数理方程与特殊函数：13特殊区域上的格林函数.ppt

圆域内任意点的镜像点圆域内任意点的镜像点圆域上的圆域上的 Green 函数函数球域上的球域上的 Green 函数函数几种特殊区域的几种特殊区域的Green函数函数《数学物理方程数学物理方程》第六章第六章§5(二维二维)Poisson 方程方程 Dirichlet 边边值问题值问题:Dirichlet-Green函数函数——(1) 满足满足 Poisson 方程方程:其中其中, 是求解区域是求解区域, S 是求解区域的边界是求解区域的边界(2) 满足齐次边界条件满足齐次边界条件:(二维二维) Green 函数函数:M = ( x, y )其中其中,( )有圆域内点有圆域内点: M0(x0, y0)若圆域外点若圆域外点: M1(x1, y1)满足满足POM1M0半径为半径为 R 的圆域的圆域:则称则称 M1 是是 M0 的的镜像镜像点点设设 P 点是圆周上任意一点点是圆周上任意一点, 则则 |OP | = R在在 OPM1 和和  OPM0 中中, 由于由于 记记 r0= |OM0| r1=|OM1 | 则则POM1M0当当 P(x, y)在圆周上时在圆周上时, 有有故故在圆周上满足齐次边界条件在圆周上满足齐次边界条件.引理引理1 函数函数证明证明 由于由于满足满足记记,显然显然, 满足满足Laplace方程方程( )设设 M(x, y) 是圆域是圆域 内内任意一点任意一点, 记记显然显然,函数函数 满足满足 Laplace 方程方程. 且且满足边界条件满足边界条件满足满足 .从而从而记记称称 是二维是二维 Poisson 方程的基本解方程的基本解MOM1M0称称是圆是圆域上域上的的 Green 函数函数. G(x, y )满足齐次边界条件满足齐次边界条件则则满足满足同理同理所以所以满足满足引理引理2 2 函数函数证明证明: 令令即即球域球域POM1M0 r0=|OM0|, r1=|OM1|()函数函数在球面上满足齐次边界条件在球面上满足齐次边界条件.M0(x0, y0, z0) , M1(x1, y1, z1)为球域上为球域上Green函数函数设设 M(x, y, z) 是球域内的是球域内的任意点任意点. 而而 M0(x0, y0, z0) 是球域内的是球域内的定点定点M1(x1, y1, z1) 是是M0在球面镜像点在球面镜像点显然显然, 和和 都满足拉普拉斯方程都满足拉普拉斯方程MOM1M0当当 时时且且球域球域内内:球面上球面上:球域内格林函数满足的微分方程问题球域内格林函数满足的微分方程问题拉普拉斯方程边值问题的解可用拉普拉斯方程边值问题的解可用Green函数表示函数表示例例1. 上半空间上半空间 z > 0 上上 Laplace 方程边值问题对应的方程边值问题对应的Green 函数函数( x0 y0 z0)( x0 y0 –z0)M=( x y z)M0(x0 y0 z0)的镜像点为的镜像点为M1(x0 y0 –z0)上上半空间任一点半空间任一点M(x y z)在在边界上满足边界上满足:例例2. 上上半半平面平面 y > 0 的格林函数的格林函数( x0 , y0 )( x0 , – y0 )( x y )M0(x0 , y0 )的映象点为的映象点为M1(x0 , –y0)上上半平面任一点半平面任一点P(x y ) 记记 当当 y = 0 时时例例3. 第一限象二维拉普拉斯方程边值问题对应的第一限象二维拉普拉斯方程边值问题对应的格林函数格林函数M0M1M3M2M=( x, y)M0(x0 y0 )的镜像点为的镜像点为 M1(x0 –y0) M2(– x0 y0) M3(– x0 –y0)第一限象内任一点第一限象内任一点 M(x y )在在边界上满足边界上满足:例例4. 上半圆域的格林函数上半圆域的格林函数上半圆内任一点上半圆内任一点M(x y )上半圆内定点上半圆内定点: M0(x0 y0 ) M0的下半平面镜象点的下半平面镜象点: M0’M0的圆的圆外外镜象点镜象点: M1M1的下半平面镜象点的下半平面镜象点: M1’r0= |OM0|, r0’=|OM0’|, rMM0=|MM0 |, rMM1=|MM1 |MM0M1M1’M0’思考题思考题1. 空间特殊区域的镜像点是以什么曲面作镜面；空间特殊区域的镜像点是以什么曲面作镜面；2. 镜像点构造的调和函数与镜像点构造的调和函数与泊松方程的基本解有何泊松方程的基本解有何不同；不同；3. 将圆域上的原像点和镜像点表示为极坐标形式，将圆域上的原像点和镜像点表示为极坐标形式，做何解释；做何解释；4. 利用镜像点术语说明格林函数利用镜像点术语说明格林函数习题习题:6.5 1、、2*。