数二-基本知识点19页.docx

数二　——　基本知识点Deran Pan2017.8.11目录第一章 极限 4一、 定理 4二、 重要极限 4三、 等价无穷小 4六、 积分和求极限 4四、 佩亚诺余项泰勒展开 4第二章 一元函数微分 5一、 函数微分 5二、 微分运算法则 5三、 基本微分公式 5四、 变限积分求导 5五、 N阶导数 5六、 参数方程导数 5七、 隐函数求导法则，幂指函数求导法则 5八、 反函数的一阶、二阶求导 5九、 单调、极值、凹凸、拐点 5十、 渐近线 5十一、 曲率 6十三、 泰勒定理 6十四、 极限与无穷小的关系 6十五、 附 6第三章 一元函数积分 7一、 定理 7二、 基本积分公式 7三、 基本积分方法 7四、 一个重要的反常积分 7五、 定积分的应用 7第四章 多元函数微分 8一、 如果limx→x0y→y0fx,y存在，则fx,y在该点连续 8二、 求重极限方法 8三、 可微性讨论 8四、 复合函数微分 8五、 高阶偏导 8六、 隐函数求导 8七、 二元函数极值的充分条件 8八、 条件极值、拉格朗日乘数法 8九、 二重积分 8十、 柯西积分不等式 10第五章 常微分方程 11一、 一阶微分方程 11二、 可降阶的高阶微分方程 11三、 高阶常系数微分方程 11第一章 行列式 12一、 余子式&代数余子式 12二、 几个重要公式 12三、 抽象n阶方阵行列式公式 12第二章 矩阵 12一、 运算规则 12二、 特殊矩阵 12三、 可逆矩阵 12四、 秩 13第三章 向量 13一、 线性表出、线性相关、极大线性无关组 13二、 施密特正交化 13三、 正交矩阵 13第四章 线性方程组 14一、 克拉默法则 14二、 齐次线性方程组、基础解系 14三、 非齐次线性方程组、通解结构 14第五章 特征值、特征向量、相似矩阵 14一、 特征值、特征向量 14二、 相似矩阵 14三、 实对称矩阵 15四、 矩阵、特征值、特征向量 15五、 判断A是否相似于对角 15第六章 二次型 15一、 二次型 15二、 标准型 15三、 规范型 15四、 化二次型为标准型，规范型 15五、 合同 16六、 惯性定理 16七、 实对称矩阵A、B合同的充要条件 16八、 正定 16九、 正定阵性质 16后记 17第一章 极限一、 定理夹逼定理，单调有界定理二、 重要极限 1.limx→0sinxx=1 2.limx→01+x1x=e 3.limn→∞nn=1 4.limx→0+xδ∙In xk=0 5.limx→∞xk∙e-δx=1三、 等价无穷小当 x→0时：1、 sinx~x、2、 tanx~x、3、 1-cosx~12x24、 ex-1~x5、 In 1+x~x6、 1+xα-1~α∙x7、 arcsinx~x8、 arctanx~x9、 αx-1~x∙Inα10、 xm+xk~xm，(k>m>0)一、二、三、四、五、 洛必达法则六、 积分和求极限limn→∞un=limn→∞1n∙i=1nfin=01fxdx一、二、三、四、 佩亚诺余项泰勒展开1、 ex=1+x+12!x2+⋯+1n!xn+Oxn2、 sinx=x-13!x3+⋯+-1n2n+1!x2n+1+Ox2n+23、 cosx=1-12!x2+⋯+-1n2n!x2n+Ox2n+14、 In 1+x=x-x22+x33+⋯+-1n-1xnn+Oxn5、 1+xm=1+mx+mm-12!x2+⋯+mm-1⋯m-n+1n!xn+Oxn第二章 一元函数微分一、 函数微分dy=A∆x+ox=Adx+ox二、 微分运算法则1、 uv=uv2、 u∙v=u∙v+u∙v3、 C∙u=C∙u4、 uv=uv-uvv2三、 基本微分公式1、 C=02、 xα=α∙xα-13、 αx=αx∙Inα4、 ex=ex5、 logαx=1x∙Ina6、 cosx=-sinx7、 sinx=cosx8、 cotx=-cscx29、 tanx=secx210、 secx=secx∙tanx11、 cscx=-cscx∙cotx12、 arcsinx=11-x213、 arccosx=-11-x214、 arctanx=11+x215、 arccotx=-11+x2四、 变限积分求导φ1xφ2xftdt =fφ2x∙φ2x-fφ1x∙φ1x五、 N阶导数1、 uvn=unvn2、 u∙vn=un∙v+Cn1∙un-1∙v1+⋯+Cnk∙un-k∙vk+⋯+u∙vn六、 参数方程导数yx=ytxtyxx=yxtxt=xt∙ytt-xtt∙ytxt3七、 隐函数求导法则，幂指函数求导法则八、 反函数的一阶、二阶求导dxdy=1dydx=1fxφy=-fxfx3九、 单调、极值、凹凸、拐点十、 渐近线水平渐近线：limx→∞fx=b铅直渐近线：limx→x0fx=b斜渐近线：limx→x0fxx=a，limx→x0fx-a∙x=b十一、 曲率k=|y|1+y232R=1k=1+y232|y|十二、 定理费马定理（驻点）、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。

十三、 泰勒定理fx=fx0+fx01!x-x0+fx02!x-x02+⋯+fnx0n!x-x0n+Rnx十四、 极限与无穷小的关系limx→x0fx=A⟺fx=A+αx，其中limx→x0αx=0十五、 附麦克劳林公式：fx=f0+f01!∙x+f02!∙x2+⋯+fn0n!∙xn+Rnxx0=0泰勒公式：fx=fx0+fx01!x-x0+fx02!x-x02+⋯+fnx0n!x-x0n+Rnxn=0拉格朗日余项：Rnx=fn+1ξn+1!x-x0n+1fx=fx0+fξ1x-x0fx-fx0=fξ∙x-x0拉格朗日中值定理n=1佩亚诺余项：Rn=Ox-x0nfx=fx0+fx01x-x0+Ox-x0fx-fx0=fx0∙x-x0+Ox-x0∆y=fx0∙∆x+Ox-x0增量与微分的关系式第三章 一元函数积分一、 定理1、 定积分存在定理2、 原函数存在定理3、 积分中值定理abfxdx=fξ∙b-a二、 基本积分公式1、 xαdx=1α+1∙xα+1+C2、 1xdx=Inx+C3、 αxdx=αxInα+C4、 exdx=ex+C5、 sinxdx=-cosx+C6、 cosx dx=sinx+C7、 tanxdx=-Incosx+C8、 cotxdx=Insinx+C9、 secxdx=Insecx+tanx+C10、 cscxdx=Incscx-cotx+C11、 sec2xdx=tanx+C12、 csc2xdx=-cotx+C13、 1α2+x2dx=1αarctanxα+C14、 1α2-x2dx=12αInα+xα-x+C15、 1α2-x2dx=arcsinxα+C16、 1x2α2dx=Inx+x2α2+C三、 基本积分方法1、 凑微分法2、 换元积分法a) 含a2-x2，命x=a∙sintb) 含x2+a2，命x=a∙tantc) 含x2-a2，命x=a∙sect3、 部分积分法4、 利用被积函数的奇偶性5、 拆项积分四、 一个重要的反常积分-∞+∞e-x2dx=20+∞e-x2dx=π五、 定积分的应用1、 平面图形的面积A=aby2x-y1xdxA=cdx2x-x1xdyA=12αβρ2θdθ2、 平面曲线的弧长S=abxt2+yt2dtS=ab1+yx2dxS=αβρ2θ+ρθ2dθ3、 旋转体体积V=πaby2xdxV=πaby22x-y12xdxV=2πabxy2x-y1xdx4、 旋转曲面面积S=2πab|y|∙1+f2xdxS=2πab|yt|∙xt2+yt2dt第四章 多元函数微分一、 如果limx→x0y→y0fx,y存在，则fx,y在该点连续二、 求重极限方法1、 利用极限性质、四则运算、夹逼准则等2、 消除分母中为零的因子，有理化、等价无穷小等3、 转化为一元函数求极限4、 利用无穷小乘以有节量仍为无穷小三、 可微性讨论1、 可微a) 考察fxx0,y0和fyx0,y0是否都存在。

b) 考察lim∆x→0∆y→0fx0+∆x,y0+∆y-fx0,y0-fxx0,y0∆x+fyx0,y0∆y∆x2+∆y2=0是否成立2、 可微的必要条件：可微必可导，不可导一定不可微3、 可微的充分条件：有连续一阶偏导函数一定可微四、 复合函数微分1、 一元与多元复合dzdt=dzdu∙dudt+dzdv∙dvdt2、 多元与多元复合∂z∂x=∂z∂u∙∂u∂x+∂z∂v∙∂v∂x、∂z∂y=∂z∂u∙∂u∂y+∂z∂v∙∂v∂y3、 全微分形式不变dz=∂z∂x∙dx+∂z∂y∙dy =∂z∂u∙du+∂z∂v∙dv五、 高阶偏导∂2z∂x2=∂∂x∂z∂x=fxxx,y∂2z∂x∂y=∂∂y∂z∂x=fxyx,y∂2z∂y∂x=∂∂x∂z∂y=fyxx,y∂2z∂y2=∂∂y∂z∂y=fyyx,yfxyx,y 与 fyxx,y 相等，次序无关六、 隐函数求导1、 利用公式a) 一元：dydx=-FxFyb) 二元：∂z∂x=-FxFz、∂z∂y=-FyFz2、 方程组两端分别求导3、 利用微分形式不变，方程两端求微分七、 二元函数极值的充分条件若 fxx0,y0=0 以及 fyx0,y0=0设 A=fxxx0,y0、B=fxyx0,y0、C=fyyx0,y0则：AC-B2>0，取的极值，A>0为极小值，A<0为极大值AC-B2<0，无极值AC-B2=0，不能确定八、 条件极值、拉格朗日乘数法1、 构造拉格朗日函数Fx,y,λ=fx,y+λ∙φx,y2、 解方程组∂F∂x=∂f∂x+λ∙∂φ∂x=0∂F∂y=∂f∂y+λ∙∂φ∂y=0∂F∂λ=φx,y=0所有满足解的点是可能的极值点九、 二重积分1、 性质a) 比较定理b) 估值定理c) 中值定理2、 计算a) 直角坐标系下的计算i. 适合先y后x的积分域D fx,ydδ=abdxφ1xφ2xfx,ydyii. 适合先x后y的积分域D。