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彰显数学魅力！演绎网站传奇！用勾股定解线路最短问题 勾股定理是反映直角三角形三边关系的一个重要定理，它在现实世界中有着广泛的应用.利用勾股定理解决实际问题的基本思想是从实际问题中构建直角三角形数学模型.下面介绍勾股定理在解决线路最短中的具体应用.例1如图1，一块砖的宽AN=5cm，长DN=10cm，CD上的点B距地面的高BD=8cm，地面上的一只蚂蚁想到B处吃食物，它爬行的最短路程是多少？ 图1 图2解析：本题以长方体位载体，问点A到点B之间绕长方体的最短距离是多少，我们知道两点之间线段最段，可此题不能穿过砖直接连接AB.为此，我们从实际问题中抽象出长方体，画出长方体的表面展开图，将相邻的两个面ANMF，NMCD展开成同一个平面，如图2，此时连接AB交MN与点E，则△ABD为直角三角形，根据勾股定理，得AB2=AD2+BD2，即AB2=152+82，所以AB=17，所以蚂蚁爬行的最短路程是17cm.例2 如图3是一块长、宽、高分别是6cm,4cm和3cm的长方体木块.一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）. A．（） B. C. D. 图3解析：解决本题仍需要将立体图形展开得到平面图形借助勾股定理解决.蚂蚁爬行的路线可以分为3种情况：（1）经过前面和右面或经过左面和右面，这时，蚂蚁爬行的最短线路是长为4+6=10（cm），宽为4cm的矩形对角线（图4中的AB），由勾股定理得AB=cm；（2）经过前面和上面或经过下面和后面，这时蚂蚁爬行的最短路线是长为4+3=7（cm），宽为4cm的矩形的对角线（图5中的AB），由勾股定理得AB=（cm）；（3）经过左面和上面或经过下面和右面，这时蚂蚁爬行的最短路线是长为4+3=7（cm），宽为6cm的矩形的对角线（图6中的AB），由勾股定理得AB=（cm）.比较（1）、（2）、（3）的结果得到蚂蚁爬行的最短的路径的长为cm.所以选（C）. 图4 图5 图6例3 为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图7，已知圆筒的高为108cm，其截面周长为36cm，如果在表面缠绕油纸4圈，应截剪多长油纸. 图7 图8解析：此题直接难以计算，可以将圆筒展开转化为平面图形，然后利用勾股定理解决.如图8，将圆筒展开后成为一个矩形，整个油纸也随之分成相等的4段，只需求到AB的长即可解决问题.解：如图4，在Rt△ABC中，因为AC=36cm，BC=108÷4=27（cm），由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=362+272，所以AB=45，所以整个油纸的长为45×4=180（cm）.例3我们古代数学中有这样一道数学题：有一棵枯树直立在地上，树高2丈，粗3尺，有一根藤条从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶，（如图9）请问这根藤条有多长？（注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是：圆柱底面周长为3尺，1丈=10尺）. 图9 图10解析：本题是一道古代数学题，由于树可以近似看作圆柱，藤条绕树缠绕，我们可以按图10的方法，转化为平面图形来解决.如图10，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2=BC2+AC2，因为BC=20，AC=3×7=21，所以AB2=202+212=841，所以AB=29所以这根藤条有29尺.练习:1.如图11，正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从M点沿正方体的表面爬到D1点，蚂蚁爬行的最短距离是（ ）（A） （B）3 （C）5 （D） 图112.如图12，正方体的高为3，底面是正方形，边长为2，现有绳子从A出发，沿长方体表面到达C处，问绳子最短是多少厘米？ 图12 3.如图13,有一个圆柱,它的高等于12cm,底面半径等于3cm,在圆柱下底A点有一只蚂蚁,它想吃到上底与A点相对的B点处的食物,需要爬行的最短路程是多少?(π的值3). 图134．如图14，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（π取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算） 图14答案：1.A 2. 25cm; 3.15cm; 4.13.2米.学数学 用数学专页报 第 4 页 共 4 页 版权所有@少智报·数学专页。