自动控制原理第6章新 系统稳定性分析.doc

第6章 控制系统的稳定性系统能在实际中应用的必要条件是系统要稳定分析稳定性是经典控制理论的重要组成部分经典控制理论对于判定一个线性系统是否稳定提供了多种方法本章主要介绍几种线形定常系统的稳定性判据及其使用，以及提高系统稳定性的方法6.1 系统稳定性概念及其条件稳定是控制系统完成期望工作任务的前提系统在实际工作中，会受到外部干扰作用和内部某些因素变动影响，偏离原来的平衡工作状态；在干扰或变动消失后，系统能否恢复到原来的平衡工作状态—稳定性，这是我们最为关心的问题稳定性是控制系统的重要性能，对其进行分析并给出保证系统稳定的条件，是自动控制理论的基本任务之一6.1.1 稳定性定义控制系统稳定性定义为：如果一个系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，而当扰动取消后，经过充分长的时间，这个系统又能够以一定的精度逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳定的否则，称这个系统是不稳定的由此可见，稳定性是系统的一种内在固有特性，这种特性只取决于系统的结构和参数例如，图6-1（a）所示是一个悬挂的单摆示意图其垂直位置M是原始平衡位置设在外界干扰作用下，摆偏离了原始平衡位置M到达新平衡位置b或c当外力去掉后，显然摆在重力作用下，将围绕点M反复振荡，经过一定时间，当摆因受空气阻碍使其能量耗尽后，摆又回到原始平衡位置M上。

像这样的平衡点M就称为稳定的平衡点对于一个倒摆，图6-1（b）所示，摆的支撑点在下方垂直位置d是一个平衡位置，若外力f使其偏离垂直位置平衡点d，即使外力消失，无论经过多长时间，摆也不会回到原来平衡点d上来对于这样的平衡点d，称为不稳定平衡点ObMc图6-1摆动平衡（a）悬挂的单摆（b）倒摆dFObdae图6-2小球的稳定性 再如图6-2所示的小球，小球处在a点时，是稳定平衡点因为作用于小球上的有限干扰力消失后，小球总能回到a点而小球处于b、c点时为不稳定平衡位置，因为只要有干扰力作用于小球，小球便不再回到点b或c上述两个实例说明系统的稳定性反映在干扰消失后的过渡过程的性质上与上述力学系统相似，一般的自动控制系统中也存在平衡位置平衡位置的稳定性取决于输入信号为零时，系统在非零初始条件作用下是否能自行返回到原平衡位置如系统受到干扰后，被控量xo(t)发生偏差△xo(t),这种偏差随时间逐渐减少，系统又逐渐恢复到原来的平衡状态，即： 则系统是稳定的；若这种偏差随时间不断扩大，即使扰动消失，系统也不能回到平衡状态，则系统就是不稳定的在干扰消失的时刻，系统与平衡状态的偏差可以看作是系统的初始偏差。

因此，控制系统的稳定性可以这样来定义：若一个处于平衡状态的系统，在扰动的作用下，会偏离原来的平衡状态，而当扰动消失后，系统又能够逐渐地恢复到原来的平衡状态，称该系统是稳定的；否则，称该系统不具有稳定性这一稳定性定义是目前普遍使用的概念，它没有对系统所处的初始状态如何提出具体要求，因此，这种定义对与系统初始状态紧密相关的非线性系统稳定性探讨显出苍白无力根据现有稳定性的研究，给出如下一些关于稳定性概念的提法：1. 李亚普诺夫稳定性εxe图6.3 李亚普诺夫稳定性示意图李亚普诺夫（А. М. ЛЯПУНОВ，1882年）稳定性表述为：如图6.3所示，若xe为系统的平衡工作点，系统初始状态x(0)离此平衡点的起始偏差| x(0)- xe |不超过域h， 由初始状态引起的输出及其终态x(t)与平衡点的差值| x(t)- xe |不超过预先任意给定的域e，则系统称为李亚普诺夫意义下稳定也就是说，若要求系统的输出不超出任意给定的正数e，而又能找到不为零的正数h，使初始状态的情况下，满足输出为: (6-1)则系统称为在李亚普诺夫意义下稳定；反之，若要求系统的输出不能超出任意给定的正数e，但却不能找到不为零的正数h来满足式(6-1)，则称系统在李亚普诺夫意义下不稳定。

2. 渐进稳定性渐进稳定是指系统在李亚普诺夫意义下稳定，随时间t®+¥，由初始状态引起的系统输出最终趋于平衡状态与李亚普诺夫意义下稳定性比较可知，渐进稳定要求系统输出最终趋于平衡状态，而李亚普诺夫稳定性仅要求系统输出进入e的范围即可，因此，渐进稳定性要求更高渐进稳定是一个局部的概念，满足渐进稳定的初始状态的最大区域称为引力域，起源于引力域的每一个运动都是渐进稳定的3. 大范围稳定性系统在任意的初始状态下出发的运动都保持稳定，则称系统为大范围稳定系统在任意初始状态下出发的运动都保持渐近稳定，则称系统为大范围渐近稳定的从上面关于稳定性的定义可以看出，稳定性主要从两个方面来进行定义：其一，是从系统的外部描述，即输入、输出关系上进行定义，前提条件是系统初始状态为零，利用有界输入考察系统输出是否有界，若输出有界则系统稳定，这种稳定性称为零状态响应，是有界输入有界输出（Bounded Input Bounded Output）稳定性；这种稳定性定义特别适合于用传递函数形式描述的线性系统，因为系统传递函数代表的正是系统零状态响应的拉氏变换对输入的拉氏变换之比其二，是从系统内部的状态变化来进行定义，这一定义的主要代表是李亚普诺夫意义下的稳定性定义，它考察零输入条件下系统初始状态的响应是否有界，若输出有界则系统稳定。

但无论定义如何，都要求输出不超出一个确定范围或输出趋于原有的平衡状态如果将扰动或初始状态看成施加于系统的广义能量，那么，输出不超出一个确定范围或输出趋于原有的平衡状态这一事实，便可以简单地理解为稳定的系统具有消耗广义能量的能力这就等于说，两种稳定性的定义是等价的本章讨论采用外部描述的方法进行稳定性分析求解系统稳定性需要注意：(1) 在讨论李亚普诺夫意义下稳定性时，一般都将系统平衡点的状态取为零这样，扰动所引起的状态改变或偏离作为初始状态，于是，问题的讨论与研究得以简化2) 对非线性系统，通常采用在平衡点上对系统进行线性化，用线性化方程来分析稳定性，这种分析的结论只在平衡点附近成立；平衡点附近的范围大小就是非线性系统在该点的引力域，该引力域范围以外工作点的稳定性应另行分析3) 在工程中，通常不采用李亚普诺夫稳定性的概念，而是采用条件更为苛刻的渐近稳定的概念对定常线性系统来说，其稳定性是渐近的，而且是大范围渐近稳定的，这给稳定性讨论带来了极大的方便6.1.2 线性系统稳定性条件设以x为输入、y为输出的定常线性控制系统微分方程为：为讨论方便，取系统各初始状态为零，系统传递函数为 (6-2)式中：z1，z2，…，zm为零点；l1，l2，…，ln为极点；M(s)为传递函数分子；D(s)为传递函数分母,称为系统的特征方程式。

稳定性所研究的问题是当扰动消失后系统的运动情况，这里采用系统的脉冲响应函数进行讨论取输入为单位脉冲函数，其拉氏变换Xi(s)=1，系统的脉冲响应函数的拉氏变换Xo(s)就是系统传递函数，即， (6-3)下面按式(6-3)的特征方程D(s)=0的根互异、重根和共轭复根等情形展开讨论系统单位脉冲响应函数特征方程根互异的情形，即全部n个极点互不相同，且均为实数，可改写为部分分式式中：Ai为待定常数对上式进行拉氏反变换，即得单位脉冲响应函数y(t) 根据稳定性定义考虑到系数Ai的任意性，必须使上式中的每一项都趋于零，所以应有 (6-4)其中，Ai为常值，式(6-4)表明，系统的稳定性仅取决于特征根li的性质经过分析可以得知，系统稳定的充分必要条件是系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说都位于[s]平面的左半平面特征方程有重根的情形，设重根数为k，则在脉冲响应函数中将具有如下分量形式：，，…，，…这些项，当时间t®¥时是否收敛到零，取决于重特征根li的性质所以当系统的特征根有重根时，系统稳定的充要条件依然是系统特征方程的所有根都具有负实部。

特征方程有共轭复根的情形，设为共轭复根，该根在脉冲响应函数中具有下列形式或写成由上式可见，只要共轭复根的实部为负，仍将随时间t®¥而振荡收敛到零特征根更为复杂的情形是上述三种情形的组合，若要求系统稳定，同样要求各根对应的响应分量随时间t®¥而振荡收敛到零综上所述，系统稳定的充分必要条件是系统的所有特征根都具有负实部；只要有一个或一个以上特征根为正实部，响应就发散，系统不稳定或者说，系统的所有极点均位于[s]平面的左半平面，系统稳定；若有一个或一个以上的极点均位于[s]平面的右半平面，系统不稳定当系统有纯虚根时，系统处于临界稳定状态，响应呈现等幅振荡；由于实际系统参数的变化以及扰动的不可避免，工程实际中，将临界稳定作不稳定处理判别系统稳定与否，可归结为判别系统特征根实部的符号，即：Re(li)<0，系统稳定；Re(li)>0，系统不稳定；Re(li) =0，系统临界稳定，工程上认为不稳定因此，如果能解出全部特征根，则立即可以判断线性系统是否稳定例6-1 某一具有单位反馈的系统其开环传递函数判别其稳定性解：系统的闭环传递函数系统特征方程为：特征方程的根由于T>0和K>0，当TK£0.25时，l1, 2为负数；当TK>0.25时，为一对共轭复根，具有负实部；所以系统稳定。

6.2 控制系统的稳定判据6.2.1 代数稳定判据 线性定常系统稳定的充要条件是其全部特征根均具有负实部判别系统的稳定性，也就是要解出系统特征方程的根，看这些根是否具有负实部通常对于三阶以上的高阶系统，根的求取不是一件容易的事劳斯(E. J. Routh，1884)等人在研究代数方程根与系数关系的规律基础上，提出了无需求解特征方程的根，只根据各系数间的相互关系就可判别特征根的实部是否为负，以确定系统是否稳定的方法，这种稳定判据以代数方程为基础，通常称为代数判据；代数判据中，有劳斯(Routh)稳定判据和赫尔维茨（Hurwitz）稳定判据，下面分别进行介绍1. 劳斯稳定判据设系统特征方程的一般式为 (6-5)系统稳定的必要条件是ai>0，i=1，2，…，n，否则系统不稳定系统稳定的充要条件是ai>0及罗斯表中第一列元素都大于零劳斯判据指出，罗斯表中第一列元素符号改变的次数等于系统特征方程式具有正实部特征根的个数劳斯表中各元素如表6-1所示表6-1劳斯表snanan-2an-4an-6…sn-1an-1an-3an-5an-7…sn-2b3b4…sn-3c3c4…s0a0其中第一行与第二行由特征方程的系数直接列出，第三行（行）各元（）由下式计算 ……一直进行到其余的值全部等于零为止。

第四行（行）各元（）由下式计算 …一直进行到其余的值全部等于零为止用同样的方法，递推计算第五行及以后各行，这一计算过程进行到第行（行）为止第行（行）仅有一项，并等于特征方程常数项为简化数值运算，可用一个整数去乘或除某一行的各项 计算上述各数的公式是有规律的，自行以下，，每行的数都是由该行上边两行的数算得，等号右边的二阶行列式中，第一行都。