线性代数与空间解析几何：3.4空间直线.ppt

返回3.43.4 空间直线空间直线一、点向式方程一、点向式方程二、参数式方程二、参数式方程三、一般式方程三、一般式方程四、直线与直线的位置关系四、直线与直线的位置关系五、直线与平面的位置关系五、直线与平面的位置关系返回返回方向向量的定义：/一、点向式方程 3.4 空间直线 如果一非零向量 平行于一条已知直线L，向量 称为直线L的方向向量.M0.M返回直线的点向式方程直线的一组方向数方向向量的余弦称为直线的方向余弦.返回 例1 求过空间两点A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2)的直线方程.解 s = AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1), 例2说明：即，l 在平面 y =2上.返回解所以交点为取所求直线方程= （2，0，4）返回二、参数式方程设直线 l 的方程则 上式称为直线l 的参数方程，t 称为参数，不同的t 对应于直线l 上不同的点.返回解先作一过点M且与已知直线垂直的平面 再求已知直线与该平面的交点N,令返回代入平面方程得 ,交点取所求直线的方向向量为所求直线方程为返回空间直线可看成两平面的交线空间直线的一般式方程 三、一般式方程返回例5 用点向式方程及参数方程表示直线解一在直线上任取一点M0取解得M0点的坐标返回因所求直线与两平面的法向量都垂直取点向式方程参数方程返回解二 由解法一已得直线上点M0 的坐标(1, 0, -2),取 x1 =0, 则取直线的方向向量为 =(4, -1, -3),得直线方程为返回解三 由直线方程(1)+(2): 3x + 4z + 5 =0 (1)2-(2): 3y - z - 2 = 0 z = 3y - 2 方程(3)的方向向量(-4,1,3)与(4,-1,-3)平行，且点 在解法一、二所确定的直线上，故方程(3)与解法一、二所得的方程表示的为同一直线.返回解四 (用高斯消元法行初等变换)参数式：点向式：返回例6 确定直线l 外一点M0(x0, y0, z0)到l 的距离.设M1(x1, y1, z1)是直线l 上任意一确定的点，M是l 上另一点，且M1M = s = (m, n, p),则直线l 的方程为如图所示平行四边形面积S = |M1M0 M1M | = |s M1M0| = d |s |dMM1M0l.返回例7 求点M0(1 ,2, 1)到直线的距离.解取 z =0, 得 x =1, y =1, M1(1, -1, 0) l. M1M0 = (0, 3, 1).返回直线直线由此公式可计算两条直线的夹角.1. 两直线的夹角四、直线与直线的位置关系 两直线L1与L2的方向向量 与 的夹角称（通常指锐角）称为L1与L2的夹角，记为.返回2. 两直线的位置关系：/直线直线例如，返回解设所求直线的方向向量为根据题意知取所求直线的方程返回 直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角五、直线与平面的位置关系1、直线与平面的夹角返回直线与平面的夹角公式2. 直线与平面的位置关系：/返回解为所求夹角返回例10 直线l 过点M(2,5,-2)且与直线垂直相交，求l 的方程.解只需求出交点N的坐标即可.过M作平面 与l1 垂直， 与l1的交点即N.l1 的方向向量 NMll1 返回过M(2,5,-2)且与l 垂直的平面: -9(x - 2) +5(y - 5) +7(z + 2) = 0.9x - 5y - 7z - 7 = 0.将直线l1 与的方程联立：解得：x =1, y = -1, z =1.这就是l1与 的交点N的坐标(1, -1, 1).返回直线l 的方向向量s = MN = (-1, -6, 3).l 的方程返回3. 平面束设直线l 的方程是(1)(2)除方程(2)所表示的平面外，经过直线l 的所有平面都可由下式表示：经过直线l 的平面全体称为过l 的平面束.方程(3)称为过直线l 的平面束方程.返回例11 求直线在平面：2x + 2y + z -11=0上的投影直线.解 过直线l 作一平面与 垂直，则与 的交线l就是l 在 上的投影.返回将l 的方程改写为一般式过l 的平面束方程为x + 4y - 24 + (3y + z -17) = 0即x + (4 + 3 ) y + z - (24 + 17) = 0其法向量为n =(1, 4 + 3 , ),返回由 可得的方程为即7x - 2 y - 10z + 2 = 0直线l 在 上的投影为返回解2取即所以l 在 上的投影直线为返回解例12判 定l :与: x + 4y z 1 = 0的位置关系. 若相交，则求出交点与夹角.所以l 与相交.代入, 得所以l 与交点。