山东省淄博市2017届高三数学打靶试题 理（含解析）.doc

2017年山东省淄博市高考数学打靶试卷（理科）　一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若，则a=（　　）A．5 B．﹣5 C．5i D．﹣5i2．已知集合A={x|x2﹣x＜0}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是（　　）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，1） C． B．（﹣∞，﹣2] C．上随机选取两个数x和y，则满足2x﹣y＜0的概率为　 　．12．观察下列各式：13=1，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…，由此推得：13+23+33…+n3=　 　．13．6个人站成一排，若甲、乙两人之间恰有2人，则不同的站法种数为　 　．14．已知，若f（a）+f（b）=0，则的最小值是　 　．15．设双曲线的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F做x轴的垂线交双曲线于B，C两点，若A1B⊥A2C，则双曲线的离心率为　 　．　三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．如图，在△ABC中，M是边BC的中点，cos∠BAM=，tan∠AMC=﹣．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若角∠BAC=，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．17．如图，已知三棱锥O﹣ABC的三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，△ABC为等边三角形，M为△ABC内部一点，点P在OM的延长线上，且PA=PB．（Ⅰ）证明：OA=OB；（Ⅱ）证明：AB⊥OP；（Ⅲ）若AP：PO：OC=：1，求二面角P﹣OA﹣B的余弦值．18．在标有“甲”的袋中有4个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．（Ⅰ）若从袋中依次取出3个球，求在第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率；（Ⅱ）现从甲袋中取出个2红球，1个白球，装入标有“乙”的空袋．若从甲袋中任取2球，乙袋中任取1球，记取出的红球的个数为X，求X的分布列和数学期望EX．19．已知数列{an}和{bn}满足（n∈N*）．若{an}是各项为正数的等比数列，且a1=4，b3=b2+6．（Ⅰ）求an与bn；（Ⅱ）设cn=，记数列{cn}的前n项和为Sn．①求Sn；②求正整数k．使得对任意n∈N*，均有Sk≥Sn．20．已知抛物线C：y2=4x，点M与抛物线C的焦点F关于原点对称，过点M且斜率为k的直线l与抛物线C交于不同两点A，B，线段AB的中点为P，直线PF与抛物线C交于两点E，D．（Ⅰ）判断是否存在实数k使得四边形AEBD为平行四边形．若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（Ⅱ）求的取值范围．21．已知λ∈R，函数f（x）=λex﹣xlnx（e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）若f（1）=0，证明：曲线y=f（x）没有经过点的切线；（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域上不单调，求λ的取值范围；（Ⅲ）是否存在正整数n，当时，函数f（x）的图象在x轴的上方，若存在，求n的值；若不存在，说明理由．　2017年山东省淄博市高考数学打靶试卷（理科）参考答案与试题解析　一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若，则a=（　　）A．5 B．﹣5 C．5i D．﹣5i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简等式左边，再由复数相等的条件列式求解．【解答】解：∵，∴，解得a=﹣5．故选：B．　2．已知集合A={x|x2﹣x＜0}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是（　　）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，1） C．．故选：B．　10．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）=2x2﹣f（﹣x）．当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜2x；若f（m+2）﹣f（﹣m）≤4m+4，则实数m的取值范围是（　　）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣2] C．上随机选取两个数x和y，则满足2x﹣y＜0的概率为　　．【考点】CF：几何概型．【分析】写出实数对（x，y）所满足的约束条件，作出可行域，由面积比得答案．【解答】解：由题意可得实数x，y满足，满足约束条件的平面区域如图：则满足2x﹣y＜0的概率为P=．故答案为：．　12．观察下列各式：13=1，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…，由此推得：13+23+33…+n3=　　．【考点】F1：归纳推理．【分析】根据题意，分析题干所给的等式可得：13+23=（1+2）2=32，13+23+33=（1+2+3）2 =62，13+23+33+43=（1+2+3+4）2 =102，进而可得答案．【解答】解：根据题意，分析题干所给的等式可得：13+23=（1+2）2=32，13+23+33=（1+2+3）2 =62，13+23+33+43=（1+2+3+4）2 =102，则13+23+33+43+…+n3=（1+2+3+4+…+n）2 =[]2=，故答案为：．　13．6个人站成一排，若甲、乙两人之间恰有2人，则不同的站法种数为　144　．【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分3步进行分析：①、将甲乙2人排成一列，考虑甲乙之间的顺序，②、在其他4人中任选2人，安排在甲乙之间，③、将4人看成一个整体，与剩余2人全排列，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①、将甲乙2人排成一列，考虑甲乙之间的顺序，有A22=2种情况，②、在其他4人中任选2人，安排在甲乙之间，有C42×A22=12种情况，③、将4人看成一个整体，与剩余2人全排列，有A33=6种情况，则6人有2×12×6=144种不同的站法；故答案为：144．　14．已知，若f（a）+f（b）=0，则的最小值是　　．【考点】7F：基本不等式．【分析】，f（a）+f（b）=0，可得+=0，化为a+b=2．（a，b∈（0，2）），可得==，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：，f（a）+f（b）=0，∴ +=0，∴ =1，化为a+b=2，（a，b∈（0，2））则==≥=．当且仅当a=2b=时取等号．故答案为：．　15．设双曲线的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F做x轴的垂线交双曲线于B，C两点，若A1B⊥A2C，则双曲线的离心率为　　．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求得B和C点坐标，根据直线的斜率公式可得k1×k2=﹣1，即可求得=1，根据双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：由题意可知：左、右顶点分别是A1（﹣a，0），A2（a，0），当x=c时，代入双曲线方程，解得：y=±，设B（c，），C（c，﹣），则直线A1B的斜率k1==，直线A2C的斜率k2==﹣，由A1B⊥A2C，则k1×k2=﹣1，即×=1，则=1，双曲线的离心率e===，故答案为：．　三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．如图，在△ABC中，M是边BC的中点，cos∠BAM=，tan∠AMC=﹣．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若角∠BAC=，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）根据三角形的性质和内角和的定理，转化为和与差公式求解即可．（Ⅱ）利用余弦定理求解出BM，即可求解△ABC的面积【解答】解：（Ⅰ）由，得：，∴．又∠AMC=∠BAM+∠B，∴=；又B∈（0，π），∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知．角∠BAC=，∴C=．则AB=BC．设MB=x，则AB=2x．在△ABM中由余弦定理，得AM2=AB2+MB2﹣2AB•BMcosB，即7x2=21．解得：．故得△ABC的面积．　17．如图，已知三棱锥O﹣ABC的三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，△ABC为等边三角形，M为△ABC内部一点，点P在OM的延长线上，且PA=PB．（Ⅰ）证明：OA=OB；（Ⅱ）证明：AB⊥OP；（Ⅲ）若AP：PO：OC=：1，求二面角P﹣OA﹣B的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）由已知条件利用勾股定理得OA2+OC2=OB2+OC2，OA=OB，得进行证明．（Ⅱ）根据题意，通过线面垂直的判定定理及性质定理即可证明平面PAB⊥平面POC．（Ⅲ）以OA、OB、OC所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则所求值即为平面POA的一个法向量与平面OAB的一个法向量的夹角的余弦值，利用向量法求解．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵OA，OB，OC两两垂直，∴OA2+OC2=AC2，OB2+OC2=BC2，又△ABC为等边三角形，AC=BC，∴OA2+OC2=OB2+OC2，∴OA=OB；（Ⅱ）证明：∵OA，OB，OC两两垂直，∴OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB=O，OA、OB⊂平面OAB，∴OC⊥平面OAB，而AB⊂平面OAB，∴AB⊥OC，取AB中点D，连结OD、PD，由（1）知，OA=OB，∴AB⊥OD，由已知PA=PB，∴AB⊥PD，∴AB⊥OD，AB⊥PD，OD∩PD=D，OD、PD⊂平面POD，∴AB⊥平面POD，而PO⊂平面POD，∴AB⊥PO，∴AB⊥OC，AB⊥PO，OC∩PO=O，OC、PO⊂平面POC，∴AB⊥平面POC，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面POC；（Ⅲ）解：如图，以OA、OB、OC所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，由（1）同理可证OA=OB=OC，设OA=OB=OC=1，则O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，0），C（0，0，0），=（1，0，0），=（﹣1，1，0），设P（x，y，z），其中x＞0，y＞0，z＞0，∴ =（x，y，z），=（x﹣1，y，z），由（Ⅱ）知OP⊥AB，且AP：PO：OC=：1∴，解得x=y=1，z=2，即=（1，1，2），设平面POA的法向量为=（x，y，z），又，取z=1，得=（0，﹣2，1），由（2）知，平面OAB的一个法向量为=（0，0，1），记二面角P﹣OA﹣B的平面角为θ，由图可知θ为锐角，cos=∴二面角P﹣OA﹣B的余弦值为　18．在标有“甲”的袋中有4个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．（Ⅰ）若从袋中依次取出3个球，求在第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率；（Ⅱ）现从甲袋中取出个2红球，1个白球，装入标有“乙”的空袋．若从甲袋中任取2球，乙袋中任取1球，记取出的红球的个数为X，求X的分布列和数学期望EX．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用条件概率公式计算所求的概率值；（Ⅱ）由题意知X的所有可能取值，计算对应的概率值，写出随机变量X的分布列，计算数学期望值．【解答】解：（Ⅰ）记“第一次取到红球”为事件A，“后两次均取到白球”为事件B，则，；所以，“第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率”为；…（或） …（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，3； …则，，，； …所以随机变量X的分布列为：X0123P。