高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐标 2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件学案 新人教b版必修4.doc

2.2.3　用平面向量坐标表示向量共线条件基础知识基本能力1．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(重点)2．掌握两直线平行与两向量共线的判定方法．(易错点)1．会用向量的坐标形式来判断向量平行、证明三点共线．(易错点)2．会写过定点与已知向量平行的直线方程．(重点)3．要理解零向量可与任一向量平行的规定，并在解决有关共线问题时，不要忽视它的存在．(难点)两个向量平行的坐标表示设向量a＝(a1，a2)，向量b＝(b1，b2)，则a∥b⇔a1b2－a2b1＝0；如果向量b不平行于坐标轴，即b1≠0且b2≠0，则a∥b⇔＝，即两个向量平行的条件是：相应坐标成比例．如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们是同向还是反向吗？答：判断两个共线向量的方向是同向还是反向，常用的方法是：当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向．当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．例如，向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向．向量(－1,2)与(－3,6)同向；向量(－1,0)与(3,0)反向．【自主测试1】与向量a＝共线且方向相同的向量b的坐标是(　　)A．(－1,2) B．(4,8)C．(，) D．(－4，－8)答案：B【自主测试2】已知A(1,2)，B(2,3)，C(5，t)三点共线，则t的值为(　　)A．0 B．5 C．6 D．10解析：＝(1,1)，＝(3，t－3)，∵A，B，C三点共线，∴1×(t－3)－1×3＝0，∴t＝6.答案：C解读向量平行的条件及用途剖析：向量平行的条件有三种表示形式：(1)a∥b(b≠0)⇔a＝λb；(2)a∥b⇔a1b2－a2b1＝0，a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)；(3)a∥b⇔＝，a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，且b1≠0，b2≠0.另外应用向量平行(共线)的条件，可以证明向量共线、三点共线等问题．题型一 平面向量共线问题【例题1】已知向量a＝(1,2)，b＝(x,6)，u＝a＋2b，v＝2a－b，(1)若u∥v，求实数x的值；(2)若a，v不共线，求实数x的取值范围．分析：对于第(1)问，利用共线向量的坐标表示出关于x的方程即可；对于第(2)问，可先从反面入手．解：(1)因为a＝(1,2)，b＝(x,6)，u＝a＋2b，v＝2a－b，所以u＝(1,2)＋2(x,6)＝(2x＋1,14)，v＝2(1,2)－(x,6)＝(2－x，－2)．又因为u∥v，所以－2(2x＋1)－14(2－x)＝0，即10x＝30，解得x＝3.故实数x的值为3.(2)若a，v共线，则2(2－x)＝－2，解得x＝3，所以要使a，v不共线，{x|x∈R，且x≠3}即为所求．反思利用向量共线的条件求值的问题的处理思路：对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路，一是利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．〖互动探究〗已知向量a＝(x,3)，b＝(－3，x)，是否存在实数x，m，使(ma－b)∥(a＋b)？若存在，求实数x，m的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在实数x，m满足题意，得ma－b＝(mx＋3,3m－x)，a＋b＝(x－3,3＋x)，由(ma－b)∥(a＋b)，得(mx＋3)(x＋3)－(3m－x)(x－3)＝0，化简得(m＋1)·(x2＋9)＝0，故m＝－1，x∈R，即存在m＝－1，x∈R使(ma－b)∥(a＋b).题型二 三点共线问题【例题2】如果向量＝i－2j，＝i＋mj，其中i，j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值，使A，B，C三点共线．分析：解答本题可直接利用共线条件来求解，也可根据单位向量i，j，利用向量的直角坐标进行运算．解：解法一：∵A，B，C三点共线，即，共线，∴存在实数λ，使得＝λ，即i－2j＝λ(i＋mj)．于是∴m＝－2.故当m＝－2时，A，B，C三点共线．解法二：依题意，知i＝(1,0)，j＝(0,1)，则＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)．而，共线，∴1×m－1×(－2)＝0.∴m＝－2.故当m＝－2时，A，B，C三点共线．反思利用向量证明三点共线的思路是：先利用三点构造出两个向量，求出唯一确定的实数λ使得两向量共线．由于两向量还过同一点，所以两向量所在的直线必重合，即三点共线．题型三 向量共线在几何中的应用【例题3】已知△ABC三个顶点分别是A(3,0)，B(4,4)，C(2,1)，试求AC与OB的交点坐标P(x，y)(其中O为坐标原点)．分析：利用O∥，∥列出关于x，y的方程求解．解：∵P点段OB上，∴与共线．又＝(x，y)，＝(4,4)，∴4y－4y＝0，即x－y＝0.①同理，与共线．由＝(x－3，y)，＝(－1,1)，得x－3＋y＝0.②由①②解得x＝，y＝.∴P点的坐标为.反思解决两线段的交点问题可以用解析几何的知识联立两直线方程求交点的坐标；也可以使用对应向量共线列等式，再解方程组求解．题型四 易错辨析【例题4】已知点A(3，－4)，B(－9,2)，在直线AB上有一点P，且满足||＝||，试求点P的坐标．错解：设P(x，y)，则＝(x－3，y＋4)，＝(－12,6)，＝(－9－x,2－y)．∵|A|＝||，∴＝，即(x－3，y＋4)＝(－12,6)＝(－4,2)，解得x＝－1，y＝－2，∴点P的坐标为(－1，－2)．错因分析：根据||＝||，可以得到＝和＝－这两种情况，而错解中只考虑到了一种情况．正解：在错解的基础上再补充上＝－这种情况，即(x－3，y＋4)＝－(－12,6)＝(4，－2)，∴x＝7，y＝－6.∴点P的坐标为(7，－6)．综上所述，满足条件的点P的坐标为(－1，－2)或(7，－6)．1．下列各组向量中，不能作为表示平面内所有向量基底的是(　　)A．a＝(－1,2)，b＝(0,5) B．a＝(1,2)，b＝(2,1)C．a＝(2，－1)，b＝(3,4) D．a＝(－2,1)，b＝(4，－2)解析：我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．选项D中两个向量共线，故不能作为一组基底．答案：D2．以下命题错误的是(　　)A．若i，j分别是与平面直角坐标系中x轴，y轴同向的单位向量，则|i＋j|＝|i－j|B．若a∥b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则必有＝C．零向量的坐标表示为(0,0)D．一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标解析：对于选项B，两个向量中，若有与坐标轴共线的向量或零向量，则坐标不能写成比例式．答案：B3．(2012·山东济宁期末)已知平面向量a＝(3,1)，b＝(x，－3)，且a∥b，则x＝(　　)A．9 B．－9 C．－3 D．3答案：B4．已知＝e1＋2e2，＝(3－x)e1＋(4－y)e2，其中e1，e2的方向分别与x轴、y轴的正方向相同，且为单位向量．若与共线，则点P(x，y)的轨迹方程为(　　)A．2x－y－2＝0 B．(x＋1)2＋(y－1)2＝2C．x－2y＋2＝0 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2解析：＝(1,2)，＝(3－x,4－y)．又与共线，则有＝，即2x－y－2＝0.故选A．答案：A5．若a＝(－1，x)与b＝(－x,2)共线且方向相同，则x＝__________.解析：∵a与b共线，∴－2＋x2＝0.∴x＝±.当x＝时，a＝(－1，)，b＝(－，2)＝(－1，)，此时a与b同向；当x＝－时，a＝(－1，－)，b＝(，2)＝(1，)＝－(－1，－)，此时a与b反向．答案：6．已知向量a＝(x,3)，b＝(－3，x)，则①存在实数x，使a∥b；②存在实数x，使(a＋b)∥a；③存在实数x，m，使(ma＋b)∥a；④存在实数x，m，使(ma＋b)∥b.其中，叙述正确的序号为__________．解析：由于x2＝－9无实数解，故①不正确；又a＋b＝(x－3,3＋x)，由(a＋b)∥a得3(x－3)－x(3＋x)＝0，即x2＝－9，此方程无实数解，故②不正确；因为ma＋b＝(mx－3,3m＋x)，由(ma＋b)∥a得(3m＋x)x－3(mx－3)＝0，即x2＝－9，此方程无实数解，故③不正确；由(ma＋b)∥b得－3(3m＋x)－x(mx－3)＝0，即m(x2＋9)＝0，所以m＝0，x∈R，故④正确．答案：④7．向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？解：＝－＝(k,12)－(4,5)＝(k－4,7)，＝－＝(k,12)－(10，k)＝(k－10,12－k)．∵A，B，C三点共线，∴∥，即(k－4)(12－k)－7(k－10)＝0.整理，得k2－9k－22＝0，∴k＝－2或k＝11.∴当k＝－2或11时，A，B，C三点共线．4。