赫锥或马赫波，扰动包含了膨胀扰动和压缩扰动两种，以下讨论平面扰动，下讨论平面扰动，先考虑微小膨胀扰动先考虑微小膨胀扰动EXIT51/120如图将马赫波波前和波后的速度分解为垂直和平行波面的两个分如图将马赫波波前和波后的速度分解为垂直和平行波面的两个分量，取一个无穷靠近波面的控制体如图量，取一个无穷靠近波面的控制体如图由于在平行波方向上无压强变化，故切向动量方程是：由于在平行波方向上无压强变化，故切向动量方程是： 即切向分速相等：即切向分速相等：由几何关系：由几何关系：dδ微小的条件下保留一微小的条件下保留一阶小量小量得：得：VVdV6.4.26.4.2微弱扰动马赫波满足的基本关系微弱扰动马赫波满足的基本关系微弱扰动马赫波满足的基本关系微弱扰动马赫波满足的基本关系dδLVV’=V+dVμVtVt’oEXIT52/120•由于经过马赫波的流动可视为绝热流动，且由于参数变化微小由于经过马赫波的流动可视为绝热流动，且由于参数变化微小故可假设为等熵流动，因此前述等熵参数变化关系成立：故可假设为等熵流动，因此前述等熵参数变化关系成立：6.4.26.4.2微弱扰动马赫波满足的基本关系微弱扰动马赫波满足的基本关系微弱扰动马赫波满足的基本关系微弱扰动马赫波满足的基本关系此式即：此式即：•表明超音速时外折微小角度表明超音速时外折微小角度 dδ 将使流动加速，反之内折微小将使流动加速，反之内折微小角度将使流动减速。

角度将使流动减速将上述速度变化将上述速度变化 dV/V 与外折角与外折角 dδ 的关系式代入可得经外折角的关系式代入可得经外折角 dδ后的压强、密度和温度变化关系：后的压强、密度和温度变化关系：EXIT53/120 可见可见超音速经微小外折角后，伴随着气流速度增大，压强、超音速经微小外折角后，伴随着气流速度增大，压强、密度和温度均减小，气流膨胀，故称为密度和温度均减小，气流膨胀，故称为膨胀马赫波简称膨胀波；膨胀马赫波简称膨胀波；反之当璧面内折一个负的微小角度，则伴随着流速减小，压强、反之当璧面内折一个负的微小角度，则伴随着流速减小，压强、密度和温度增，气流发生压缩，故称为密度和温度增，气流发生压缩，故称为压缩马赫波简称压缩波压缩马赫波简称压缩波 经过经过马赫波（包括膨胀波与压缩波）后璧面上压强系数为：马赫波（包括膨胀波与压缩波）后璧面上压强系数为：6.4.26.4.2微弱扰动马赫波满足的基本关系微弱扰动马赫波满足的基本关系微弱扰动马赫波满足的基本关系微弱扰动马赫波满足的基本关系EXIT54/120•先考察气流在先考察气流在 O1 处经受外折微小角度处经受外折微小角度 dδ1 以后，又在以后，又在 O2、、O3 继续外折角度继续外折角度 dδ2 及及dδ3 •在超音速流中，扰动只向下游传播，所以，在新的折点在超音速流中，扰动只向下游传播，所以，在新的折点O2 上游，上游，气流保持气流保持 O1L1 下游的速度下游的速度 M2=M1+dM1，方向下折，方向下折dδ1。

流到流到 O2 时，受到新的扰动，穿过新的马赫波时，受到新的扰动，穿过新的马赫波O2L2，继续外折，继续外折 dδ2，，速度变为速度变为 M3=M2+dM2 与当地气流方向的夹角为：与当地气流方向的夹角为：6.5 6.5 膨胀波膨胀波膨胀波膨胀波6.5.16.5.1壁面外折壁面外折壁面外折壁面外折δ δEXIT55/120•由于由于 M2＞＞M1，所以，所以 μ2＜＜μ1 这就是说，第二道膨胀波与波前气流方向的夹角小于第一道这就是说，第二道膨胀波与波前气流方向的夹角小于第一道膨胀波的倾斜角膨胀波的倾斜角•但但 M2 的方向相对于的方向相对于 M1 而言已外折了而言已外折了 dδ1，故，故 O2L2 与与AO1 的的夹角是（夹角是（μ2 - dδ1），也就是说，相对于原始气流的方向而言，），也就是说，相对于原始气流的方向而言，O2L2 比比 O1L1 向右倾斜得利害一些向右倾斜得利害一些•同理，同理，μ3＜＜μ2＜＜μ1 ，，即，后产生的每一道膨胀波相对即，后产生的每一道膨胀波相对于原始气流的倾斜角都比前面的小，于原始气流的倾斜角都比前面的小，所以每道膨胀波不可能所以每道膨胀波不可能彼此相交，因而形成了一个连续的膨胀区域。

彼此相交，因而形成了一个连续的膨胀区域6.5 6.5 膨胀波膨胀波膨胀波膨胀波6.5.16.5.1壁面外折壁面外折壁面外折壁面外折δ δEXIT56/120•根据极限概念，曲线可以看作是无数条微元折线的极限因根据极限概念，曲线可以看作是无数条微元折线的极限因而，超音速气流绕外凸曲壁膨胀可看成连成一片的连续膨胀而，超音速气流绕外凸曲壁膨胀可看成连成一片的连续膨胀地带地带 绕有限值外钝角的流动也可看成从角点发出的连续膨绕有限值外钝角的流动也可看成从角点发出的连续膨胀波形成的胀波形成的 （普朗特（普朗特—迈耶流动迈耶流动 Prandtl-Meyer Flow））•由于变化是连续的，流场不会有很大的线变形率和角变形率，由于变化是连续的，流场不会有很大的线变形率和角变形率，粘性作用可以忽略，同时也没有很大的温度梯度，气体微团间粘性作用可以忽略，同时也没有很大的温度梯度，气体微团间也没有显著的热传导发生，也没有显著的热传导发生，流动可视为等熵的流动可视为等熵的6.5 6.5 膨胀波膨胀波膨胀波膨胀波6.5.16.5.1壁面外折壁面外折壁面外折壁面外折δ δEXIT57/120•值得指出的是，对于超音速绕多个微小内折直线段或凹曲面流动时值得指出的是，对于超音速绕多个微小内折直线段或凹曲面流动时必然进行压缩变化。

这个连续的曲面也可以看成是无限个微小直线必然进行压缩变化这个连续的曲面也可以看成是无限个微小直线段连成的折线璧面，每一线段转折一个微小角度，产生一道微小压段连成的折线璧面，每一线段转折一个微小角度，产生一道微小压缩波，这些微小压缩波对当地气流而言其波角都是马赫角，但由于缩波，这些微小压缩波对当地气流而言其波角都是马赫角，但由于气流经每一道压缩波后马赫数都下降一次，再加上波后气流沿璧向气流经每一道压缩波后马赫数都下降一次，再加上波后气流沿璧向内转折，两种因素都使压缩波在一定距离处聚拢，末端形成一道具内转折，两种因素都使压缩波在一定距离处聚拢，末端形成一道具有一定强度的突跃的压缩波即斜激波，其波角不能用马赫角计算有一定强度的突跃的压缩波即斜激波，其波角不能用马赫角计算由于经过激波时参数发生剧烈改变，粘性不能忽略，由于经过激波时参数发生剧烈改变，粘性不能忽略，流动不等熵流动不等熵当璧面在当璧面在o点直接内折一个非微小量的角度点直接内折一个非微小量的角度δ时，形成从，形成从o点点发出的始出的始终具有一定具有一定强度的斜激波度的斜激波EXIT58/1206.5.26.5.2超音速流绕外钝角膨胀的计算超音速流绕外钝角膨胀的计算超音速流绕外钝角膨胀的计算超音速流绕外钝角膨胀的计算•我们已经从物理概念上讨论了膨胀波。

现在，我们来对膨胀我们已经从物理概念上讨论了膨胀波现在，我们来对膨胀波进行定量的讨论，目的是波进行定量的讨论，目的是求出折角与流速之间的函数关系求出折角与流速之间的函数关系•根据超音速气流外折无限小的角度根据超音速气流外折无限小的角度 dδ 时，速度的改变量时，速度的改变量 dV 与与 折角折角 dδ 之间的关系：之间的关系：•如果将上式右端表为速度系数如果将上式右端表为速度系数λλ或马赫数或马赫数 M 的微分即可积的微分即可积分求出折角与流速之间的关系分求出折角与流速之间的关系EXIT59/120对上式积分可得：对上式积分可得：式中式中 C 是积分常数，由初始条件确定是积分常数，由初始条件确定现在，现在，我们规定我们规定：当：当 λ=1 时，气流方向为时，气流方向为δ=0 将此条件入上将此条件入上式，即得式，即得 C=06.5.2 6.5.2 超音速流绕外钝角膨胀的计算超音速流绕外钝角膨胀的计算超音速流绕外钝角膨胀的计算超音速流绕外钝角膨胀的计算上述关系可用速度系数上述关系可用速度系数λ表达为：表达为：EXIT60/120•对于原始气流速度为音速（对于原始气流速度为音速（λ=1）的情况而言，膨胀波中任何）的情况而言，膨胀波中任何地方的当地速度系数地方的当地速度系数 λ 与当地的气流折角与当地的气流折角δ（（从从λ=1算起算起）之间）之间的函数关系是：的函数关系是：或代换成马赫数的函数：或代换成马赫数的函数：•只要知道了当地的气流折角只要知道了当地的气流折角δ，就可以唯一地确定当地速度系，就可以唯一地确定当地速度系数数λ，反之亦然。

取一系列，反之亦然取一系列λ去算出对应的去算出对应的δ比较容易，这样只比较容易，这样只算一次，列成表格备查即可（表算一次，列成表格备查即可（表7－－1）又因膨胀过程是等熵）又因膨胀过程是等熵过程，相对应的过程，相对应的 亦都列在表中亦都列在表中6.5.2 6.5.2 超音速流绕外钝角膨胀的计算超音速流绕外钝角膨胀的计算超音速流绕外钝角膨胀的计算超音速流绕外钝角膨胀的计算EXIT61/120上述上述δ与与λ的的关系还可用关系还可用积分推导积分推导根据根据λλ与与 M 的关系求微分可得的关系求微分可得：：代入代入dδ的的表达式：表达式：可得：可得：积分可得（规定积分可得（规定M＝＝1 时时δ＝＝0）：）：6.5.2 6.5.2 超音速流绕外钝角膨胀的计算超音速流绕外钝角膨胀的计算超音速流绕外钝角膨胀的计算超音速流绕外钝角膨胀的计算EXIT62/120膨胀马赫波膨胀马赫波L1 与与 L2 之间的夹角之间的夹角θθ 可由几何关系写出：可由几何关系写出： 由于由于δ及及μμ都与膨胀后都与膨胀后的马赫波的马赫波 L2 对应的速度对应的速度λλ2 2 或或 M M2 2 有关，有关，因因此此θ 角是唯一确定的，可列在数据表中。

角是唯一确定的，可列在数据表中θ6.5.2 6.5.2 超音速流绕外钝角膨胀的计算超音速流绕外钝角膨胀的计算超音速流绕外钝角膨胀的计算超音速流绕外钝角膨胀的计算EXIT63/120•显然显然λ是随膨胀角是随膨胀角δ的增大的增大 而增大的而增大的•但是，当但是，当λ达到达到 时，气流理论上膨胀到真空，压强降到零，时，气流理论上膨胀到真空，压强降到零，即使增大即使增大δ，气流也不可能再加速了与之相对应的气流折角，，气流也不可能再加速了与之相对应的气流折角，称为最大折角称为最大折角δmax 因为：因为： 代入：代入： 可得：可得：空气的空气的 =1.4 ，， =130.45º = 130°27’6.5.2 6.5.2 超音速流绕外钝角膨胀的计算超音速流绕外钝角膨胀的计算超音速流绕外钝角膨胀的计算超音速流绕外钝角膨胀的计算EXIT64/120物理面物理面 速度面速度面•如果实际折角大于如果实际折角大于 ，气流在折转了，气流在折转了 以后就不再贴着物面以后就不再贴着物面流动了，而与等物面流动了，而与等物面“分离分离”了，形成了一定的真空区如下图：了，形成了一定的真空区如下图： 不过，这个不过，这个“分离分离”与上两章讲的与上两章讲的粘流分离现象在本质上是不同的。

粘流分离现象在本质上是不同的6.5.2 6.5.2 超音速流绕外钝角膨胀的计算超音速流绕外钝角膨胀的计算超音速流绕外钝角膨胀的计算超音速流绕外钝角膨胀的计算EXIT65/120例题：参看下图，已知例题：参看下图，已知λ=1.0 的气流（的气流（γ =1.4）绕外钝角折转）绕外钝角折转 100 ，， p1 =1 大气压大气压(绝对绝对)，试求膨胀结束后气流的，试求膨胀结束后气流的λ2 及及 p2 解：由数值表查得，当解：由数值表查得，当δ=10°时时又因又因故得故得大气压（绝对）6.5.2 6.5.2 超音速流绕外钝角膨胀的计算超音速流绕外钝角膨胀的计算超音速流绕外钝角膨胀的计算超音速流绕外钝角膨胀的计算EXIT66/120•根据给定的值从数值表上查出对应于根据给定的值从数值表上查出对应于λ1=1 的假想折角的假想折角 ；； •把把 与给定的与给定的δ 相加，得总折角相加，得总折角 ；；•按按 到表上查找对应的流动参数，就是到表上查找对应的流动参数，就是λ1＞＞1 的气流外折的气流外折δ角角后所达到数值后所达到数值。

例题：参看下图，已知例题：参看下图，已知λ1=1.323，在，在C点点外折外折10°试求试求M2 （给定（给定 =1.4）当当λ1≠1，计算步骤为：，计算步骤为：•虽然数值表是根据虽然数值表是根据λ1=1 作出来的，但並不是说作出来的，但並不是说λ1≠1 时就不能用时就不能用怎样用呢？只要怎样用呢？只要设想实际的设想实际的 λ1 是由是由λ=1 折转了某一个角度折转了某一个角度δ′而而来的来的就行了请看下例请看下例6.5.2 6.5.2 超音速流绕外钝角膨胀的计算超音速流绕外钝角膨胀的计算超音速流绕外钝角膨胀的计算超音速流绕外钝角膨胀的计算EXIT67/120解：将左图可以想象成右图那样，解：将左图可以想象成右图那样，λ1=1.323是相当于是相当于λ=1 的气流预的气流预先转折了先转折了δ′得到的由数值表查得，得到的由数值表查得，λ1=1.323 的气流对应着的气流对应着δ′=10°，，因此，因此，λ2 是相当于是相当于λ=1 的气流一共外折了：的气流一共外折了： 由数值表查得，由数值表查得， λ=1 的气流折转的气流折转δ=20°得到的速度系数是得到的速度系数是λ2=1.523 ，即，即 M2=1.775。

可以这样做的原因在于可以这样做的原因在于超音速时扰超音速时扰动不逆传动不逆传6.5.2 6.5.2 超音速流绕外钝角膨胀的计算超音速流绕外钝角膨胀的计算超音速流绕外钝角膨胀的计算超音速流绕外钝角膨胀的计算EXIT68/1206·6 6·6 激波激波激波激波超音速气流中的基本物理现象有两种，一是膨胀波，另一种超音速气流中的基本物理现象有两种，一是膨胀波，另一种是所谓激波激波是超音速流中的强扰动现象，是一种强压缩波是所谓激波激波是超音速流中的强扰动现象，是一种强压缩波我们将从最简单的正激波入手，然后，在此基础上推广应用于斜我们将从最简单的正激波入手，然后，在此基础上推广应用于斜激波最后，简单地讨论圆锥激波最后，简单地讨论圆锥激波超音速风洞中产生的正激波（流向从右至左，接超音速风洞中产生的正激波（流向从右至左，接近璧面的近璧面的λλ形波是正激波与边界层干扰造成的形波是正激波与边界层干扰造成的））EXIT69/1206.6.1 6.6.1 正激波正激波正激波正激波1. 1. 正激波的形成正激波的形成正激波的形成正激波的形成•如果在一根长管中充满了静止气体，压强为如果在一根长管中充满了静止气体，压强为 p1，密度为，密度为ρ1 ，， 温度为温度为 T1 。

管之左端用一个活塞封住管之左端用一个活塞封住•从从 t=0 起到起到 t=t1 为止，活塞向右做急剧的加速运动，为止，活塞向右做急剧的加速运动，t1 以后以以后以匀速前进匀速前进•从从 t=0 到到t=t1的加速过程中，活塞以右的气体受到越来越强的的加速过程中，活塞以右的气体受到越来越强的压缩，假设压缩，假设 t1 时与活塞接触的气体压强由原来的时与活塞接触的气体压强由原来的 p1上升到上升到 p2 ，，AA 界面是第一个扰动所达到的地方，其右是未经扰动的气界面是第一个扰动所达到的地方，其右是未经扰动的气体，以左是已经被压缩过的气体，而且越靠活塞压缩越厉害，体，以左是已经被压缩过的气体，而且越靠活塞压缩越厉害，气体的压强由气体的压强由AA处的处的 p1 连续地上升到活塞处的连续地上升到活塞处的 p2 EXIT70/120•我们可以把这个连续的变化看作是无数个微小的压缩波，每我们可以把这个连续的变化看作是无数个微小的压缩波，每一道波使压强提高一个一道波使压强提高一个 ，每一小步的压缩波都以当地的，每一小步的压缩波都以当地的音速向右推进音速向右推进•活塞初动时的第一道小波以活塞初动时的第一道小波以 的速度向右推进，的速度向右推进，该波扫过的气体，压强和温度都有微小提高。

该波扫过的气体，压强和温度都有微小提高•第二道小波向右推进的速度是第二道小波向右推进的速度是 ，比第，比第一道波快第三道波又在第二道之后，每道居后的波都在追一道波快第三道波又在第二道之后，每道居后的波都在追赶它前面的波赶它前面的波•t1 时时AA到到BB的长度，必随时间的前进越来越短的长度，必随时间的前进越来越短6.6.1 6.6.1 正激波正激波正激波正激波1. 1. 正激波的形成正激波的形成正激波的形成正激波的形成EXIT71/120•再经过一定时间，所有后产生的波都追上了第一道波，整个再经过一定时间，所有后产生的波都追上了第一道波，整个波区波区A-B的长度缩短为零，无数多道微弱压缩波叠在一起，形的长度缩短为零，无数多道微弱压缩波叠在一起，形成一张具有一定强度的突跃压缩面成一张具有一定强度的突跃压缩面S-S•在在S-S未到之处，气体完全没有受到压缩，而只要未到之处，气体完全没有受到压缩，而只要S-S一到，一到，气体就突然受到压缩，压强由气体就突然受到压缩，压强由 p1 突然增大到突然增大到 p2 。

这样一个这样一个突跃的压缩面突跃的压缩面 S-S，， 称为激波称为激波•因因 S-S 面与气流方向垂直，这种激波称为正激波面与气流方向垂直，这种激波称为正激波 •上面讨论时未考虑气体微团的运动速度，气体原来静止，经上面讨论时未考虑气体微团的运动速度，气体原来静止，经第一道波压缩之后，气体微团多少有了一点向右的运动速度，第一道波压缩之后，气体微团多少有了一点向右的运动速度，所以第二道波的速度还应叠加该气体运动速度，两个因素都所以第二道波的速度还应叠加该气体运动速度，两个因素都是使第二道波比第一道波快激波形成是必然的是使第二道波比第一道波快激波形成是必然的6.6.1 6.6.1 正激波正激波正激波正激波1. 1. 正激波的形成正激波的形成正激波的形成正激波的形成EXIT72/1206.6.1 6.6.1 正激波正激波正激波正激波1. 1. 正激波的形成正激波的形成正激波的形成正激波的形成EXIT73/120正激波一旦形成就会以一定速度正激波一旦形成就会以一定速度 Vs （必大于（必大于a1）向右推进，）向右推进，激波扫过的气体压强、密度、温度均突跃升高，同时气体微团速激波扫过的气体压强、密度、温度均突跃升高，同时气体微团速度也突然升高为度也突然升高为Vg ，， Vg 远远小于远远小于Vs ，活塞停止加速后，也必须，活塞停止加速后，也必须以以Vg 跟着向右运动，否则活塞与气体之间就会发生真空。

跟着向右运动，否则活塞与气体之间就会发生真空6.6.1 6.6.1 正激波正激波正激波正激波2. 2. 正激波的推进速度与兰金－雨贡纽关系式正激波的推进速度与兰金－雨贡纽关系式正激波的推进速度与兰金－雨贡纽关系式正激波的推进速度与兰金－雨贡纽关系式取如图与激波固连的控制体，由取如图与激波固连的控制体，由质量方程：质量方程：动量方程：动量方程：可解出激波推可解出激波推进速度速度 Vs 与波后气体速度与波后气体速度Vg 分别为：分别为：绝对坐坐标相相对坐坐标EXIT74/120实际上激波前后密度上激波前后密度变化是根据化是根据压强强变化确定的由能量方程：化确定的由能量方程：将上述将上述Vs 和和Vg的关系代入上能量方程可解出密度比：的关系代入上能量方程可解出密度比：这个关系称个关系称为兰金－雨金－雨贡纽关系式（关系式（Rankine – Hugoniot）） ，它，它规定了激波的密度比由定了激波的密度比由压强强比所决定也称比所决定也称为突突跃绝热关系2. 2. 正激波的推正激波的推正激波的推正激波的推进进速度与速度与速度与速度与兰兰金－雨金－雨金－雨金－雨贡纽贡纽关系式关系式关系式关系式EXIT75/120由此图看出：由此图看出：（（—）当压强比不大，即激波强度不大时，突跃绝热线与等熵线几）当压强比不大，即激波强度不大时，突跃绝热线与等熵线几乎是重合的。

这表明，乎是重合的这表明，跨过弱激波的过程非常接近于等熵过程跨过弱激波的过程非常接近于等熵过程；；（二）压强比愈大，即激波愈强时，突跃绝热过程与等熵过程的差（二）压强比愈大，即激波愈强时，突跃绝热过程与等熵过程的差别愈大；别愈大；（三）在突跃绝热过程中，即使（三）在突跃绝热过程中，即使 ，密度比也只能趋于有，密度比也只能趋于有限值，但等熵过程密度比趋于无限大限值，但等熵过程密度比趋于无限大兰金－雨金－雨贡纽关系与等关系与等熵关系的比关系的比较见图：：2. 2. 正激波的推正激波的推正激波的推正激波的推进进速度与速度与速度与速度与兰兰金－雨金－雨金－雨金－雨贡纽贡纽关系式关系式关系式关系式EXIT76/120激波推激波推进速度和波后气体速度式速度和波后气体速度式还可写可写为：： 可可见，，激波相激波相对于波前气流是超音速的于波前气流是超音速的，激波推，激波推进速度越大速度越大则激波激波强强度就越度就越强强，当激波很弱，当激波很弱时 p2/p1≈1 ，激波推，激波推进速度无限速度无限接近波前未受接近波前未受扰动气流的音速气流的音速 a1。

激波相激波相对于波后气流是于波后气流是亚音速的音速的，激波越，激波越强强时激波相激波相对于波于波后气体的推后气体的推进速度就越小速度就越小2. 2. 正激波的推正激波的推正激波的推正激波的推进进速度与速度与速度与速度与兰兰金－雨金－雨金－雨金－雨贡纽贡纽关系式关系式关系式关系式EXIT77/120例：例：长管中静止空气的管中静止空气的压强强p1=1大气大气压，，ρ1=1.225kg/m2, T1=288K用活塞活塞压缩空气空气产生正激波，生正激波， p2=2大气大气压求激波Vs、、 Vg和和 a2 解：解：可可见 Vs> a1 ，即正激波相，即正激波相对于波前的气体其推于波前的气体其推进速度是超音速的，速度是超音速的， Vs -Vg< a2 ，即相，即相对于波后气体于波后气体则是是亚音速的注意在管道中注意在管道中产生生正激波并不需要活塞以超音速运正激波并不需要活塞以超音速运动2. 2. 正激波的推正激波的推正激波的推正激波的推进进速度与速度与速度与速度与兰兰金－雨金－雨金－雨金－雨贡纽贡纽关系式关系式关系式关系式EXIT78/120对于二维和三维流场上物体产生的正激波，例如超音速飞机头部产对于二维和三维流场上物体产生的正激波，例如超音速飞机头部产生的正激波，物体（飞机）以亚音速运动时不能像管中活塞那样产生生的正激波，物体（飞机）以亚音速运动时不能像管中活塞那样产生激波，因为没有横向璧面的限制，气体在物体到达之前就从横向绕开激波，因为没有横向璧面的限制，气体在物体到达之前就从横向绕开了，不能形成突跃压缩。

物体须以超音速运动才能形成与物体相同的了，不能形成突跃压缩物体须以超音速运动才能形成与物体相同的超音速前进的激波这样形成的正激波与管中正激波性质上相同，前超音速前进的激波这样形成的正激波与管中正激波性质上相同，前面的公式都能用面的公式都能用p1ρ1 λ1p2ρ2 λ2激激波波3. 3. 正激波前后的参数计算正激波前后的参数计算正激波前后的参数计算正激波前后的参数计算 为了了进一步一步计算激波前后的参数关系，我算激波前后的参数关系，我们仍然用如仍然用如图的相的相对座座标来来处理理问题，其好，其好处是可以直接是可以直接应用定常流的基本方程来用定常流的基本方程来进行分析EXIT79/120（（1）波前波后速度系数关系）波前波后速度系数关系对虚线控制面应用动量方程，得：对虚线控制面应用动量方程，得：用连续方程用连续方程 除以上式得：除以上式得： 其中的压强密度比可用绝热能量方程表为速度和临界音速的函其中的压强密度比可用绝热能量方程表为速度和临界音速的函数，由：数，由： 即：即：3. 3. 正激波前后的参数计算正激波前后的参数计算正激波前后的参数计算正激波前后的参数计算p1ρ1 λ1p2ρ2 λ2激激波波EXIT80/120将将 p/ρρ的表达代入前式，化为全由的表达代入前式，化为全由V1 、、V2 和和 a* 表达的式子：表达的式子：上式有两个解：一个是上式有两个解：一个是 V1=V2 ，这表示没有激波，所以这个解没，这表示没有激波，所以这个解没有意义。

另一个解是：有意义另一个解是：由此得：由此得：这就是说：这就是说： 该式称为该式称为普朗特激波关系式，说明超音速经正激波后必为亚音速普朗特激波关系式，说明超音速经正激波后必为亚音速3. 3. 正激波前后的参数计算正激波前后的参数计算正激波前后的参数计算正激波前后的参数计算EXIT81/120 （（2））正激波前后马赫数关系正激波前后马赫数关系由由λλ与与 M M 的关系的关系：：代入代入 λ1λ2＝＝1 得：得：M1M2113. 3. 正激波前后的参数计算正激波前后的参数计算正激波前后的参数计算正激波前后的参数计算EXIT82/120（（3）密度比与）密度比与 M1 的关系的关系 由：由：将将λ与与 M 的的关系代入得：关系代入得： （（4）压强比与）压强比与 M1 的关系的关系 由动量方程：由动量方程： 通除以通除以 p1，得，得：M111λ1λ123. 3. 正激波前后的参数计算正激波前后的参数计算正激波前后的参数计算正激波前后的参数计算EXIT83/120代入密度比关系並整理后，得：代入密度比关系並整理后，得： 可见与密度比为有限值不同，压强比可见与密度比为有限值不同，压强比正比于正比于 M12 ，当，当 M1 足够大之后将变得足够大之后将变得很大。

很大 （（5）温度比与）温度比与 M1 的关系的关系 由状态方程：由状态方程： ，代入压强比和密度比关系，代入压强比和密度比关系得得： M111ρ2/ρ1T2/T1p2/p13. 3. 正激波前后的参数计算正激波前后的参数计算正激波前后的参数计算正激波前后的参数计算EXIT84/120（（6）总温比）总温比 因为是绝热流，总温不变，即：因为是绝热流，总温不变，即： 或或 ，与，与 M1 无关 （（7）总压比与）总压比与 M1 的关系的关系 由一维等熵关系式：由一维等熵关系式： 将上述将上述 p2/p1 ~ M1 的关系和的关系和 M2 ~ M1 （或（或T1/T2~ M1 ）的关系）的关系代入可得：代入可得：3. 3. 正激波前后的参数计算正激波前后的参数计算正激波前后的参数计算正激波前后的参数计算EXIT85/120如图，如图， M1 越大则总压损失越大：越大则总压损失越大：M1p02/p0111（（8）总密度比）总密度比 由绝热关系由绝热关系 T02＝＝ T01 和状态方程，对于和状态方程，对于 M1>1 的超音速流：的超音速流：3. 3. 正激波前后的参数计算正激波前后的参数计算正激波前后的参数计算正激波前后的参数计算EXIT86/1203. 3. 正激波前后的参数计算正激波前后的参数计算正激波前后的参数计算正激波前后的参数计算EXIT87/120（（9）正激波的熵增量与总压损失的关系）正激波的熵增量与总压损失的关系 由熵增公式：由熵增公式： 利用总静参数之间关系可得：利用总静参数之间关系可得：•经过激波可看成绝热流动有经过激波可看成绝热流动有T02=T01：：•由于经过由于经过 M>1 的正激波是熵增过程，的正激波是熵增过程，ΔΔS S > 0,0,显然显然经过正激经过正激波后总压下降，波后总压下降，σσ< 1 1。

上式将经过正激波的总压下降程度与上式将经过正激波的总压下降程度与熵增量在数值上密切联系起来了熵增量在数值上密切联系起来了3. 3. 正激波前后的参数计算正激波前后的参数计算正激波前后的参数计算正激波前后的参数计算EXIT88/120 将激波前后总压比代入熵增关系：将激波前后总压比代入熵增关系： 可得：可得：•当当 M1>1 时，经过激波熵增量总是正的；而当时，经过激波熵增量总是正的；而当 M1<1 时，熵增量时，熵增量总是负的总是负的说明只有在超音速流中才可能产生激波说明只有在超音速流中才可能产生激波且且 M1 不大不大时熵增很小时熵增很小•而而在亚音速流中根本不可能产生激波在亚音速流中根本不可能产生激波亚音速气流突跃变为超亚音速气流突跃变为超音速气流的情形是不可能发生的，如果在亚音速流中产生激波音速气流的情形是不可能发生的，如果在亚音速流中产生激波的话，就直接违反了热力学第二定律的话，就直接违反了热力学第二定律3. 3. 正激波前后的参数计算正激波前后的参数计算正激波前后的参数计算正激波前后的参数计算EXIT89/120（（10）熵与激波强度的关系）熵与激波强度的关系——弱激波可以看作等熵波弱激波可以看作等熵波 激波强度激波强度 P 定义为通过激波的压强增量与波前压强之比：定义为通过激波的压强增量与波前压强之比：可见激波强度正比于可见激波强度正比于 （（M2 －－1））所谓弱激波指的是强度所谓弱激波指的是强度P趋近于零的激波趋近于零的激波 。

由上式看出弱激波的由上式看出弱激波的 M1 必趋近于必趋近于1而弱激波可以被看作等熵波弱激波可以被看作等熵波可以证明：可以证明：3. 3. 正激波前后的参数计算正激波前后的参数计算正激波前后的参数计算正激波前后的参数计算EXIT90/120•当当激波强度很弱时激波强度很弱时，通过激波所引起的，通过激波所引起的熵增量是与激波强度熵增量是与激波强度的三次方同阶的三次方同阶的因而在一级近似计算中，完全可以不考虑的因而在一级近似计算中，完全可以不考虑弱激波引起的熵增量，弱激波引起的熵增量，可以将激波作为等熵波可以将激波作为等熵波看待•究竟究竟 M1 多大时可以算作弱激波多大时可以算作弱激波? 若规定总压损失不超过若规定总压损失不超过1%，则波前马赫数允许达到，则波前马赫数允许达到1.2或：或：3. 3. 正激波前后的参数计算正激波前后的参数计算正激波前后的参数计算正激波前后的参数计算EXIT91/120关于熵增与激波强度关系的证明关于熵增与激波强度关系的证明*：：将兰金－雨贡纽关系写为：将兰金－雨贡纽关系写为：代入熵增表达得：代入熵增表达得：展开并化简得：展开并化简得：EXIT92/120（（11）超音速风速管测速原理和计算公式）超音速风速管测速原理和计算公式 超音速飞机上使用的风速管与低速风速管形状基本相同。

超音速飞机上使用的风速管与低速风速管形状基本相同此时头部总压孔测出的不是来流的总压而是正激波后的总压此时头部总压孔测出的不是来流的总压而是正激波后的总压飞行马赫数可用下式计算：飞行马赫数可用下式计算：代入代入 M2 与与 M1 的关系可得：的关系可得：对于空气，对于空气，γ＝＝1.4，代入得，代入得：：皮托－瑞雷公式皮托－瑞雷公式，只要测量出，只要测量出p02 和和 p1 即可计算出即可计算出 M1 值3. 3. 正激波前后的参数计算正激波前后的参数计算正激波前后的参数计算正激波前后的参数计算EXIT93/120 正如前面已经指出，对于超音速绕多个微小内折直线段或凹曲面流正如前面已经指出，对于超音速绕多个微小内折直线段或凹曲面流动时必然进行压缩变化这个连续的曲面也可以看成是无限个微小直线动时必然进行压缩变化这个连续的曲面也可以看成是无限个微小直线段连成的折线璧面，每一线段转折一个微小角度，产生一道微小压缩波，段连成的折线璧面，每一线段转折一个微小角度，产生一道微小压缩波，这些微小压缩波对当地气流而言其波角都是马赫角，但由于气流经每一这些微小压缩波对当地气流而言其波角都是马赫角，但由于气流经每一道压缩波后马赫数都下降一次，再加上波后气流沿璧向内转折，两种因道压缩波后马赫数都下降一次，再加上波后气流沿璧向内转折，两种因素都使压缩波在一定距离处聚拢，末端形成一道具有一定强度的突跃的素都使压缩波在一定距离处聚拢，末端形成一道具有一定强度的突跃的压缩波即斜激波，其波角不能用马赫角计算。

由于经过激波时参数发生压缩波即斜激波，其波角不能用马赫角计算由于经过激波时参数发生剧烈改变，粘性不能忽略，剧烈改变，粘性不能忽略，流动不等熵流动不等熵当璧面在当璧面在o点直接内折一个非微点直接内折一个非微小量的角度小量的角度δ时，形成从，形成从o点点发出的始出的始终具有一定具有一定强度的斜激波度的斜激波6.6.2 6.6.2 斜激波斜激波斜激波斜激波EXIT94/1206.6.2 6.6.2 斜激波斜激波斜激波斜激波•斜激波波面与来流斜激波波面与来流 V1 不垂直，而是成某个夹角不垂直，而是成某个夹角β, β 称为激波称为激波斜角或简称为激波角，激波角不能按马赫波方法计算斜角或简称为激波角，激波角不能按马赫波方法计算 •斜激波波后的气流方向既不与激波面垂直，也不与波前气流方斜激波波后的气流方向既不与激波面垂直，也不与波前气流方向平行而是呈某个夹角向平行而是呈某个夹角δ，称为气流折角，指气流经过斜激波，称为气流折角，指气流经过斜激波后所折转的角度后所折转的角度•超音速气流流过半尖劈的流谱如图所示，这种由流动的几何边超音速气流流过半尖劈的流谱如图所示，这种由流动的几何边界规定了流动方向的斜激波称为界规定了流动方向的斜激波称为方向决定的激波方向决定的激波：： 菱形产生的附着斜激波、膨胀波与尾波菱形产生的附着斜激波、膨胀波与尾波(M=1.4)EXIT95/1206.6.2 6.6.2 斜激波斜激波斜激波斜激波1. 1. 波前波后气流参数的关系波前波后气流参数的关系波前波后气流参数的关系波前波后气流参数的关系•切向分速切向分速: （（ 切向无压差，由动量方程可证）切向无压差，由动量方程可证）•法向分速法向分速: （利用法向连续、动量和能量方程可证）（利用法向连续、动量和能量方程可证）•不难理解，由于斜激波前后切向分速相等，而沿法向可以写出不难理解，由于斜激波前后切向分速相等，而沿法向可以写出与正激波时类似的连续方程、动量方程和能量方程，差别在于与正激波时类似的连续方程、动量方程和能量方程，差别在于其中的速度用的是法向分量其中的速度用的是法向分量 Vn =V sinβ，从而斜激波前后的参，从而斜激波前后的参数关系在形式上与正激波十分相似，不过是用波前法向马赫数数关系在形式上与正激波十分相似，不过是用波前法向马赫数 M1sinβ 代替了正激波的代替了正激波的 M1 。

斜激波斜激波V1V2β-δV1tV2tβδV2nV1nEXIT96/1206.6.2 斜激波斜激波1. 波前波后气流参数的关系波前波后气流参数的关系•压强比：压强比：•密度比：密度比：•温度比：温度比：•突跃绝热关系，斜激波与正激波时完全一样，都是兰金－许贡突跃绝热关系，斜激波与正激波时完全一样，都是兰金－许贡纽关系式纽关系式: 事实上不论正激波还是斜激波，上述突跃绝热关系都可以利事实上不论正激波还是斜激波，上述突跃绝热关系都可以利用压强比和密度比公式中消去用压强比和密度比公式中消去 M1sinββ 得到 EXIT97/120•总压比总压比:•马赫数关系：马赫数关系： 由由 可解出：可解出： 可见用波前法向马赫数可见用波前法向马赫数 M1sinβ 代替正激波的代替正激波的 M1 这个办法不这个办法不适用于波后马赫数适用于波后马赫数 M2 的计算，这是因为马赫数不仅仅取决于的计算，这是因为马赫数不仅仅取决于法向关系法向关系•上述公式都可把正激波作为一个特例（上述公式都可把正激波作为一个特例（β＝＝ππ/2）包含进去）包含进去6.6.2 斜激波斜激波1. 波前波后气流参数的关系波前波后气流参数的关系• 总温比温比: （因（因为跨跨过斜激波可斜激波可视为绝热流流动）） EXIT98/1206.6.2 斜激波斜激波1. 波前波后气流参数的关系波前波后气流参数的关系•正激波是最强的激波正激波是最强的激波 由压强比公式可知：由压强比公式可知： 一定一定M1下则当下则当β愈大时，斜激波的强度愈大时，斜激波的强度 愈大愈大 ，当，当β=90°时（正激波），激波强度达到同一时（正激波），激波强度达到同一 M1 下的最大。

可见下的最大可见当来流当来流 M1 不变时，不变时，正激波是最强的激波正激波是最强的激波•最弱的激波是马赫波最弱的激波是马赫波 当当 P→0 时，时， =1，得：，得：可见可见最弱的激波就是马赫波，最弱的激波就是马赫波，而斜激波则是介于马赫波与正而斜激波则是介于马赫波与正激波之间的一定强度的激波激波之间的一定强度的激波 EXIT99/1206.6.2 斜激波斜激波1. 波前波后气流参数的关系波前波后气流参数的关系• 激波斜角激波斜角 β 与气流折角与气流折角δ 的关系的关系 诸公式中都有诸公式中都有 sinβ 这个参数，这个参数， β是是 激波斜角因为事先只激波斜角因为事先只知道知道 M1 及及δ，还不知道，还不知道 β 是多大，故使用上不方便为此，需是多大，故使用上不方便为此，需要找出要找出δ 与与β 的函数关系由速度几何关系可得：的函数关系由速度几何关系可得：给定给定 M1 及及δ后后要根据上式计算要根据上式计算β，并根据，并根据β去进一步确定相去进一步确定相应的参数关系仍然是不方便的应的参数关系仍然是不方便的，为此将上述关系制成图线，方便，为此将上述关系制成图线，方便查阅。

查阅 斜激波斜激波V1V2β-δV1tV2tβδV2nV1nβEXIT100/120β6.6.2 6.6.2 斜激波斜激波斜激波斜激波2. 2. 激波图线及应用激波图线及应用激波图线及应用激波图线及应用p2 /p1M1EXIT101/120•对于同一个对于同一个 M1 和和δ，都有两个不同的，都有两个不同的β、、 、、M2 及及 值原因是：对于一定的原因是：对于一定的 M1，气流经过正激波时，方向不变，即，气流经过正激波时，方向不变，即δ=0°；；而气流经过马赫波（无限微弱的压缩波）时，仍然而气流经过马赫波（无限微弱的压缩波）时，仍然δ=0°因此，当激波斜角因此，当激波斜角β由马赫角由马赫角μ增大到增大到90°时，中间必存在某个时，中间必存在某个最大折角最大折角δmax当激波斜角当激波斜角β由由μ开始逐渐增大时，开始逐渐增大时，δ相应地由相应地由 0°逐渐增到逐渐增到δmax；而；而β继续增大到继续增大到90°时，气流折角时，气流折角δ却相应地由却相应地由 δmax 逐渐减小到逐渐减小到 0°因此，在同一因此，在同一M1之下，一个之下，一个δ值对应着两值对应着两个个β。

•β大者代表较强的激波称为强波；大者代表较强的激波称为强波；β小者代表较弱的激波称为弱小者代表较弱的激波称为弱波•同样同样 ，，M2，，σ也都有两个值与同一个也都有两个值与同一个 δ相对应 6.6.2 6.6.2 斜激波斜激波斜激波斜激波2. 2. 激波图线及应用激波图线及应用激波图线及应用激波图线及应用EXIT102/120•图中的虚线表示对应于图中的虚线表示对应于δmax 各点的联线，这条虚线把各图分各点的联线，这条虚线把各图分成两部分，一部分是强波，一部分是弱波成两部分，一部分是强波，一部分是弱波•实际问题中出现的究竟是强波还是弱波，再由产生激波的具实际问题中出现的究竟是强波还是弱波，再由产生激波的具体边界条件来确定体边界条件来确定•根据实验观察，方向决定的斜激波，永远是只出现弱波，不根据实验观察，方向决定的斜激波，永远是只出现弱波，不出现强波出现强波 6.6.2 6.6.2 斜激波斜激波斜激波斜激波2. 2. 激波图线及应用激波图线及应用激波图线及应用激波图线及应用EXIT103/120气流参数经过激波的基本变化趋势气流参数经过激波的基本变化趋势 •对于弱波而言，在同样对于弱波而言，在同样δ之下，之下，M1 愈大，愈大，β愈小；对于强波而愈小；对于强波而言，在同一言，在同一δ之下，则是之下，则是M1 愈大愈大β愈大愈大 •在同一在同一δ角之下，不论是强波还是弱波，除了在角之下，不论是强波还是弱波，除了在δmax 附近以外，附近以外，激波强度激波强度 P 都是随着都是随着M1的增大而增强的，表现在的增大而增强的，表现在 增增大和大和 σ 减小（损失增大）。

减小（损失增大）•由图看出，强波后的气流都是亚音速的由图看出，强波后的气流都是亚音速的（（M2<1））而弱波后的而弱波后的气流，除了气流，除了δmax 附近以外，则是超音速的附近以外，则是超音速的（（M2>1））因而，一般地可以认为，弱波后的气流是超音速流一般地可以认为，弱波后的气流是超音速流 6.6.2 6.6.2 斜激波斜激波斜激波斜激波2. 2. 激波图线及应用激波图线及应用激波图线及应用激波图线及应用EXIT104/120•使超音速气流折转同一角度时，分两次折转比一次折转的损失小使超音速气流折转同一角度时，分两次折转比一次折转的损失小—因为这时每一次的气流折角都比较小，激波弱，虽然经过两次激因为这时每一次的气流折角都比较小，激波弱，虽然经过两次激波，但这是两道比较弱的激波，总的损失还是比经过一道较强的波，但这是两道比较弱的激波，总的损失还是比经过一道较强的激波小—折转次数分得越多，总压损失就越小折转次数分得越多，总压损失就越小—如果用一个连续内折的内壁使超音速流连续地内折，则必产生无如果用一个连续内折的内壁使超音速流连续地内折，则必产生无数道微弱的压缩波，使气流受到等熵压缩，没有总压损失。

当然，数道微弱的压缩波，使气流受到等熵压缩，没有总压损失当然，这是理想情况，但却是实际设计努力争取的目标这是理想情况，但却是实际设计努力争取的目标—激波损失的这一特性在设计超音速飞机的进气扩压器时很有用激波损失的这一特性在设计超音速飞机的进气扩压器时很有用 6.6.2 6.6.2 斜激波斜激波斜激波斜激波2. 2. 激波图线及应用激波图线及应用激波图线及应用激波图线及应用EXIT105/120•当当M1一定时，存在着某个最大折角一定时，存在着某个最大折角δmax当实际折角超过了当实际折角超过了δmax以后，在激波图线上找不到任何解答以后，在激波图线上找不到任何解答•如令折角如令折角δ是定值，那么，必存在是定值，那么，必存在M1的某个最小值的某个最小值M1min，当实，当实际际 M1 小于小于 M1min 时，在激波图线上也找不到解答时，在激波图线上也找不到解答•实验观察表明，实际出现的是离体的曲面激波实验观察表明，实际出现的是离体的曲面激波 纹影仪显示的附体激波干涉仪显示的脱体激波与膨胀波6.6.2 6.6.2 斜激波斜激波斜激波斜激波2. 2. 激波图线及应用激波图线及应用激波图线及应用激波图线及应用EXIT106/1206 6．．．．6 6．．．．2 2 斜激波斜激波斜激波斜激波3. 3. 压强决定的激波压强决定的激波压强决定的激波压强决定的激波 •除了超音速气流受到内折时会产生斜激波之外，当超音速气除了超音速气流受到内折时会产生斜激波之外，当超音速气流在停滞或减速提高压强时也会产生斜激波，例如从喷管中流在停滞或减速提高压强时也会产生斜激波，例如从喷管中流出的超音速气流压强低于环境压强时，在喷管的出口边缘流出的超音速气流压强低于环境压强时，在喷管的出口边缘处产生两道激波，使波后压强提高到反压的大小。

处产生两道激波，使波后压强提高到反压的大小导弹、超音速喷气飞机和长征火箭尾喷管形成的激波及其反射导弹、超音速喷气飞机和长征火箭尾喷管形成的激波及其反射•与方向决定的激波唯一不同的是，激波强度现在是由确定的与方向决定的激波唯一不同的是，激波强度现在是由确定的压强比所规定，如果压强比规定的激波是强波，那么就查图压强比所规定，如果压强比规定的激波是强波，那么就查图线中的强波部份；如规定的是弱波则查图线中的弱波部份线中的强波部份；如规定的是弱波则查图线中的弱波部份EXIT107/120前已证明：前已证明：4. 4. 弱斜激波的二级近似理论弱斜激波的二级近似理论弱斜激波的二级近似理论弱斜激波的二级近似理论* *该式不式不论正激波、斜激波都成立，其中正激波、斜激波都成立，其中 P=p2/p1-1 定定义为激波激波强强度可可见由于由于熵增正比于波增正比于波强强的三次方，的三次方，对于于强强度不大的弱激波可以度不大的弱激波可以视为等等熵波对于近似等于近似等熵的弱斜激波，可以的弱斜激波，可以证明激波明激波强强度可以度可以展开展开为：：代入熵增得代入熵增得：：因此当因此当压缩角不大角不大时，，熵增是小增是小压缩角角δ的三次小量，因此可将穿的三次小量，因此可将穿过小小δ 引起的弱激波的引起的弱激波的压缩过程程视为等等熵过程。

程EXIT108/120弱斜激波后的璧面弱斜激波后的璧面压强强系数可表系数可表为：：这就是就是弱斜激波后璧面弱斜激波后璧面压强强系数的二系数的二级近似公式，其一近似公式，其一级近似近似（略去（略去δ2 项）与）与压缩马赫波后璧面赫波后璧面 的的 Cp 表达一致表达一致4. 4. 弱斜激波的二级近似理论弱斜激波的二级近似理论弱斜激波的二级近似理论弱斜激波的二级近似理论* *代入斜弱激波代入斜弱激波强强度的度的δ角展开式得：角展开式得：EXIT109/1204. 4. 弱斜激波的二级近似理论弱斜激波的二级近似理论弱斜激波的二级近似理论弱斜激波的二级近似理论* *证明明*：来流的参数：来流的参数为 M1 、、 p01和和 p1 , 经过一一较小的小的压缩角角δ后后产生一近似等生一近似等熵的弱斜激波，波后气流参数的弱斜激波，波后气流参数为 M、、 p02≈ p01和和 p2 , 设 ，将其展成，将其展成δ 的泰勒的泰勒级数数, 则有：有： 由于：由于：又由于：又由于：对M求求导得：得：EXIT110/120由于弱斜激波可看成等由于弱斜激波可看成等熵压缩波（且正的波（且正的压缩角使速度降低）：角使速度降低）：即：即：所以：所以：所以：所以：4. 4. 弱斜激波的二级近似理论弱斜激波的二级近似理论弱斜激波的二级近似理论弱斜激波的二级近似理论* *EXIT111/120又因又因为：：所以：所以：代入代入 可得：可得：4. 4. 弱斜激波的二级近似理论弱斜激波的二级近似理论弱斜激波的二级近似理论弱斜激波的二级近似理论* *所以：所以：EXIT112/1206.6.3 6.6.3 圆锥激波圆锥激波圆锥激波圆锥激波1. 1. 圆锥绕流的特点圆锥绕流的特点圆锥绕流的特点圆锥绕流的特点•超音速气流流过圆锥时，若圆锥的顶角超音速气流流过圆锥时，若圆锥的顶角δ锥锥不是太大，则产生不是太大，则产生一道附体的圆锥形的激波，其顶点与固体圆锥的顶点重合。

一道附体的圆锥形的激波，其顶点与固体圆锥的顶点重合δ锥锥EXIT113/120δ锥=30º•圆锥激波与平面斜激波有什么相同之处与不同之处？圆锥激波与平面斜激波有什么相同之处与不同之处？相同之处是，二者都是斜激波，因而，如相同之处是，二者都是斜激波，因而，如 M1 和激波角相同的和激波角相同的话，激波前后的气流参数亦相同，斜激波公式及图表都可用话，激波前后的气流参数亦相同，斜激波公式及图表都可用不同之处是，波后的流场不同：不同之处是，波后的流场不同：6.6.3 6.6.3 圆锥激波圆锥激波圆锥激波圆锥激波1. 1. 圆锥绕流的特点圆锥绕流的特点圆锥绕流的特点圆锥绕流的特点EXIT114/120•超音速气流经过平面斜激波后，立即折转到与尖劈表面平行超音速气流经过平面斜激波后，立即折转到与尖劈表面平行的方向，波后流线保持为直线，波后气流参数是均一的的方向，波后流线保持为直线，波后气流参数是均一的•在相同半顶角下，由于圆锥的三维效应使扰动变弱，圆锥激在相同半顶角下，由于圆锥的三维效应使扰动变弱，圆锥激波角小于平面斜激波故超音速气流经过圆锥激波以后，气波角小于平面斜激波故超音速气流经过圆锥激波以后，气流方向折转的角度流方向折转的角度δ，比圆锥的半顶角，比圆锥的半顶角δ锥锥小。

小•气流在圆锥激波下游连续地进行等熵压缩，继续改变流速大气流在圆锥激波下游连续地进行等熵压缩，继续改变流速大小及方向，逐渐地趋向于与圆锥表面平行（无限远处）流小及方向，逐渐地趋向于与圆锥表面平行（无限远处）流线上各点切线与对称轴的夹角则由线上各点切线与对称轴的夹角则由δ逐渐变大，一直到等于半逐渐变大，一直到等于半锥角刚跨过圆锥激波下游的流线不是直线，而是曲线刚跨过圆锥激波下游的流线不是直线，而是曲线6.6.3 6.6.3 圆锥激波圆锥激波圆锥激波圆锥激波1. 1. 圆锥绕流的特点圆锥绕流的特点圆锥绕流的特点圆锥绕流的特点EXIT115/1206.6.3 6.6.3 圆锥激波圆锥激波圆锥激波圆锥激波1. 1. 圆锥绕流的特点圆锥绕流的特点圆锥绕流的特点圆锥绕流的特点•圆锥激波后是锥型流场：圆锥激波后是锥型流场：若从锥顶若从锥顶O任意画一条射线任意画一条射线OA（在圆（在圆锥激波与物面之间），那么，在以锥激波与物面之间），那么，在以OA为母线绕对称轴旋转而成的锥面上，为母线绕对称轴旋转而成的锥面上，所有的气流参数都是均一的具有这所有的气流参数都是均一的具有这种特点的流场，称为锥型流。

这包括种特点的流场，称为锥型流这包括激波的波面（波后）与物体表面激波的波面（波后）与物体表面•圆锥激波下游流场若按照二维尖圆锥激波下游流场若按照二维尖楔那样流动显然不能满足质量守楔那样流动显然不能满足质量守恒，因此下游流场中的气流参数恒，因此下游流场中的气流参数不是均一的，是变化的不是均一的，是变化的δ锥=30ºEXIT116/1206.6.3 6.6.3 圆锥激波圆锥激波圆锥激波圆锥激波2. 2. 圆锥激波参数计算大意圆锥激波参数计算大意圆锥激波参数计算大意圆锥激波参数计算大意•既然气流经圆锥激波后不是马上折转既然气流经圆锥激波后不是马上折转δ锥锥，那么，同样，那么，同样M1 数的数的气流流过半顶角与气流流过半顶角与δ锥锥 相等的尖劈时所产生的斜激波必比圆锥相等的尖劈时所产生的斜激波必比圆锥激波强，就是说，激波强，就是说，β楔楔 >β锥锥这样，就不能直接用这样，就不能直接用 δ锥锥 来代替来代替 δ楔楔 去使用斜激波图线去使用斜激波图线 •应先由给定的应先由给定的 δ锥锥 和和 M1 求出圆锥激波的波角求出圆锥激波的波角 ，参见图，参见图7－－62，， 然后，按然后，按 和和 M1 从斜激波图线求出波后的从斜激波图线求出波后的其它参数。

其它参数 •从圆锥激波到锥体表面之间的流场内，气流参数是连续地变从圆锥激波到锥体表面之间的流场内，气流参数是连续地变化的，锥体表面上的化的，锥体表面上的 Ms 按圆锥激波理论进行计算或查阅按圆锥激波理论进行计算或查阅 ，，参见图参见图7－－64EXIT117/1206.6.4 6.6.4 收敛收敛收敛收敛——扩张喷管的工作状态扩张喷管的工作状态扩张喷管的工作状态扩张喷管的工作状态1. 1. 上游总压不变，改变出口反压时喷管的工作情况上游总压不变，改变出口反压时喷管的工作情况上游总压不变，改变出口反压时喷管的工作情况上游总压不变，改变出口反压时喷管的工作情况我们知道要得到超音速气流需使用先收后扩的拉瓦尔喷管，我们知道要得到超音速气流需使用先收后扩的拉瓦尔喷管，此外还需足够的压强比改变压强比有两种方式：一是上游总压此外还需足够的压强比改变压强比有两种方式：一是上游总压不变，改变出口反压；二是出口反压不变，改变上游总压不变，改变出口反压；二是出口反压不变，改变上游总压1.上游总压不变，改变出口反压时喷管的工作情况上游总压不变，改变出口反压时喷管的工作情况（例如上游为高压储气罐，下游为可变真空度的真空箱）（例如上游为高压储气罐，下游为可变真空度的真空箱）假定喷管几何尺寸确定，由面积比关系假定喷管几何尺寸确定，由面积比关系 A*/A=q（（λ））可确定可确定该喷管出口的两个速度系数（或马赫数）：该喷管出口的两个速度系数（或马赫数）：Me1>1, Me2<1，其中，其中Me1 就是该喷管的设计马赫数就是该喷管的设计马赫数EXIT118/120•由于由于P0确定，利用一维等熵关系式确定，利用一维等熵关系式 p/p0=пп( (λλ) ) 可求出上述马赫可求出上述马赫数对应的出口静压，显然数对应的出口静压，显然 pe1/p0 < pe2/p0•当反压当反压 p 恰等于恰等于 pe1 喷管在设计工作状态，气流的静压与反压喷管在设计工作状态，气流的静压与反压相等，环境对出口气流没有扰动，不产生任何波，是完全膨胀相等，环境对出口气流没有扰动，不产生任何波，是完全膨胀状态，这对应于图状态，这对应于图 (a’) 的情况。

的情况•当反压当反压 p 恰等于恰等于 pe2 喷管中的气流在喉道达到音速后以亚音速流喷管中的气流在喉道达到音速后以亚音速流出喷管，并在出口处静压与反压相等，这对应于图出喷管，并在出口处静压与反压相等，这对应于图 (e) 的情况•还有一种情况是气流在喷管内部一路加速，在出口达到设计马还有一种情况是气流在喷管内部一路加速，在出口达到设计马赫数赫数 Me1 后，在出口恰好产生一道正激波，经过正激波之后气后，在出口恰好产生一道正激波，经过正激波之后气流变为亚音速，正激波前马赫数流变为亚音速，正激波前马赫数 Me1 >1，压强为，压强为pe1，经过对应，经过对应于于 Me1 的正激波后压强突跃升高为的正激波后压强突跃升高为 p2 图图(d)6.6.4 6.6.4 收敛收敛收敛收敛——扩张喷管的工作状态扩张喷管的工作状态扩张喷管的工作状态扩张喷管的工作状态1. 1. 上游总压不变，改变出口反压时喷管的工作状态上游总压不变，改变出口反压时喷管的工作状态上游总压不变，改变出口反压时喷管的工作状态上游总压不变，改变出口反压时喷管的工作状态EXIT119/120•波前后压力比波前后压力比 p2/p0 可按照一维等熵关系和正激波公式计算：可按照一维等熵关系和正激波公式计算：此压力比介于此压力比介于 pe1/p0 和和 pe2/p0 之间之间•上述三个压力值上述三个压力值 pe1 、、 p2 、、 pe2 将反压可能的变化范围划分将反压可能的变化范围划分为为 4 个区域：（真空）个区域：（真空）0 ～～ pe1 ， pe1 ～ p2 ，， p2 ～ pe2 ，以及以及 pe2 ～～ p06.6.4 6.6.4 收敛收敛收敛收敛——扩张喷管的工作状态扩张喷管的工作状态扩张喷管的工作状态扩张喷管的工作状态1. 1. 上游总压不变，改变出口反压时喷管的工作状态上游总压不变，改变出口反压时喷管的工作状态上游总压不变，改变出口反压时喷管的工作状态上游总压不变，改变出口反压时喷管的工作状态EXIT120/120 （（1）） p ≤ pe1 ， 当反压恰等于当反压恰等于 pe1 即为完全膨胀即设计状态即为完全膨胀即设计状态, 管管内压强分布为线内压强分布为线abc；当反压介于真空和；当反压介于真空和 pe1 之间，超音速气之间，超音速气流在出口截面处的压强大于反压流在出口截面处的压强大于反压 p，必受到外界低压作用的扰，必受到外界低压作用的扰动，而这个扰动是以音速传播的，不可能传到超音速流的上游。

动，而这个扰动是以音速传播的，不可能传到超音速流的上游只有在气流出了喷管以后，因两侧（与喷管轴线垂直）没有超只有在气流出了喷管以后，因两侧（与喷管轴线垂直）没有超音速分速，反压的低压影响能从侧向传入气流内部，使气流膨音速分速，反压的低压影响能从侧向传入气流内部，使气流膨胀，所以在口外产生膨胀波系，属于欠膨胀情况胀，所以在口外产生膨胀波系，属于欠膨胀情况 ；管内压强分；管内压强分布仍为线布仍为线abc; （（2））pe1 < p ≤ p2 , 由于反压大于出口压强由于反压大于出口压强 pe1 ，超音速气流必，超音速气流必须经过斜激波将压强提高到与外界反压一样；当反压等于须经过斜激波将压强提高到与外界反压一样；当反压等于 p2 时口外须产生最强的正激波才能使管道中过度膨胀的压强提高时口外须产生最强的正激波才能使管道中过度膨胀的压强提高到与反压一样压强分布为线到与反压一样压强分布为线abcd，管内压强分布仍为线，管内压强分布仍为线abc; 6.6.4 6.6.4 收敛收敛收敛收敛——扩张喷管的工作状态扩张喷管的工作状态扩张喷管的工作状态扩张喷管的工作状态1. 1. 上游总压不变，改变出口反压时喷管的工作状态上游总压不变，改变出口反压时喷管的工作状态上游总压不变，改变出口反压时喷管的工作状态上游总压不变，改变出口反压时喷管的工作状态EXIT121/120（（3）） p2 < p < pe2 , 反压大过反压大过 p2 之后，高压必然迫使气流在出之后，高压必然迫使气流在出口之前发生激波以提高压强，波后为亚音速流动，该亚音速口之前发生激波以提高压强，波后为亚音速流动，该亚音速在扩张管中继续减速增压，并在出口达到反压；管内压强分在扩张管中继续减速增压，并在出口达到反压；管内压强分布为线布为线abc’d’; （（4）） pe2≤ p < p0 , 反压提高到反压提高到 pe2 时，管内的正激波已逆流推时，管内的正激波已逆流推进到临界截面，这时局部为音速，已不存在激波，整条管道进到临界截面，这时局部为音速，已不存在激波，整条管道都是亚音速，只是在喉部出现一下音速；气流在后半段扩张都是亚音速，只是在喉部出现一下音速；气流在后半段扩张管中减速增压；管内压强分布为线管中减速增压；管内压强分布为线abe; 反压进一步升高，连喉道上也没有音速了，这时管中流动随反压进一步升高，连喉道上也没有音速了，这时管中流动随反压变化而调整，反压提高一点，全管流动就减慢一点，反反压变化而调整，反压提高一点，全管流动就减慢一点，反压降低一点，全管流动就加快一点，流量也随之改变，而对压降低一点，全管流动就加快一点，流量也随之改变，而对于反压低于于反压低于 pe2 的流动喉道上均为音速，管中流量不变的流动喉道上均为音速，管中流量不变 。

（如果总压不变）（如果总压不变）6.6.4 6.6.4 收敛收敛收敛收敛——扩张喷管的工作状态扩张喷管的工作状态扩张喷管的工作状态扩张喷管的工作状态1. 1. 上游总压不变，改变出口反压时喷管的工作状态上游总压不变，改变出口反压时喷管的工作状态上游总压不变，改变出口反压时喷管的工作状态上游总压不变，改变出口反压时喷管的工作状态EXIT122/120e(e)(a’)c’Mae2Mae1d’(d’)6.6.4 6.6.4 收敛收敛收敛收敛——扩张喷管的工作状态扩张喷管的工作状态扩张喷管的工作状态扩张喷管的工作状态1. 1. 上游总压不变，改变出口反压时喷管的工作状态上游总压不变，改变出口反压时喷管的工作状态上游总压不变，改变出口反压时喷管的工作状态上游总压不变，改变出口反压时喷管的工作状态EXIT123/120•除了上述由除了上述由方向决定的激波和压强决定的激波方向决定的激波和压强决定的激波之外，管道中流之外，管道中流量堵塞也会产生激波，称为量堵塞也会产生激波，称为壅塞决定的激波壅塞决定的激波例如具有第二喉例如具有第二喉道道A2*的超音速风洞，如果的超音速风洞，如果A2*不足够大时，流量的限制将迫使不足够大时，流量的限制将迫使超音速气流在两个喉道之间产生激波，二喉道之间的面积比关超音速气流在两个喉道之间产生激波，二喉道之间的面积比关系是系是 ，当，当A2*大于上值时激波将很快被吹向下游。

大于上值时激波将很快被吹向下游第二喉道面积较小情况第二喉道面积较小情况 第二喉道面积调节时情况第二喉道面积调节时情况6.6.4 6.6.4 收敛收敛收敛收敛——扩张喷管的工作状态扩张喷管的工作状态扩张喷管的工作状态扩张喷管的工作状态2. 2. 壅塞决定的激波壅塞决定的激波壅塞决定的激波壅塞决定的激波EXIT124/1202. 定义驻点压强系数为定义驻点压强系数为：：试证明当试证明当 M M 数不大时，可压流的驻点压强系数与不可压流的驻点数不大时，可压流的驻点压强系数与不可压流的驻点压强系数压强系数 1 1 的差别可以近似表为：的差别可以近似表为：如果规定可压流驻点压强系数与不可压流驻点压强系数之间的相如果规定可压流驻点压强系数与不可压流驻点压强系数之间的相对误差不大于对误差不大于3 3％时可视为不可压流动，则马赫数应限制在多大以％时可视为不可压流动，则马赫数应限制在多大以下？（提示：下？（提示：1/21/2ρρV V2 2=1/2=1/2γγpMpM2 2））小测验：小测验：1. 试证明熵增量的表达可写为试证明熵增量的表达可写为：：EXIT125/1203. 设大气温度为设大气温度为288K。

用真空箱接一个管嘴从大气吸气，设流动用真空箱接一个管嘴从大气吸气，设流动等熵，问真空箱中可能达到的最大速度是多大？等熵，问真空箱中可能达到的最大速度是多大？4. 试证明在一维等熵流动中，压强、密度与温度的变化趋势均与试证明在一维等熵流动中，压强、密度与温度的变化趋势均与速度的变化趋势相反，但随着速度的增加，压强的减小最快，速度的变化趋势相反，但随着速度的增加，压强的减小最快，密度次之，温度减小最慢密度次之，温度减小最慢5. 试证明在一维等熵流动中，亚音速时密度的减小或增大慢于速试证明在一维等熵流动中，亚音速时密度的减小或增大慢于速度的增大或减小；超音速时密度的减小或增大快于速度的增大度的增大或减小；超音速时密度的减小或增大快于速度的增大或减小；或减小；6. 试用一维等熵流的连续方程和动量方程证明：在亚音速流中随试用一维等熵流的连续方程和动量方程证明：在亚音速流中随面积减小速度将增大，随面积增大速度减小；在超音速流中随面积减小速度将增大，随面积增大速度减小；在超音速流中随面积减小速度减小，随面积增大速度增大面积减小速度减小，随面积增大速度增大EXIT126/1207.一个产生二维超音速流动的装置由高压气罐和二维拉瓦尔喷管一个产生二维超音速流动的装置由高压气罐和二维拉瓦尔喷管组成。

喷管出口接大气（截面积组成喷管出口接大气（截面积0.2m×0.2m），假设流动等熵，），假设流动等熵，大气温度和气罐温度都是大气温度和气罐温度都是288K，大气压力为，大气压力为1个大气压要若个大气压要若在出口得到在出口得到M＝＝2.5的超音速，问的超音速，问: (1)喉道高度为多大？喉道高度为多大？(2)高压气罐中总压至少为多大？以上述总压流出时喉道压强为多高压气罐中总压至少为多大？以上述总压流出时喉道压强为多大？大？(3)以上述总压流出时管道流量多大？如果改变气罐总压，则流出以上述总压流出时管道流量多大？如果改变气罐总压，则流出流量是否改变？流量是否改变？(4)如果总压保持为（如果总压保持为（2）中的解不变，此时继续降低真空箱中的）中的解不变，此时继续降低真空箱中的绝对压强，则喷管流量有何变化？为什么？绝对压强，则喷管流量有何变化？为什么？EXIT127/120第一章基本要求：第一章基本要求：1. 掌握掌握连续介质假设连续介质假设的概念、意义和条件；的概念、意义和条件；2. 了解掌握流体的基本物理属性，尤其是了解掌握流体的基本物理属性，尤其是易流性、压缩易流性、压缩性和粘性性和粘性等属性的物理本质和数学表达；等属性的物理本质和数学表达；3. 掌握流体力学中掌握流体力学中作用力的分类和表达作用力的分类和表达、理想流中、理想流中压强压强的定义及其特性的定义及其特性；；4. 初步掌握静止流体微团的力学分析方法，重点掌握初步掌握静止流体微团的力学分析方法，重点掌握流流体平衡微分方程体平衡微分方程的表达及其物理意义；的表达及其物理意义；5. 在流体在流体平衡微分方程的应用平衡微分方程的应用方面，重点掌握重力场静方面，重点掌握重力场静止液体中的压强分布规律和标准大气问题；会利用平止液体中的压强分布规律和标准大气问题；会利用平衡微分方程求等压面和压强分布。

衡微分方程求等压面和压强分布EXIT128/120EXIT129/120EXIT130/120第四章基本要求第四章基本要求1.了解流体的粘性及其对流动的影响了解流体的粘性及其对流动的影响2.了解雷诺实验、掌握雷诺数的定义与意义、层流与湍了解雷诺实验、掌握雷诺数的定义与意义、层流与湍流的流的 特征与区别特征与区别3.了解粘性流体的应力状态与理想流和静止流体的异同了解粘性流体的应力状态与理想流和静止流体的异同4.了解广义牛顿内摩擦定理（本构关系）了解广义牛顿内摩擦定理（本构关系）5. 了解粘性流体运动方程了解粘性流体运动方程---N-S方程，方程，掌握掌握N-S方程各方程各项所代表的意义，项所代表的意义，了解了解N-S方程与欧拉方程以及静力学方程与欧拉方程以及静力学平衡微分方程之间的联系平衡微分方程之间的联系EXIT131/120第五章基本要求第五章基本要求第五章基本要求第五章基本要求1. 掌握边界层的概念、意义和特征掌握边界层的概念、意义和特征 边界层近似、边界层的量级、边界层的各种厚度定义及其意义边界层近似、边界层的量级、边界层的各种厚度定义及其意义2. 掌握边界层微分方程及其所表示的基本性质掌握边界层微分方程及其所表示的基本性质 量级分析方法、惯性力与粘性力的量级关系、压强梯度特点量级分析方法、惯性力与粘性力的量级关系、压强梯度特点3. 了解边界层微分方程的数值解法思路（勃拉休斯解）及其结果了解边界层微分方程的数值解法思路（勃拉休斯解）及其结果4. 掌握掌握卡门动量积分关系式卡门动量积分关系式及其边界层近似解法（及其边界层近似解法（保尔豪森法保尔豪森法））5. 掌握边界层的分离现象以及边界层在不同压力梯度区的速度分掌握边界层的分离现象以及边界层在不同压力梯度区的速度分布特征；布特征；掌握掌握 分离的本质、分离的必要条件分离的本质、分离的必要条件、、层流边界层与湍流层流边界层与湍流边界层抵抗分离能力的不同及其原因边界层抵抗分离能力的不同及其原因EXIT132/120。