《现代精算风险理论》课件汇总个体风险模型.ppt

第2章 个体风险模型n本章讨论保险人风险组合的总索赔额的分布函 数Date中华精算师考试网 n总索赔（随机变量的和）的分布要用卷积，因此 非常麻烦常用到均值，方差，矩母函数，特征 函数，母函数等n有别于中心极限定理的近似方法n风险随机变量往往不能用纯离散和连续随机变量来刻画因此常用Riemann-Stieltjes积分2.1 引言Date中华精算师考试网 2.2 混合分布和风险本节我们讨论保险风险的一些实例.由于纯离散随机变量和纯连续随机变量都不能描述这种风险，所以我们必须先拓展分布函数类．Date中华精算师考试网 根据概率论的知识，任何一个分布函数都满满足Date中华精算师考试网 离散型的随机变量Date中华精算师考试网 连续型的随机变量Date中华精算师考试网 n在概率论中所学到的所有的随机变量要么为离散型要么为连续型，几乎无一例外．n然而保险领域却不总是这样．许多被用来模拟保险理赔支付的分布函数有连续增长的部分，同时也有离散的、正的跳跃部分． Date中华精算师考试网 设Z 代表某个保单的理赔支付，则有三种情况：• 保单合同无理赔，因此Z=0 . • 保单合同的索赔数额大于最大的保险金额M ，则Z =M . • 保单合同产生正常的索赔数额，则0 0 ．2.4 变换随机变量的矩母函数与分布函数一一对应。

如果X 和Y 相互独立，则Date中华精算师考试网 对于某些具有重尾的分布，如柯西分布，其矩母函数不存在．但是特征函数总是存在的．特征函数定义为利用展开式可以得到随机变量的特征函数与分布函数一一对应 Date中华精算师考试网 所以X 的k 阶矩等于概率母函数（pgf）仅用于取值为自然数的随机变量，定义为累积量母函数（cgf）其定义为Date中华精算师考试网 随机变量X 的偏度定义为其中 Date中华精算师考试网 累积量母函数、概率母函数、特征函数和矩母函数之间有如下的关系：Date中华精算师考试网 2.5 近似分布Date中华精算师考试网 这样，我们就可以用下式来逼近的分布函数：Date中华精算师考试网 例2.5.3（两种不同的近似）n假设1000 个男性年轻人购买了保险期间为一年的保单． n每个投保人在一年内死亡的概率为0 . 001 ，且死亡发生的理赔支付为1 .n我们要计算这批保单总的理赔支付至少为4 的概率 Date中华精算师考试网 Date中华精算师考试网 由 得 (3)正态近似正态在这种情形下的估计很差！！！Date中华精算师考试网 选择伽玛分布的理由n伽玛分布包含了常见的一些分布，如指数分布G(1,β)，卡方分布(k/2,1/2)等。

n伽玛分布是不对称的，右拖尾分布与保险精算中的风险的分布往往具有类似的性质Date中华精算师考试网 密度函数：矩及偏度：矩母函数：Date中华精算师考试网 平移伽玛近似可以表述如下：Date中华精算师考试网 Date中华精算师考试网 Date中华精算师考试网 =0.01Y~Г（4，0.002) 2*0.002Y~χ2(8)Date中华精算师考试网 NP近似对分布函数作展开，考虑分布的偏性而得到的一种近似的计算方法等价于，当 时 ，Date中华精算师考试网 精确值正态近似Poisson近似 伽玛平移NP0.018930.00620.018990.02120.0228Date中华精算师考试网 例2.5.8（用NP 近似重新计算例2.5.5） 我们用 （2.62）决定资本量，以使资本以95％的概率不 小于理赔额S :S 的95％的分位点为Date中华精算师考试网 我们对 和 应用（2.63） 正态近似NP伽玛平移0.00130.0110.010Date中华精算师考试网 2 . 6 应用：最优再保险一个保险人希望对20000 份一年期寿险保单寻求一个最佳再保险，这批保单按保险金额可以分为以下三种：Date中华精算师考试网 n保险人希望通过对最佳自留额的选取，即每份保单的最大支付，尽量提高其在业务运营中能够满足其财务职责的概率．n一次理赔中扣除自留额以外的剩余部分是由再保险人支付．Date中华精算师考试网 n例如，对于1.6 的自留额，保险金额为2 的某个被保险人死亡，该保险人赔偿1.6，再保险人赔偿0.4． n收到保费后，保险人持有资金B 以应付理赔和支付再保险保费．再保险保费是净保费的120% . Date中华精算师考试网 首先，置自留额为2 ，从保险人的角度看，保单是如下分布保险人总的理赔数额S 的均值和方差分别为Date中华精算师考试网 由中心极限定理，我们得到成本超过可用资金B的概率（成本等于S 加上再保保费 ） Date中华精算师考试网 n当自留额界于2 和3 之间时，这个概率如何?n对于给定的资金B 如何决定自留额以使保险人不破产的概率达到最大 ?Date中华精算师考试网 。