小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型).doc

精品文档任意四边形、 梯形与相似模型模型三 蝴蝶模型 （任意四边形模型）任意四边形中的比例关系 ( “蝴蝶定理” ) ：DAS1S2S4O3SBC① S1:S2 S4:S3或者 S1 S3S2 S4②AO:OC S1 S2 : S4S3蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系例 1】 ( 小数报竞赛活动试题 ) 如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD，被对角线 AC、BD 分成四个部分， △ AOB面积为 1 平方千米， △ BOC面积为 2 平方千米 ，△ COD的面积为 3 平方千米，公园由陆地面积是6． 92 平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？CBOAD【分析】 根据蝴蝶定理求得 S△ AOD 31 21.5 平方千米，公园四边形ABCD 的面积是 1 23 1.5 7.5 平方千米，所以人工湖的面积是7.56.92 0.58平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵AG:GC ？A D12 3GBC【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，SBGC 123，那么 S BGC 6 ；⑵根据蝴蝶定理，AG:GC12 : 3 6 1:3．( ？？？)【例2】四边形 ABCD 的对角线 AC与 BD 交于点 O ( 如图所示 ) 。

如果三角形 ABD 的面积等于三角形BCD 的1 欢迎下载精品文档面积的1，且 AO2，DO3 ，那么 CO 的长度是 DO 的长度的 _________倍3ADADOH OGB C B C【解析】 在本题中，四边形 ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形” ，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形看到题目中给出条件 S ABD : S BCD 1:3 ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形” ，于是可以作 AH 垂直 BD 于 H ， CG 垂直 BD 于 G ，面积比转化为高之比再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题解法一：∵ AO : OC S ABD : S BDC 1:3 ，∴ OC236，∴ OC : OD 6:3 2:1 ．解法二：作 AHBD于H，CGBD于G．∵SABD1SBCD，3∴ AH1CG ，3∴SAOD1SDOC，3∴ AO1CO ，3∴ OC236，∴ OC : OD 6:3 2:1 ．【例 3】如图，平行四边形 ABCD 的对角线交于 O 点， △CEF 、 △OEF 、 △ODF 、 △BOE 的面积依次是 2、4、 4 和 6。

求：⑴求 △OCF 的面积；⑵求 △GCE 的面积 A DOFGBEC【解析】 ⑴ 根据题意可知，△BCD 的面积为 24 46 16 ，那么 △BCO 和CDO 的面积都是 16 28 ，所以 △OCF 的面积为 844；⑵由于 △BCO的面积为8， △BOE 的面积为6，所以 △OCE 的面积为 8 6 2，根据蝴蝶定理，EG:FGSCOE:SCOF2 : 41: 2，所以 S GCE :S GCFEG:FG1:2，那么 S GCE1S CEF122 ．1233【例4】图中的四边形土地的总面积是52 公顷，两条对角线把它分成了4 个小三角形， 其中 2 个小三角形的面积分别是6 公顷和 7 公顷那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？2 欢迎下载精品文档D66CE 77AB【解析】 在 ABE ， CDE 中有AEBCED ，所以ABE ， CDE的面积比为 ( AEEB) :(CE DE ) 同理有ADE ， BCE 的面积比为 ( AEDE):(BEEC ) 所以有 S ABE × S CDE =S ADE × S BCE ，也就是说在所有凸四边形中，连接顶点得到2 条对角线，有图形分成上、下、左、右4 个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。

即S ABE6=S ADE 7 ，所以有ABE 与ADE 的面积739618 公顷比为 7:6， S ABE =21公顷， S ADE =396721 公顷67显然，最大的三角形的面积为【例5】 ( 2008年清华附中入学测试题) 如图相邻两个格点间的距离是1 ，则图中阴影三角形的面积为AADDBBOCC【解析】连接 AD、CD、BC则可根据格点面积公式，可以得到ABC 的面积为： 1412 ，ACD 的面积为： 3321 3.5，42ABD 的面积为： 23 ．124412 ．所以 BO: OD S ABC : S ACD2 :3.54: 7，所以 S ABOS ABD3471111【巩固】如图，每个小方格的边长都是1，求三角形 ABC 的面积EDABC【解析】 因为 BD :CE 2:5 ，且 BD ∥ CE ，所以 DA: AC2:5，SABC5，SDBC5210 ．2577【例6】 ( 2007年人大附中考题) 如图，边长为1 的正方形 ABCD 中， BE 2EC ， CFFD ，求三角形 AEG的面积．3 欢迎下载精品文档ADADGGFFBECBEC【解析】 连接 EF ．因为 BE2EC ， CFFD ，所以 S DEF1111．(3) S ABCDS ABCD2212因为 S AED1AG :GF11S ABCD ，根据蝴蝶定理，:6:1 ，26613212所以 S AGD6S GDFS ABCD．S ADF74S ABCD7131422 ，所以 S AGES AEDS AGDS ABCDS ABCDS ABCD21477即三角形 AEG 的面积是 2 ．7【例7】如图，长方形 ABCD 中， BE : 。